NS方程的案例
對NS方程的重新思考
研究NS方程的數學家們擔心這種情況出現：假如我們正在運行NS方程，并觀察向量場會如何變化。過了一段時間后，方程顯示流體中的某個粒子正以無限快的速度移動——問題便來了。NS方程涉及到的是對流體中的壓力、摩擦力和速度等性質的變化進行測量，它們取這些量的導數。我們無法對無窮大的值進行求導，所以說如果這些方程里出現了一個無窮大的值，那么方程就可被認作為失效了。它們不再具有描述流體的后續(xù)狀態(tài)的能力。
同時，失效也是一個預示著方程中失去了某些應該描述卻沒能描述的物理世界。Buckmaster 說：“這也許意味著方程沒能捕獲到真實流體的所有效應，因為在真實流體中，我們不會看到粒子以無限快的速度運動。”
如果誰能找到NS方程絕不發(fā)生失效、或能確定讓其失效的條件，誰就解決了NS方程難題。數學家對著一問題的其中一個研究策略，就是首先放寬它們的解的一些要求。
從弱到光滑
當數學家研究像NS這樣的方程時，他們有時會從擴大對于解的定義開始。以NS方程為例來說，光滑解要求的是最大化信息量，它們要求在與流體相關的向量場內，每個點都存在一個向量。但如果我們放松這一要求，比如只需要能夠計算某些點上的向量，或者只需對向量的計算進行估算呢？這樣的解稱為“弱”解。它們讓數學家對一個方程的行為有個大致個把握，而不需要做找光滑解的所有工作。從某些角度來看，弱解比實際的解更容易描述，因為需要知道的信息更少。
弱解是以漸弱的狀態(tài)出現的。如果將光滑解看作是一張有著無限精細的分辨率的流體數學圖像，那么弱解就像是這張圖片的32位、16位或8位版本，取決于你想要的微弱程度。
1934年，法國數學家 Jean Leray 定義了一類重要的弱解。在Leray的解決方案中，與其使用精確的向量，他用的是向量場的小鄰域中的向量平均值。
展開 NS方程歷史的重要文章
NS方程歷史的重要文章
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計算流體力學 | 控制方程
我們可以把守恒形式的三個控制方程寫成向量形式，即尋求簡潔的表達形式：
如果將每一個參量看作列向量，我們可以得到
其中列向量 , , 稱為通向量（通量向量）；
列向量 代表源項（即當體積力和體積熱流可忽略是為零）；
列項量 代表解向量
N-S方程的無量綱化
無量綱量：物理量與特征量之比
特征量：對于某物理量，人為設定的值（可任意），可如下引入特征量
將NS方程相關參數用無量綱量替換即可得到無量綱化的NS方程
其中出現的無量綱參數有
簡化NS方程
a）空間上的簡化
一維無粘流動（非守恒形式）
一維無粘流動（守恒形式）
二維流動（ ）
b）時間上的簡化（定常流）
c）忽略粘性（歐拉方程）
忽略NS方程右端項即可
d）忽略壓縮性（不可壓流）
, , 為常數，能量方程單獨考慮
二維不可壓流（守恒形式）
二維不可壓流（非守恒形式）
e）邊界層方程
f）小擾動方程
文章來自：闌珊離索
展開 最難解的數學方程之一
但千禧年大獎要求數學家解決的是更為謹慎且基礎的問題：證明方程的解永遠存在。換句話說，就是要探尋方程是否能從任何起始條件開始，對任意流體進行無限的描述。
