理論解的案例
Abaqus有限元解與理論解對比_[5個(gè)材力題目，不同網(wǎng)格尺寸與單元類型]
今天整理資料發(fā)現(xiàn)17年在老東家上班時(shí)做的一個(gè)文檔，通過一系列計(jì)算對比了不同網(wǎng)格尺寸和單元類型下材料力學(xué)5個(gè)試題的有限元解和理論解，貼出來跟大家分享一下，雖然都是非常簡單的題目，但這些表格對理解有限元解的網(wǎng)格無關(guān)性有一定的幫助。
第1題、懸臂梁撓度
懸臂梁A-B的截面形狀為正方形，寬、高h(yuǎn)=b=100mm，長度l=1000mm，末端作用豎直向下集中力F=1000N，求B點(diǎn)（懸臂梁末端）向下的撓度。
基于python分析中心孔的均勻薄板受到單軸壓力將有限元的近似解與基于彈性力學(xué)理論的精確解進(jìn)行對比 ￥59.9
., 彈性模量E = 2(10)6 psi，泊松比v=0.3，解決平面應(yīng)力問題，并將有限元的近似解與基于彈性力學(xué)理論的精確解進(jìn)行對比。
二、理論分析
考慮這類中心開孔方板，受到單軸拉力，圓孔圓心和矩形中心重合，處于平面應(yīng)力狀態(tài)，使用有限元求解此結(jié)構(gòu)的變形圖。
首先對此結(jié)構(gòu)進(jìn)行單元剖分，確定單元按照有限元的分析流程，要先對此結(jié)構(gòu)進(jìn)行單元剖分，確定單元與結(jié)點(diǎn)編號、以及單元的自由度編號。因?yàn)檫@里是平面應(yīng)力問題，所以可以采用常應(yīng)變?nèi)切螁卧M(jìn)行網(wǎng)格劃分，并且采用的是非結(jié)構(gòu)化的網(wǎng)格。
基于MeshFree的鋼結(jié)構(gòu)理論解與仿真分析
本文利用經(jīng)典簡支梁模型，分別利用NASTRAN、MeshFree計(jì)算了梁的最大撓度，并與經(jīng)典理論解進(jìn)行對比分析。簡支梁模型及參數(shù)如下圖所示：
模型尺寸：5*2.5*150；材質(zhì)：鋼，彈性模量=200000MPa，泊松比=0.3。
邊界條件：兩端簡支；橫向均勻載荷1MPa
模型結(jié)果
基于meshfree的計(jì)算結(jié)果如下圖所示，最大撓度為5.05。
有限元模型單元采用solid，基本尺寸為2.5，基于NASTRAN的結(jié)果如下圖所示，最大值為5.08。
將上述的結(jié)果匯總?cè)缦拢?結(jié)果討論
基于上面的對比分析可知：
①在本文的討論范圍內(nèi)，對于靜態(tài)的結(jié)構(gòu)分析，meshfree的計(jì)算精度達(dá)到傳統(tǒng)有限元的水平；
②本人對meshfree的操作體驗(yàn)，界面友好，簡單快捷，后處理高效方便。
展開 ABAQUS橡膠工業(yè)中有限元計(jì)算問題過盈配合
本文首先給出一種不可壓橡膠模型過盈配合的理論解，并與ABAQUS 計(jì)算解進(jìn)行比較。進(jìn)一步本文探討過盈配合中假定橡膠不可壓時(shí)遇到的問題， 提出處理過盈配合中橡膠計(jì)算的方法。
2、可壓模型理論解與 ABAQUS 數(shù)值解的比較
2.1、理論解
理論解模型如圖 1，內(nèi)層為鋼，中間不可壓橡膠，最外層為鋼給出橡膠和橡膠之間的過盈量求整個(gè)結(jié)構(gòu)的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)假設(shè)平面應(yīng)變狀態(tài)。
本構(gòu)方程：
對于鋼：
對于橡膠：
2.1 材料性質(zhì)：
鋼：E=210000v=0.3橡膠：C10=0.461312, C20=0.01752, C30=8.8e-05 ，其余為 0，（三次多項(xiàng)式模型，材料不可壓縮）
