理論解
關注創建者：USim 創建時間：2020-04-24
理論解的視頻教程
熱傳導問題理論解、有限差分解及Abaqus仿真對比
介紹了熱傳導偏微分方程，以一維熱傳導問題為例講解了熱傳導方程的理論解、有限差分數值解和Abaqus仿真解。有限差分數值解和Abaqus仿真解與理論解結果一致，結果相互印證。
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熱傳導的理論解、有限差分解和Abaqus有限元解
簡單的介紹了銅版散熱的熱傳導問題，這個問題可以簡化為一維熱傳導問題，基于mathematica計算了熱傳導方程的理論解，基于matlab給出了有限差分解，基于abaqus給出了有限元方法解。三種方法計算結果相同。
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理論解的實例教程
今天整理資料發現17年在老東家上班時做的一個文檔，通過一系列計算對比了不同網格尺寸和單元類型下材料力學5個試題的有限元解和理論解，貼出來跟大家分享一下，雖然都是非常簡單的題目，但這些表格對理解有限元解的網格無關性有一定的幫助。
第1題、懸臂梁撓度
懸臂梁A-B的截面形狀為正方形，寬、高h=b=100mm，長度l=1000mm，末端作用豎直向下集中力F=1000N，求B點（懸臂梁末端）向下的撓度。
., 彈性模量E = 2(10)6 psi，泊松比v=0.3，解決平面應力問題，并將有限元的近似解與基于彈性力學理論的精確解進行對比。
二、理論分析
考慮這類中心開孔方板，受到單軸拉力，圓孔圓心和矩形中心重合，處于平面應力狀態，使用有限元求解此結構的變形圖。
首先對此結構進行單元剖分，確定單元按照有限元的分析流程，要先對此結構進行單元剖分，確定單元與結點編號、以及單元的自由度編號。因為這里是平面應力問題，所以可以采用常應變三角形單元進行網格劃分，并且采用的是非結構化的網格。
本文利用經典簡支梁模型，分別利用NASTRAN、MeshFree計算了梁的最大撓度，并與經典理論解進行對比分析。簡支梁模型及參數如下圖所示：
模型尺寸：5*2.5*150；材質：鋼，彈性模量=200000MPa，泊松比=0.3。
邊界條件：兩端簡支；橫向均勻載荷1MPa
模型結果
基于meshfree的計算結果如下圖所示，最大撓度為5.05。
有限元模型單元采用solid，基本尺寸為2.5，基于NASTRAN的結果如下圖所示，最大值為5.08。
將上述的結果匯總如下：
結果討論
基于上面的對比分析可知：
①在本文的討論范圍內，對于靜態的結構分析，meshfree的計算精度達到傳統有限元的水平；
②本人對meshfree的操作體驗，界面友好，簡單快捷，后處理高效方便。
展開 本文首先給出一種不可壓橡膠模型過盈配合的理論解，并與ABAQUS 計算解進行比較。進一步本文探討過盈配合中假定橡膠不可壓時遇到的問題， 提出處理過盈配合中橡膠計算的方法。
2、可壓模型理論解與 ABAQUS 數值解的比較
2.1、理論解
理論解模型如圖 1，內層為鋼，中間不可壓橡膠，最外層為鋼給出橡膠和橡膠之間的過盈量求整個結構的應力應變狀態假設平面應變狀態。
本構方程：
對于鋼：
對于橡膠：
2.1 材料性質：
鋼：E=210000v=0.3橡膠：C10=0.461312, C20=0.01752, C30=8.8e-05 ，其余為 0，（三次多項式模型，材料不可壓縮）
2.2.2 幾何特性
如圖 2 所示， R59.50 為內層鋼的半徑和中間層橡膠的內徑， R73.00 為中間層橡膠的外徑，R71.10 為外層鋼的內徑， R80.00 為外層鋼的外徑。
圖 2 不可壓模型算例幾何特征
理論解與計算解的比較（理論解由 Maple 計算得出）
表 1 理論解與 ABAQUS 解的比較
3、可壓縮模型
橡膠的應變能采用多項式模型時，在靜水壓力荷載下 p 與 J 的關系如下：
用 ABAQUS 對這 1-4 組系數進行評估：