普林斯頓大學的數學家 Charlie Fefferman 說：“第一步就是要試圖證明這些方程可以產生一些解。 雖然這并不能讓我們真正理解流體的行為，但如果沒有這一步，我們就什么都不知道。”
那么你如何證明解的存在？我們可以反過來，從思考什么能使方程解不存在開始。 正如在上文中所說，NS方程涉及到的是對流體中的壓力、摩擦力和速度這些量的變化。數學家擔心這種情況的出現：我們正在運行這些方程，在一段時間過后，方程出現一個正以無限快的速度移動的粒子。這就導致問題來了，因為我們無法計算出一個無限值的變化（換言之，我們無法對無窮大的值進行求導）。數學家把這種情況稱為“爆炸”（blowup），在爆炸的情況下，方程失效，解也不復存在。
證明爆炸沒有發(fā)生（且解決方案總是存在）等同于證明流體內的任意粒子的最大速度，需維持在有限的數量以下。其中在流體中最重要的量是動能。
當我們使用NS方程對流體進行建模時，流體會具有一定的初始能量。但是在一個湍流的流動中，這些能量可以發(fā)生集中——即動能不是均勻分布在河流上，而是可以在任意小的渦流中聚集，而理論上，那些在渦流中的粒子可以加速到無限快的速度。
上篇文章中提到的數學家 Vlad Vicol 表示：“隨著我們的研究進入越來越小的尺度時，動能對解的控制作用會越來越小。我的解可以做任何想做的事情，但我也不知該如何去控制它。”
數學家們根據能在無限小的尺度上失效的程度來對像NS這樣的偏微分方程進行分類，NS方程就處于所有類型的極端。這個方程的數學難度在某種意義上是它們應該描述的湍流復雜性的一個精確反映。
展開 
一篇多相流review獻給大家，JCP編輯向我邀稿！
其實他更廣為人知的名字，就是玻爾茲曼方程。
是的，玻爾茲曼方程是比NS方程更底層的模型。NS方程以及拉格朗日方程都可以從GPBE方程推導出來。但是為什么工程上玻爾茲曼方程用得少？因為太底層，難以求解。同時，如果采用矩方法求解GPBE，我們大名鼎鼎的雙歐拉模型即對應的雙矩GPBE模型。總之，
GPBE這個可以在歐拉下求解，最簡單的就是雙歐拉模型，
也可以在拉格朗日下求解，演變成為MPPIC。
也可以在歐拉拉格朗日下混合求解，目前用的比較少。
還有更神的，對GPBE的分布函數采用特征線方程求解出來，并求矩來獲得宏觀方程，就是GKS類方法。
另外一個求解GPBE的方法就是矩方法，矩用的越多，越精確。雙歐拉模型就是最簡單的二階矩模型。矩方法這面相當復雜。沒準可以奮斗終身...
下面我們根據這三種不同的離散相模型，和連續(xù)相模型耦合。討論不同的結合情況。
歐拉歐拉模型
歐拉歐拉模型是最為人知的多相流模型，也就是雙歐拉模型。其中連續(xù)相使用NS方程，離散相還是使用NS方程。歐拉歐拉模型在目前的CFD代碼中已經被大量的植入了。在此我們不討論這個模型的方程，我個人對這個模型有一點評論：
歐拉歐拉模型相對于VOF模型非常便宜，在文獻中我見過模擬氣泡的如果采用VOF需要上千萬的網格，歐拉歐拉模型幾十萬網格就搞定；
歐拉歐拉模型界面力模型非常不完善，也就是方程中的。
展開 湍流模型之VLES，是什么鬼？
VLES雖然在形式上類似于LES，但計算效率遠高于基于NS方程的LES方法。不過我們還是認為，“超大渦模擬”這個翻譯就有點斷章取義了，不如翻譯為“不一樣的大渦模擬”或者“了不起的大渦模擬”......
