物理學(xué)是一門包含許多方程式的學(xué)科，這些方程描述了從微觀世界的粒子的行為到宏觀宇宙的演化。在所有的物理方程中，有一組在數(shù)學(xué)上被認(rèn)為極具挑戰(zhàn)性，還被克萊數(shù)學(xué)研究所列為七個(gè)“千禧年大獎(jiǎng)問(wèn)題”之一，它們就是用來(lái)描述流體如何流動(dòng)的納維葉-斯托克斯方程（簡(jiǎn)稱NS方程）。

在《對(duì)NS方程的重新思考》一文中，我們提到了關(guān)于NS方程的一些重要研究進(jìn)展。如果說(shuō)我們能從新的研究中得到什么啟示的話，那就是這一問(wèn)題比預(yù)想中的還要困難。水流通過(guò)軟管，是我們熟悉的不能再熟悉的現(xiàn)象，然而為什么描述這類現(xiàn)象的方程在數(shù)學(xué)上比理解愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程還要困難？

這其中的原因，便是湍流。湍流是指一個(gè)有序流動(dòng)的流體（液體或氣體）變化成看似不可預(yù)知的漩渦，例如香煙頭升起的一縷青煙在空氣中擴(kuò)散開(kāi)來(lái)，河流繞著石頭，以及牛奶和咖啡的混合，生活中有許多熟悉的現(xiàn)象都與湍流有關(guān)。然而，熟悉并沒(méi)能孕育出知識(shí)，毫不夸張的說(shuō)：湍流是物理世界中最難以理解的部分之一。

對(duì)量子力學(xué)做出巨大貢獻(xiàn)的物理學(xué)家維爾納·海森堡（Werner Heisenberg）曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“當(dāng)我見(jiàn)到上帝時(shí)，我想問(wèn)他兩個(gè)問(wèn)題：為什么會(huì)有相對(duì)論？為什么會(huì)有湍流？我相信他一定會(huì)有第一個(gè)問(wèn)題的答案。” 這個(gè)故事雖然很可能是杜撰的，卻描述了大多數(shù)科學(xué)家對(duì)湍流的感覺(jué)。

一個(gè)非湍流的例子是一條平穩(wěn)的河流，這條河流的每一部分都以相同的速率向相同的方向運(yùn)動(dòng)。湍流就是這條河的斷裂，它讓不同部分的河流以不同的速度向不同方向運(yùn)動(dòng)。物理學(xué)家首先將湍流的形成描述為是平穩(wěn)流動(dòng)的渦流，然后是在該渦流中形成的小渦流，再是小渦流中形成的更細(xì)微的渦流，一直分化，從而使得流體分裂成許多離散的部分，相互作用、各自移動(dòng)。

○ 圖片來(lái)源：Lucy Reading-Ikkanda/Quanta Magazine

科研人員想要了解的是一個(gè)平穩(wěn)的流動(dòng)是如何分解成湍流的，以及如何模擬已產(chǎn)生湍流的流體在之后的形狀演變。但千禧年大獎(jiǎng)要求數(shù)學(xué)家解決的是更為謹(jǐn)慎且基礎(chǔ)的問(wèn)題：證明方程的解永遠(yuǎn)存在。換句話說(shuō)，就是要探尋方程是否能從任何起始條件開(kāi)始，對(duì)任意流體進(jìn)行無(wú)限的描述。

普林斯頓大學(xué)的數(shù)學(xué)家 Charlie Fefferman 說(shuō)：“第一步就是要試圖證明這些方程可以產(chǎn)生一些解。 雖然這并不能讓我們真正理解流體的行為，但如果沒(méi)有這一步，我們就什么都不知道。”

那么你如何證明解的存在？我們可以反過(guò)來(lái)，從思考什么能使方程解不存在開(kāi)始。 正如在上文中所說(shuō)，NS方程涉及到的是對(duì)流體中的壓力、摩擦力和速度這些量的變化。數(shù)學(xué)家擔(dān)心這種情況的出現(xiàn)：我們正在運(yùn)行這些方程，在一段時(shí)間過(guò)后，方程出現(xiàn)一個(gè)正以無(wú)限快的速度移動(dòng)的粒子。這就導(dǎo)致問(wèn)題來(lái)了，因?yàn)槲覀儫o(wú)法計(jì)算出一個(gè)無(wú)限值的變化（換言之，我們無(wú)法對(duì)無(wú)窮大的值進(jìn)行求導(dǎo)）。數(shù)學(xué)家把這種情況稱為“爆炸”（blowup），在爆炸的情況下，方程失效，解也不復(fù)存在。

證明爆炸沒(méi)有發(fā)生（且解決方案總是存在）等同于證明流體內(nèi)的任意粒子的最大速度，需維持在有限的數(shù)量以下。其中在流體中最重要的量是動(dòng)能。

當(dāng)我們使用NS方程對(duì)流體進(jìn)行建模時(shí)，流體會(huì)具有一定的初始能量。但是在一個(gè)湍流的流動(dòng)中，這些能量可以發(fā)生集中——即動(dòng)能不是均勻分布在河流上，而是可以在任意小的渦流中聚集，而理論上，那些在渦流中的粒子可以加速到無(wú)限快的速度。

上篇文章中提到的數(shù)學(xué)家 Vlad Vicol 表示：“隨著我們的研究進(jìn)入越來(lái)越小的尺度時(shí)，動(dòng)能對(duì)解的控制作用會(huì)越來(lái)越小。我的解可以做任何想做的事情，但我也不知該如何去控制它。”

數(shù)學(xué)家們根據(jù)能在無(wú)限小的尺度上失效的程度來(lái)對(duì)像NS這樣的偏微分方程進(jìn)行分類，NS方程就處于所有類型的極端。這個(gè)方程的數(shù)學(xué)難度在某種意義上是它們應(yīng)該描述的湍流復(fù)雜性的一個(gè)精確反映。

Vicol 說(shuō)：“當(dāng)對(duì)某一點(diǎn)進(jìn)行放大時(shí)，從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，就會(huì)失去與解相關(guān)的信息。 但湍流所描述的正是如此——?jiǎng)幽軓拇蟮某叨认蛟絹?lái)越小的尺度轉(zhuǎn)移，所以它需要的就去放大。”

○ 由手機(jī)APP“Wind Tunnel”制作的湍流圖。 | 圖片來(lái)源：Quanta Magazine

每當(dāng)我們從數(shù)學(xué)角度談?wù)撐锢矸匠虝r(shí)，很自然的就會(huì)想要知道：這些會(huì)改變我們對(duì)物理世界的看法嗎？經(jīng)過(guò)近200年的實(shí)驗(yàn)，我們可以清楚地看出這些方程是有效的：由NS方程預(yù)測(cè)的流動(dòng)與實(shí)驗(yàn)中觀察到的流動(dòng)總是相符的。如果你是一個(gè)實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家，或許這樣的一致性就已經(jīng)足夠了。但數(shù)學(xué)家想要知道的不僅僅是這些——他們想要知道我們是否可以一直遵循這些方程，準(zhǔn)確地看到對(duì)有著任意初始配置的流體是如何發(fā)生瞬時(shí)變化的，甚至能精確定位湍流的開(kāi)始。

Fefferman 說(shuō)：“流體的行為帶來(lái)許多驚喜，理論上說(shuō)這些驚喜是通過(guò)那些描述流體如何運(yùn)動(dòng)的基本方程來(lái)解釋的，但從能告訴我們流體如何移動(dòng)的方程到對(duì)流體實(shí)際移動(dòng)的任意描述，仍然非常神秘。”

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來(lái)源：公眾號(hào)“原理”