圖 3 不同系數對應的橡膠靜水壓力下的應力應變關系
將這六種橡膠本構代入第二部分中的算例中進行計算結果如下：
圖 4 第 6 組系數對應的位移圖圖 5 第 1 組系數對應的位移圖
由圖 4 和圖 5 容易看到這兩組系數對應的位移差異非常大。
表 3. 不同系數對過盈配合的影響
4、結論
由以上分析可以看到橡膠的可壓縮性在過盈配合中起到的作用是非常大的。
展開 斷裂力學—有限寬板含雙邊裂紋的應力強度因子計算 ￥19.89
(3) 不同板長時，理論解的應力強度因子與板長無關，并且數值解變化的數值微小。
理論解的最新內容
驗證方法
算法/技術
計算內容
解析解對比
經典彈性力學解析解（Euler-Bernoulli梁、Kirchhoff板）
將數值解與理論解逐項對比，驗證程序正確性
代碼間交叉驗證
同模型多軟件并行求解
圖1 （a）傳統多子區域光柵；（b）隨機掩模光柵（RMG）
理論分析：解析解推導衍射效率分布
團隊基于經典L型光柵波導模型，對水平和垂直方向的出瞳擴展過程進行了詳細的理論分析，通過微分方程推導得出滿足照度均勻性條件的衍射效率分布解析解：
1.折疊光柵（水平EPE）：僅考慮零級和-1級反射衍射，推導得出-1級衍射效率的雙變量分布函數，實現水平方向眼動范圍均勻性調控；
2.出耦合光柵（垂直
本文基于知識基礎觀理論，以兩個異質性制造企業組成的寡頭競爭市場為研究對象，參考經典研發競爭AJ模型和非對稱研發模型，構建外部知識對企業流程創新作用機制的兩階段非合作博弈模型，采用逆向回歸法求解子博弈納什均衡解，對均衡解進行理論分析，并進行數值模擬。
坍塌彎矩預測： 從力矩-轉角曲線的峰值點確定坍塌彎矩，并與理論解或文獻中的實驗結果進行對比驗證。
關鍵要點總結
幾何非線性至關重要： 即使轉角不大，由于彎管截面橢圓化與整體彎曲的耦合，也必須打開NLGEOM選項。
彎管-直管相互作用： 直管段會約束彎管的自由橢圓化，從而影響其柔性和坍塌行為，建模時必須包含足夠長的直管段。
在兩層反對稱層合板的正弦載荷分析中，CSS8 單元預測的層間正應力（σ_z）分布與高階理論解高度吻合，可以便攜的揭示界面處的應力突變現象，為分層失效評估提供了關鍵依據。
功能梯度材料分析
在功能梯度材料（FGM）梁的彎曲分析中，單元通過材料屬性的厚度方向插值，可模擬彈性模量的連續變化，準確計算沿厚度方向的應力梯度。
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圖 C-3-4（取 1/4 研究）
應力強度因子的理論解： KI ? ???a ??
1、 計算不同載荷下的應力強度因子的數值解和理論解，列表給出各種情況的數值解和理論解，并畫比較圖。
., 彈性模量E = 2(10)6 psi，泊松比v=0.3，解決平面應力問題，并將有限元的近似解與基于彈性力學理論的精確解進行對比。
二、理論分析
考慮這類中心開孔方板，受到單軸拉力，圓孔圓心和矩形中心重合，處于平面應力狀態，使用有限元求解此結構的變形圖。
帶著這個疑問，我查閱資料后欣喜地發現，1892年，就已經有人給出了理論解。
對于矩形缺口，堤壩兩側水的高度差為H，缺口寬度是B，那么缺口的水流量計算公式為，除以缺口面積，就得出缺口的平均流速。你看，公式顯示，缺口處水流速度居然只和壩兩側水的高度差有關，跟缺口寬度沒有關系。
那么在此基礎上再稍加推算，一個池子開口放水，流出相同體積的水所需的時間和缺口寬度成反比。
理論解，根據Euler公式。其中μ取決于固定方式。
!有限元方法，
已知在特征值屈曲問題：
求解，即可得到臨界載荷
而非線性屈曲問題：
其中為結構初始剛度， 為有缺陷的結構剛度，{δ}為位移矩陣，{F}為載荷矩陣。
!
但好在還有句俗話說得好，理論解不解釋，不耽誤工程使用。現象確定是這個現象就行了。下面我們就用仿真和實驗驗證一下，是否是這個神奇的溫度分離現象。
先看AICFD仿真結果：渦流管入口設置為壓力入口，3個大氣壓，溫度300K。計算后能看到管內空氣的螺旋流動，兩邊的出口能明顯看到溫度差異。