本文涉及到的內容，在PowerFLOW的眾多獨家技術面前，只是九牛一毛，大海一勺，天地之間一秋葉，敬請期待后續(xù)的講解。關于VLES的具體細節(jié)，后續(xù)也會陸續(xù)補上。
文中斗膽妄談湍流，如有謬誤，各位看官請不吝指教。
復雜的直升機旋翼空氣動力學
縱觀旋翼CFD的發(fā)展歷程，控制方程經歷了小擾動速勢方程、全速勢方程、Euler和Navier-Stokes (NS) 方程四個發(fā)展階段。
目前，基于Euler和NS方程旋翼流場的數值模擬成了當前旋翼CFD的主要研究手段。與Euler方程相比，NS方程更加精確地描述了渦的形成和輸運特性，對流場的描述更加精確。然而以渦為主導的旋翼流場若采用NS方程進行模擬，通常需要巨大的計算網格數量和較長的計算周期，導致旋翼流場的計算效率低下，成為制約旋翼CFD工業(yè)應用的一個瓶頸。
湍流問題至今仍然是困擾整個流體力學界的一個難題，湍流的基本機理至今還沒有完全弄清，這就決定了各種湍流研究方法必然有各自的局限性。
湍流的數值模擬大致可分為三類：
直接數值模擬 (Direct Numerical Simulation, DNS)
大渦模擬 (Large Eddy Simulation, LES)
求解雷諾平均NS(Reynolds-Averaged Navier-Stokes, RANS) 方程。
鑒于前兩種方法需要極大的計算機資源以及方法本身的問題，目前還無法適用于高雷諾數工程問題的模擬，因而求解RANS方程自然成為工程實際中的最佳方法。
近幾年來，西方學者發(fā)展了高階間斷伽遼金方法，該方法的RANS求解雖然得到了西方學者的重視，也取得了一些研究成果，但是由于湍流模型本身存在的魯棒性問題，目前很難直接應用到直升機旋翼流場的數值模擬中。
但是我認為我們可以采用隱式大渦模擬的方法來進行諸如直升機旋翼如此復雜流場的數值模擬，或者采用RANS和ILES相結合的方法進行計算。即邊界層內部采用RANS，外層采用ILES方法。這雖然是一種折衷的方法但是卻具有更高的穩(wěn)定性。
展開 Spring-ICE 結冰算法述評-（2）水滴軌跡計算
從算法的層面，水滴軌跡計算需要做以下工作：
（1）控制方程建立。說白了，水滴在流場中的運動，滿足什么方程。
（2）求解方程，計算軌跡。水滴在流場中運動，肯定要有流場的計算，然后是水滴運動方程的計算。
（3）水滴運動狀態(tài)的判斷。這個意思是說，要判斷水滴在運動中是否已經撞擊到了翼面，是否已經沖出了我們預設的計算邊界，如果是，這個時候需要結束計算，然后存儲這個結果，為水滴收集量的計算作輸入。
2 水滴軌跡計算控制方程
首先是水滴運動控制方程，這個文獻里都有，通常的拉格朗日法基本是下面這種形式：
這個方程，是考慮了水滴的浮力、重力、阻力、升力，從而根據牛頓第二定律建立的。說白了，就是高中的“受力分析”，然后列方程。
說著簡單，要求解出來卻要費點勁。好在文獻里都說了，這個方程進一步化簡為一階常微分方程組，根據初值，采用龍格庫塔法進行時間推進求解。這里涉及的是本科數值計算的內容。
轉眼間，我們就用到了牛頓第二定律和數值計算方法。別急，還有重頭戲。上面的方程中，需要用到流場速度。流場計算用什么算法？
流場算法的選擇直接影響到需不需要做網格，結冰后網格需不需要寫更新算法，這是結冰算法大框架的問題，十分重要。我就在這個問題上徘徊很久。最早我是準備寫NS方程求解，為此我還摸索一套自己想的網格自動生成和更新方法。最后卡在NS方程上。
回過頭看，當時NS方程應該是寫出來了，但是網格域的問題，還有別的基本認知問題導致我認為自己走不下去了。被迫放棄了NS方程，在師兄的指導下，選擇了面元法。