2.2.2 幾何特性
如圖 2 所示， R59.50 為內(nèi)層鋼的半徑和中間層橡膠的內(nèi)徑， R73.00 為中間層橡膠的外徑，R71.10 為外層鋼的內(nèi)徑， R80.00 為外層鋼的外徑。
圖 2 不可壓模型算例幾何特征
理論解與計(jì)算解的比較（理論解由 Maple 計(jì)算得出）
表 1 理論解與 ABAQUS 解的比較
3、可壓縮模型
橡膠的應(yīng)變能采用多項(xiàng)式模型時(shí)，在靜水壓力荷載下 p 與 J 的關(guān)系如下：
用 ABAQUS 對這 1-4 組系數(shù)進(jìn)行評估：
圖 3 不同系數(shù)對應(yīng)的橡膠靜水壓力下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系
將這六種橡膠本構(gòu)代入第二部分中的算例中進(jìn)行計(jì)算結(jié)果如下：
圖 4 第 6 組系數(shù)對應(yīng)的位移圖圖 5 第 1 組系數(shù)對應(yīng)的位移圖
由圖 4 和圖 5 容易看到這兩組系數(shù)對應(yīng)的位移差異非常大。
表 3. 不同系數(shù)對過盈配合的影響
4、結(jié)論
由以上分析可以看到橡膠的可壓縮性在過盈配合中起到的作用是非常大的。
展開 
弦梁模態(tài)計(jì)算公式和數(shù)值仿真對比
設(shè)內(nèi)張力100N，線密度0.01kg/m，弦長1m
頻率理論解：50Hz，100Hz，150Hz
頻率數(shù)值解：50.06Hz，100.52Hz，151.77Hz
仿真要點(diǎn)：弦一端固定，另一端約束橫向位移，施加縱向荷載，預(yù)應(yīng)力模態(tài)分析，弦要足夠細(xì)，理論公式才成立，否則不是弦振動，而是梁振動。
設(shè)E=210GPa，I=1000mm^4，線密度0.88kg/m，梁長1m
頻率理論解：55.02Hz，151.65Hz，297.34Hz
頻率數(shù)值解：54.96Hz，151.40Hz，296.5Hz
仿真要點(diǎn)：無
設(shè)E=210GPa，I=1000mm^4，線密度0.88kg/m，梁長1m
頻率理論解：37.92Hz，122.89Hz，256.35Hz
頻率數(shù)值解：37.88Hz，122.68Hz，255.73Hz
仿真要點(diǎn)：無
頻率理論解：24.27Hz，97.08Hz，218.44Hz
頻率數(shù)值解：24.25Hz，96.95Hz，217.96Hz
仿真要點(diǎn)：右端點(diǎn)是否約束縱向自由度不影響求解結(jié)果。
頻率理論解：8.65Hz，54.18Hz，151.73Hz
頻率數(shù)值解：8.64Hz，54.12Hz，151.42Hz
仿真要點(diǎn)：左端點(diǎn)的六個(gè)自由度都必須約束。
頻率理論解：37.92Hz，122.89Hz，256.35Hz
頻率數(shù)值解：37.87Hz，122.65Hz，255.64Hz
仿真要點(diǎn)：左端點(diǎn)的六個(gè)自由度都必須約束，右端點(diǎn)是否約束縱向自由度不影響求解結(jié)果。
展開 斷裂力學(xué)—有限寬板含雙邊裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算 ￥19.89
(3) 不同板長時(shí)，理論解的應(yīng)力強(qiáng)度因子與板長無關(guān)，并且數(shù)值解變化的數(shù)值微小。
聲學(xué)仿真專題 | 直管的聲腔模態(tài)分析
1 建模
