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晶體塑性的理論和UMAT自學(xué)難度較高，對(duì)于初學(xué)者自己讀懂代碼基本需要半年以上的時(shí)間，本課程旨在講解黃永剛晶體塑性UMAT的理論、公式及代碼，有助于初學(xué)者在兩周之內(nèi)熟悉和掌握晶體塑性的基本理論和子程序，加快代碼改寫進(jìn)度。本課程課件PPT長(zhǎng)達(dá)90頁(yè)+，課程形式為一對(duì)一線上講解，時(shí)長(zhǎng)約為3-4小時(shí)。主要面向高校研究生，需要具備張量分析的基本知識(shí)。

Wing Kam Liu》中文版由由莊茁老師等人翻譯由清華大學(xué)出版社出版，書名是：《連續(xù)體和結(jié)構(gòu)的非線性有限元》另外該子程序使用的求解常微分方程（ODE）的數(shù)值方法名稱是龍格-庫(kù)塔（Runge-Kutta）方法，這個(gè)方法的基本思想是通過一系列的逼近步驟，以逐步迭代的方式來(lái)估計(jì)微分方程的解龍格-庫(kù)塔方法相比于牛頓迭代方法優(yōu)勢(shì)主要體現(xiàn)在 適用廣泛： 龍格-庫(kù)塔方法適用于一般的常微分方程求解問題

理論部分（基于亞彈性框架）：晶體塑性對(duì)應(yīng)的流動(dòng)方程（冪律流動(dòng)）晶體塑性對(duì)應(yīng)的硬化方程（Voce硬化）對(duì)于鋯合金考慮了基面，柱面，錐面滑移，對(duì)應(yīng)的材料參數(shù)為損傷基于udmgini子程序經(jīng)進(jìn)行編寫，用于確定裂紋萌生位置，并根據(jù)能量準(zhǔn)則確定裂紋擴(kuò)展情況程序框架為：基于ebsd的實(shí)驗(yàn)建模四類準(zhǔn)則對(duì)應(yīng)的數(shù)值模擬結(jié)果如下：不考慮xfem

本構(gòu)理論分成晶體塑性和再結(jié)晶兩部分，其中晶體塑性部分公式如下：流動(dòng)方程（經(jīng)典的唯象流動(dòng)）：硬化方程使用的taylor位錯(cuò)模型位錯(cuò)密度的演化使用經(jīng)典的KM方程：再結(jié)晶部分公式包含形核和晶界遷移兩部分，其中形核的理論公式是晶界遷移速度為：整體數(shù)值實(shí)現(xiàn)框架示意圖如下：作者以O(shè)FHC銅為研究對(duì)象，對(duì)775K和875K的熱壓縮進(jìn)行了研究

在FCC晶體中，有12種滑移系統(tǒng)可能在塑性變形過程中被激活 通常，樣品的晶體學(xué)和應(yīng)力狀態(tài)是決定滑移系統(tǒng)是否活躍的主要因素。試驗(yàn)過程中試樣所經(jīng)歷的塑性來(lái)自于激活滑移系統(tǒng)的貢獻(xiàn)。臨界分辨剪切應(yīng)力是確定晶體滑移開始的標(biāo)準(zhǔn)，而FCC金屬材料塑性變形主要由位錯(cuò)滑移貢獻(xiàn)。以位錯(cuò)為內(nèi)變量的本構(gòu)方程可以對(duì)多晶材料的塑性變形做出更加物理的描述和預(yù)測(cè)，并與微尺度的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行對(duì)比分析。

微觀塑性力學(xué)基礎(chǔ)建立于位錯(cuò)理論，通過位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)和晶格其他缺陷來(lái)解釋材料的基本性能。由于研究的對(duì)象是位錯(cuò)及晶體缺陷，只能通過電子顯微鏡來(lái)觀察，觀察范圍非常細(xì)小且研制費(fèi)時(shí)，不適于作為工業(yè)生產(chǎn)上質(zhì)量控制的評(píng)定指標(biāo)。金屬材料在加工過程中會(huì)形成品粒的擇優(yōu)取向(即織構(gòu))，它與板材的塑性各向異性有密切關(guān)系。

然而，早期的 FFT 框架大多局限于剛塑性或線性彈性。2012 年，Ricardo A. Lebensohn 等人在 International Journal of Plasticity 上發(fā)表了具有里程碑意義的工作。該研究提出了一套嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膹椥?黏塑性（EVP-FFT）公式，能夠同時(shí)處理晶體的彈性各向異性與非線性滑移演化，為預(yù)測(cè)多晶材料在復(fù)雜載荷下的局部力學(xué)響應(yīng)奠定了理論基礎(chǔ)。

，作者分析認(rèn)為，基于位錯(cuò)密度的模型更高反應(yīng)力單晶變形的物理過程，而傳統(tǒng)唯象模型反應(yīng)的更接近于多晶的平均特征作者的研究思路一，從經(jīng)典的唯象模型出發(fā)，根據(jù)Orowan硬化理論，推導(dǎo)基于位錯(cuò)的晶體塑性模型，兩類模型采用相同的流動(dòng)方程，修改體現(xiàn)在滑移系的硬化方程中，昨日推薦的文獻(xiàn)則在硬化和流動(dòng)都進(jìn)行了對(duì)應(yīng)的修改，兩類模型的硬化方程分別為：(1)唯象模型（SCCE-T）：