從現在看，面元法的選擇無疑是對的，首先它足夠簡單，計算效率高。
展開 CFD應用的致命傷：精度與可信度
很簡單的例子，NS方程是從三大守恒定律出發(fā)的，所做的假設比較少，但是很遺憾，對于復雜結構直接數值求解NS方程目前還不可能，于是為了工程需要，對NS方程離散過程進行了一系列的簡化，于是出現了各種湍流模式，出現了各種燃燒模型、多相流模型。
3、模型參數。現在很多工程軟件都集成了物理模型，其中很多模型參數都是一些半經驗或經驗參數，并不一定會適應自己的模型。但是這些模型參數的獲取是一件非常困難的事情，通常都是通過實驗獲取。
在最后，再來談談CFD計算結果的驗證以及計算修正的問題。
通常實驗是最好的驗證手段，但是存在一個問題，實驗過程中的參數很難與計算輸入的參數完全吻合。對于實際工程問題，采用實驗有時候是唯一的驗證手段。一般來說，數值計算結果再工程上與實驗結果誤差在10%以內是被允許的。在數值計算結果與實驗數據存在很大差異時，一般進行以下一些步驟的檢查：
（1）檢查幾何模型。分析是否忽略了關鍵幾何特征、檢查邊界位置是否合適。很多時候邊界位置設得不合適，可能會導致計算振蕩，不收斂等情況發(fā)生。同時由于不同的軟件對于不同的邊界組合方式處理方法存在差異，因此需要選擇合適的邊界組合方式（如FLUENT中壓力邊界與outflow邊界相沖，最好不要同時出現，可能導致收斂問題。流量入口邊界收斂要比壓力入口困難）。
（2）檢查物理模型。是否選用了不合適的模型。每一種模型都有一定的使用范圍，使用者需要對這些使用限制有深刻的認識才能更好的進行選擇。例如FLUENT中，湍流模型有很多，標準K-E模型適合一般的工程流動問題，但是對于強旋流誤差較大，RNG K-E模型適合旋轉流動湍流計算，SA模型適合航空外流計算，K-W適合邊界層計算，雷諾模型適合各向異性湍流的計算，但是計算量大不易收斂。
展開 FLUENT求解初始化及一階歐拉方
- 在粗網格級別上求解一階歐拉方程。
- 可用于壓力基或者密度基求解器，但限于穩(wěn)態(tài)問題。
一階歐拉方程是什么？？？
忽略流體的粘性和可壓縮性，連續(xù)方程和NS方程可以簡化為：
上述四個方程包含有4個未知數，因此方程組是封閉的。由于忽略了流體的可壓縮性，因此流體動力學問題和熱力學問題可分開來解。連續(xù)方程和動量方程不再需要和能量方程聯(lián)立求解。但是壓強和速度依舊耦合在一起。
由于忽略了粘性項，歐拉方程比NS方程低了一階。
展開 提高CFD應用的精度與可信度的方法
很簡單的例子，NS方程是從三大守恒定律出發(fā)的，所做的假設比較少，但是很遺憾，對于復雜結構直接數值求解NS方程目前還不可能，于是為了工程需要，對NS方程離散過程進行了一系列的簡化，于是出現了各種湍流模式，出現了各種燃燒模型、多相流模型。
3、模型參數。現在很多工程軟件都集成了物理模型，其中很多模型參數都是一些半經驗或經驗參數，并不一定會適應自己的模型。但是這些模型參數的獲取是一件非常困難的事情，通常都是通過實驗獲取。
在最后，再來談談CFD計算結果的驗證以及計算修正的問題。
通常實驗是最好的驗證手段，但是存在一個問題，實驗過程中的參數很難與計算輸入的參數完全吻合。對于實際工程問題，采用實驗有時候是唯一的驗證手段。一般來說，數值計算結果再工程上與實驗結果誤差在10%以內是被允許的。在數值計算結果與實驗數據存在很大差異時，一般進行以下一些步驟的檢查：
（1）檢查幾何模型。分析是否忽略了關鍵幾何特征、檢查邊界位置是否合適。很多時候邊界位置設得不合適，可能會導致計算振蕩，不收斂等情況發(fā)生。同時由于不同的軟件對于不同的邊界組合方式處理方法存在差異，因此需要選擇合適的邊界組合方式（如FLUENT中壓力邊界與outflow邊界相沖，最好不要同時出現，可能導致收斂問題。流量入口邊界收斂要比壓力入口困難）。