兩端封閉直管內(nèi)的空氣模型如下圖所示：
2 材料參數(shù)
空氣的密度和聲速如下圖所示：
3 網(wǎng)格劃分
有限元模型如下圖所示：
4 分析設(shè)置
聲腔模態(tài)分析的設(shè)置如下：
5 分析結(jié)果
前六階非零模態(tài)頻率如下：
6 對比理論解
理論解如下，驗(yàn)證了仿真結(jié)果的正確：
7 兩端封閉直管改為一端封閉、一端打開
只需要在分析設(shè)置上稍作修改，兩端封閉的直管就可以變?yōu)橐欢朔忾]一端打開的直管，如下圖所示：
8 分析結(jié)果
前六階非零模態(tài)頻率如下：
9 對比理論解
理論解如下，驗(yàn)證了仿真結(jié)果的正確：
10 兩端封閉直管改為兩端打開
只需要在分析設(shè)置上稍作修改，兩端封閉的直管就可以變?yōu)閮啥舜蜷_的直管，如下圖所示：
11 分析結(jié)果
前六階非零模態(tài)頻率如下：
12 對比理論解
理論解如下，驗(yàn)證了仿真結(jié)果的正確：
展開 ANSYS分析 vs 理論解 | 矩形截面梁的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)
與解析解吻合嗎？
一、模型演示
本試驗(yàn)演示了非圓形截面構(gòu)件在扭矩作用下的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)。
取一根由海綿制成的矩形截面梁，在縱向畫出每個(gè)面的中心線，代表梁的中性層。再沿梁長度方向等間隔地畫出一系列垂直線，代表梁的不同橫截面。用塑料框架固定海綿梁的一端，對另一端施加扭轉(zhuǎn)。可以觀察到：
(1)代表梁橫截面的線不再保持平直。
(2)代表中性層的水平中心線與垂直線之間的夾角不再保持90°。
素材來源：
那么，矩形截面梁的切應(yīng)力和扭轉(zhuǎn)角用ANSYS怎么計(jì)算呢？與解析解吻合嗎？
二、問題描述
矩形截面桿件的h= b = 20 mm，扭矩T= 200 N.m，剪切模量G = 80 GPa。計(jì)算矩形截面梁的切應(yīng)力和扭轉(zhuǎn)角。
問題分析：只受扭轉(zhuǎn)，用梁單元BEAM188建模分析。梁單元的單元屬性有單元類型、截面屬性和材料屬性。設(shè)置材料屬性一般輸入彈性模量和泊松比，計(jì)算前需將剪切模量G轉(zhuǎn)換成彈性模量E，E =2G(1+u)。設(shè)泊松比u = 0.3，彈性模量E= 208 GPa。單位制mm、N和MPa。矩形截面桿件長度取80mm。
三、計(jì)算結(jié)果
經(jīng)過ANSYS建模計(jì)算，以下是矩形截面梁的切應(yīng)力和扭轉(zhuǎn)角的計(jì)算結(jié)果。由此可見，當(dāng)梁的橫截面的份數(shù)多一些，更接近解析解。份數(shù)越多，ANSYS數(shù)值解趨于穩(wěn)定。
(1)計(jì)算結(jié)果列表
Nb和Nh是ANSYS中橫截面的份數(shù)，默認(rèn)是2份。
(2)扭轉(zhuǎn)角云圖
①Nb=Nh=2
②Nb=Nh=16
(2)切應(yīng)力云圖
①Nb=Nh=2
②Nb=Nh=16
四、理論計(jì)算
參考教材：劉鴻文. 材料力學(xué) I (第5版) [M]. 北京: 高等教育出版社, 2011: 91-93.
展開 ANSYS分析 vs 理論解 | 尋求結(jié)構(gòu)合理的橫截面設(shè)計(jì)
三、計(jì)算結(jié)果分析
1．撓度結(jié)果對比
2．撓度云圖
(1)截面1
(2)截面2
(3)截面3
四、理論計(jì)算
參考教材：劉鴻文.材料力學(xué)(第5版)[M]. 北京:高等教育出版社,2011: 110-209.
