文章doi：10.1016/j.ijplas.2009.10.004

上一篇推文介紹了基于L2范數最小化計算GND的推文，基于類似的思想可以實現率無關數值模型的構建，作者的創作思想就是利用塑性變形過程中最大能量耗散原理，將單晶屈服問題視作約束優化問題，其中約束就是每一個滑移系統的屈服函數，并將傳統率無關晶體塑性模型中的數值奇異問題，通過創建約束條件的組合進行優化分析得到率無關的晶體塑性數值解。該率無關的本構計算方法計算效率相對較高，且數值穩定性很好，與以往研究和實驗結果具有良好的一致性。此外也有很多率相關模型使用奇異值分解進行數值求解。

作者的思想

彈塑性問題通常被定義為約束優化問題，旨在尋找給定應變增量的最佳應力張量和內部變量。在這樣的問題中，目標函數是基于最大耗散原理定義的，約束是屈服函數。示意圖和公式為：

以塑性變形率方程為切入點：

λ為一致性參數

在單晶中，整體塑性變形是多個滑移系統上滑移的結果。在晶體塑性問題中，變形由多個屈服面定義，這些屈服面不平滑相交，屈服函數的數量取決于晶體中滑移系的數量。假設施密德定律對于單晶的塑性變形是有效的，那么對于任何滑移系統，屈服函數可以定義為

引入約束：

在計算該方程過程中經常出現雅可比的非正定性問題（可以采用奇異值分解）同時確定滑移系統開動也存在計算量過大的問題

作者這里引入組合約束思想，則原始求解模型轉化為：

在此基礎上將多個約束轉化為等效的一個約束：

 h（x）取值為：

移植到所研究的晶體塑性模型中

等效的約束為：

將等效的約束作為單晶的屈服面：

根據流動法則，計算得到塑性變形率

其中剪切應變率

作者所提出的模型對于不同ρ時的屈服面形狀如下

并且根據以往研究金屬的層錯能對屈服面有影響，因此將ρ與層錯能進行關聯,其中Γ是材料的 SFE，G是剪切模量，b是伯格斯矢量的大小。

作者的模型在vumat子程序中進行實現，為了與以往文獻對比，作者的硬化模型使用方程為：

模擬了fcc-al以及fcc-coppor，材料參數為（ρ=80）

模擬得到的效果

可以看到作者提供的數值模型具有良好的精度，同時大大減少了計算時間，并克服了由于滑移的多重性而導致的奇異性問題。