（2）檢查物理模型。是否選用了不合適的模型。每一種模型都有一定的使用范圍，使用者需要對這些使用限制有深刻的認識才能更好的進行選擇。例如FLUENT中，湍流模型有很多，標準K-E模型適合一般的工程流動問題，但是對于強旋流誤差較大，RNG K-E模型適合旋轉流動湍流計算，SA模型適合航空外流計算，K-W適合邊界層計算，雷諾模型適合各向異性湍流的計算，但是計算量大不易收斂。
展開 
CFD的解析精度與可信度
很簡單的例子，NS方程是從三大守恒定律出發(fā)的，所做的假設比較少，但是很遺憾，對于復雜結構直接數值求解NS方程目前還不可能，于是為了工程需要，對NS方程離散過程進行了一系列的簡化，于是出現了各種湍流模式，出現了各種燃燒模型、多相流模型。
3. 模型參數
現在很多工程軟件都集成了物理模型，其中很多模型參數都是一些半經驗或經驗參數，并不一定會適應自己的模型。但是這些模型參數的獲取是一件非常困難的事情，通常都是通過實驗獲取。
在最后，再來談談CFD計算結果的驗證以及計算修正的問題。
通常實驗是最好的驗證手段，但是存在一個問題，實驗過程中的參數很難與計算輸入的參數完全吻合。對于實際工程問題，采用實驗有時候是唯一的驗證手段。一般來說，數值計算結果在工程上與實驗結果誤差在10%以內是被允許的。在數值計算結果與實驗數據存在很大差異時，一般進行以下一些步驟的檢查：
1. 檢查幾何模型
分析是否忽略了關鍵幾何特征、檢查邊界位置是否合適。很多時候邊界位置設得不合適，可能會導致計算振蕩，不收斂等情況發(fā)生。同時，由于不同的軟件對于不同的邊界組合方式處理方法存在差異，需要選擇合適的邊界組合方式（如FLUENT中壓力邊界與outflow邊界相沖，最好不要同時出現，可能導致收斂問題。流量入口邊界收斂要比壓力入口困難）。
2. 檢查物理模型
是否選用了不合適的模型。每一種模型都有一定的使用范圍，使用者需要對這些使用限制有深刻的認識才能更好的進行選擇。例如FLUENT中，湍流模型有很多，標準K-E模型適合一般的工程流動問題，但是對于強旋流誤差較大，RNG K-E模型適合旋轉流動湍流計算，SA模型適合航空外流計算，K-W適合邊界層計算，雷諾模型適合各向異性湍流的計算，但是計算量大不易收斂。
展開 CFD軟件的精度與可信性：使用者和客觀環(huán)境是關鍵
很簡單的例子，NS方程是從三大守恒定律出發(fā)的，所做的假設比較少，但是很遺憾，對于復雜結構直接數值求解NS方程目前還不可能，于是為了工程需要，對NS方程離散過程進行了一系列的簡化，于是出現了各種湍流模式，出現了各種燃燒模型、多相流模型。
3. 模型參數
現在很多工程軟件都集成了物理模型，其中很多模型參數都是一些半經驗或經驗參數，并不一定會適應自己的模型。但是這些模型參數的獲取是一件非常困難的事情，通常都是通過實驗獲取。
在最后，再來談談CFD計算結果的驗證以及計算修正的問題。
通常實驗是最好的驗證手段，但是存在一個問題，實驗過程中的參數很難與計算輸入的參數完全吻合。對于實際工程問題，采用實驗有時候是唯一的驗證手段。一般來說，數值計算結果再工程上與實驗結果誤差在10%以內是被允許的。在數值計算結果與實驗數據存在很大差異時，一般進行以下一些步驟的檢查：
(1) 檢查幾何模型
分析是否忽略了關鍵幾何特征、檢查邊界位置是否合適。很多時候邊界位置設得不合適，可能會導致計算振蕩，不收斂等情況發(fā)生。同時由于不同的軟件對于不同的邊界組合方式處理方法存在差異，因此需要選擇合適的邊界組合方式（如FLUENT中壓力邊界與outflow邊界相沖，最好不要同時出現，可能導致收斂問題。流量入口邊界收斂要比壓力入口困難）。