各向同性硬化von Mises率無(wú)關(guān)彈塑性本構(gòu)理論以及umat源代碼1 本構(gòu)理論1.1 率形式對(duì)于各向同性線彈性材料，其本構(gòu)方程為：式中假設(shè)了應(yīng)變張量可以分解為彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變兩部分：因此塑性本構(gòu)的關(guān)鍵在于計(jì)算塑性應(yīng)變的演化。

作者關(guān)于尺寸相關(guān)的晶體塑性模型的主要改進(jìn)思路為：本構(gòu)模型基于經(jīng)典的亞彈性本構(gòu)框架：其中流動(dòng)方程為：硬化方程為：晶粒尺寸形態(tài)相關(guān)參數(shù)的引入：概念的引入：晶粒A滑移會(huì)導(dǎo)致相鄰晶粒晶界附近的應(yīng)力上升，其上升程度與晶內(nèi)區(qū)域距離晶界距離有關(guān)，由于晶粒之間的取向差，晶界處的應(yīng)力分布受到影響。

在Abaqus中，UEL斷裂相場(chǎng)程序是一種基于相場(chǎng)理論的有限元模型，可以模擬固體材料中的裂紋擴(kuò)展和斷裂行為。該模型使用相場(chǎng)變量來(lái)描述材料的相域和裂紋的位置和形狀，并通過演化方程描述相場(chǎng)變量的時(shí)間演化和裂紋的擴(kuò)展。通過在UEL程序中實(shí)現(xiàn)相場(chǎng)模型的演化方程和邊界條件，可以模擬裂紋擴(kuò)展的過程，并計(jì)算出材料的應(yīng)力、應(yīng)變和損傷等。

在晶體塑性問題中，變形由多個(gè)屈服面定義，這些屈服面不平滑相交，屈服函數(shù)的數(shù)量取決于晶體中滑移系的數(shù)量。

理論部分硬化方程（位錯(cuò)密度模型）：流動(dòng)方程（唯象冪律流動(dòng)）：in718材料參數(shù)確定（代表性體積元方法）NbC力學(xué)性能確定基于第一性原理確定其彈性參數(shù)為：并基于Voigt-Reuss-Hill (VRH) 均勻化方案確定體積模量剪切模量以及楊氏模量，泊松比Voigt 和 Reuss bounds：

在FCC晶體中，有12種滑移系統(tǒng)可能在塑性變形過程中被激活 通常，樣品的晶體學(xué)和應(yīng)力狀態(tài)是決定滑移系統(tǒng)是否活躍的主要因素。試驗(yàn)過程中試樣所經(jīng)歷的塑性來(lái)自于激活滑移系統(tǒng)的貢獻(xiàn)。臨界分辨剪切應(yīng)力是確定晶體滑移開始的標(biāo)準(zhǔn)，而FCC金屬材料塑性變形主要由位錯(cuò)滑移貢獻(xiàn)。以位錯(cuò)為內(nèi)變量的本構(gòu)方程可以對(duì)多晶材料的塑性變形做出更加物理的描述和預(yù)測(cè)，并與微尺度的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行對(duì)比分析。

這個(gè)思想非常適合和晶體塑性模型結(jié)合，因?yàn)?em>晶體塑性本來(lái)就是逐滑移系計(jì)算的。在作者的模型中，晶界通透性可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為晶界障礙應(yīng)力。通透性越高，障礙應(yīng)力越??；通透性越低，障礙應(yīng)力越大。這樣一來(lái)，晶界對(duì)塑性滑移的影響就可以直接進(jìn)入滑移率方程：只有當(dāng)有效分切應(yīng)力足夠克服晶界障礙時(shí)，晶界附近的滑移才能繼續(xù)發(fā)展。這篇文章的另一個(gè)重要部分是位錯(cuò)重分配。

文獻(xiàn)二的研究使用同樣Voronoi鑲嵌方法構(gòu)建梯度納米晶結(jié)構(gòu)，使用的本構(gòu)模型如下：流動(dòng)方程：硬化方程：修正對(duì)應(yīng)的參數(shù)為邊界條件余文獻(xiàn)一一致所不同的是作者關(guān)注了晶粒尺寸和初始取向?qū)ЯＷ冃芜^程中旋轉(zhuǎn)的影響，作者分析認(rèn)為，影響晶粒旋轉(zhuǎn)的更重要因素是晶體的初始取向而不是晶粒尺寸的大小感興趣的小伙伴可以參考原始文獻(xiàn)，對(duì)原始的

湖南大學(xué)的Qihong Fang等人將原子模擬、離散位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)和晶體塑性有限元方法結(jié)合起來(lái)，建立了一個(gè)新的框架，研究MPEAs的應(yīng)變硬化行為，實(shí)現(xiàn)了包括納米尺度晶格畸變和微尺度位錯(cuò)硬化在內(nèi)的復(fù)雜跨尺度因素對(duì)塑性變形的影響，作者結(jié)合MD、DDD、CPFE模擬方法和隨機(jī)場(chǎng)理論(圖1)，提出了一種可捕捉MPEAs中嚴(yán)重晶格畸變的分層多尺度方法來(lái)建模MPEAs，該方法連接了三個(gè)長(zhǎng)度尺度(納米尺度、微觀尺度和中尺度

因此，總變形梯度被分解為彈性/剛體轉(zhuǎn)動(dòng)部分、熱變形部分和塑性變形部分。在本構(gòu)層面，作者保留了 FCC 晶體的 12 個(gè) {111}<110> 滑移系，并采用冪律型滑移率方程描述率相關(guān)塑性流動(dòng)。