(2) 檢查物理模型
是否選用了不合適的模型。每一種模型都有一定的使用范圍，使用者需要對這些使用限制有深刻的認識才能更好的進行選擇。例如FLUENT中，湍流模型有很多，標準K-E模型適合一般的工程流動問題，但是對于強旋流誤差較大，RNG K-E模型適合旋轉流動湍流計算，SA模型適合航空外流計算，K-W適合邊界層計算，雷諾模型適合各向異性湍流的計算，但是計算量大不易收斂。
展開 說說納維爾-斯托克斯方程(Navier-Stokes Equations)
Navier-Stokes的背景知識
簡介
NS方程，全稱：納維－斯托克斯(Navier-Stokes)方程
，2000年5月24日，美國克萊數學研究所的科學顧問委員會把NS方程列為七個“千禧難題”（又稱世界七大數學難題）之一，這七道問題被研究所認為是“重要的經典問題，經許多年仍未解決。”克萊數學研究所的董事會決定建立七百萬美元的大獎基金，每個“千年大獎問題”的解決都可獲得百萬美元的獎勵。另外六個“千年大獎問題”分別是：
NP完全問題， 霍奇猜想（Hodge），黎曼假設（Riemann），楊－米爾斯理論（Yang-Mills），龐加萊猜想和BSD猜想（Birch
and Swinnerton-Dyer）。
NS方程的存在性與光滑性
起伏的波浪跟隨著我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的氣流跟隨著我們的現代噴氣式飛機的飛行。數學家和物理學家深信，無論是微風還是湍流，都可以通過理解NS方程的解，來對它們進行解釋和預言。雖然這些方程是19世紀寫下的，我們對它們的理解仍然極少。挑戰(zhàn)在于對數學理論作出實質性的進展，使我們能解開隱藏在NS方程中的奧秘。
深度描述
描述粘性不可壓縮流體動量守恒的運動方程。簡稱N-S方程。因1821年由C.-L.-M.-H.納維和1845年由G.G.斯托克斯分別導出而得名。在直角坐標系中，其矢量形式為＝－Ñp＋ρF＋μΔv，式中ρ為流體密度，p為壓強，u（u，v，w）為速度矢量，F（X，Y，Z）為作用于單位質量流體的徹體力，Ñ為哈密頓算子
，Δ為拉普拉斯算子。后人在此基礎上又導出適用于可壓縮流體的N-S方程。N-S方程反映了粘性流體（又稱真實流體）流動的基本力學規(guī)律，在流體力學中有十分重要的意義。
展開 [問題討論]計算流體力學參考書
（*****重點推薦）
該書比較系統(tǒng)，有限基本解法（亞超聲速流的有限基本解方法），有限差分法和有限體積法均有介紹，對于應用的網格生成技術（網格生成基本方法，網格分區(qū)與重疊網格技術，非結構網格生成技術），非線性速勢方程解法，不可壓NS方程計算（壓力泊松方程方法，壓力修正方法（SIMPLE方法），虛擬壓縮性方法），可壓縮的Euler和NS方程計算（MacCormack顯式差分法，Beam-Warming因式分解格式，Jameson有限體積格式，TVD格式，NND格式，ENO及ENN格式，幾種常用的隱式（時間方向離散）算法（近似因式分解方法，對角化算法，LU-ADI算法，LU-SGS算法），湍流模型）以及稀薄氣體的蒙特卡羅的數值模擬都有專題，知識介紹結構清晰，有助于了解計算流體力學的整體知識框架。
2. 蘇銘德，黃素逸，計算流體力學基礎，清華大學出版社，1997年。（*****重點推薦）
該書雖說取名為基礎，但如果能全部看明白，倒也很不容易。該書分為若干個專題：數值模擬專題，數值計算方法，流場的數值計算。
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