將t =1 mm、寬b =15 mm代入，慣性矩分別為33.75、843.75和2203.75，這三種截面關(guān)于水平中性軸的慣性矩比值為1:25:65。
五、GUI步驟
1．進(jìn)入ANSYS
程序→ ANSYS → ANSYS Product Launcher → 改變workingdirectory到指定文件夾 →在jobname輸入：file→ Run。
2．定義工作文件名及工作標(biāo)題
(1)定義工作文件名：UtilityMenu > File > Change Jobname → Change Jobname → 輸入文件名file→ OK。可不用輸入，默認(rèn)為file。
(2)定義工作標(biāo)題：UtilityMenu > File > Change Title → Change Title → 輸入Beam→ OK。可不用輸入。
3．定義單元屬性
(1)定義單元類型：
①指定BEAM188單元：MainMenu >Preprocessor >Element Type >Add/Edit/Delete →Add →在左列表框中選擇Beam，在右列表框中選擇2 node 188 →OK。
②設(shè)置單元選項(xiàng)：Options→Element behavior K3：CubicForm（三次形函數(shù)）；Shear stress output K4：IncludeBoth →OK。默認(rèn)情況下Element behavior是一次形函數(shù)，Shear stress output只輸出扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力，不輸出剪力產(chǎn)生的切應(yīng)力。
展開 【iSolver案例分享】桁架的躍越失穩(wěn)
可見，理論解、abaqus解、isolver解的三條曲線彎曲幾乎完全重合。
3、結(jié)論
iSolver軟件在上述兩個(gè)問題的求解中有足夠的求解精度。
ANSYS分析VS理論解 | 簡單托架應(yīng)力和變形分析（桿單元實(shí)例）
二、理論計(jì)算
三、GUI求解步驟
1．定義單元類型和材料屬性
(1)定義單元類型：Main
Menu >Preprocessor >Element Type >Add/Edit/Delete →Add
→在左列表框中選擇Link，在右列表框中選擇3D finit stn 180 →OK →Close。
(2)定義實(shí)常數(shù)：Main
Menu >Preprocessor >Real Constants >Add →Type 1 →OK →Real
Constant Set No.：1, AREA：314 →Apply，Real Constant Set No.：2, AREA：1020
→OK →Close。
(3)設(shè)置材料屬性：Main
Menu >Preprocessor >Material Props >Material Models
→Structural → Linear → Elastic →Isotropic →EX：2E5，PRXY：0.3 →OK。
2．建立模型
(1)定義節(jié)點(diǎn)：Main Menu >Preprocessor >Create >Nodes > In Active CS →依次輸入3個(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)1(0,0,0)，2(0,0,1.2E3)，3(0,-1.6E3,0) →OK。
(2)定義單元：
①定義BC桿的單元：Main Menu >Preprocessor >Create >Elements >Auto Numbered >Thru Nodes →拾取節(jié)點(diǎn)1和2 →OK。
展開 
朱俊兒：從一個(gè)簡單實(shí)驗(yàn)談結(jié)構(gòu)力學(xué)之美
圖3 “手風(fēng)琴式撕裂”的簡化折紙模型
將式(3)~式(6)代入式(2)后，可以得到
（7）
假設(shè)撕裂過程在平均載荷最小的情況下發(fā)生，將式(7)對變量ξ 和H 求偏導(dǎo)
（8）
即可消去ξ 并得到該問題的理論解
（9）
（10）
式(9)描述的是單個(gè)褶的幾何關(guān)系，而式(10)則給出了該褶形成所需的載荷，也就是我們在小實(shí)驗(yàn)中推筆所需的力。兩個(gè)結(jié)果都是褶皺寬度的函數(shù)，但工程中最直接的可測量值往往是入侵物的位移x (即小實(shí)驗(yàn)中筆被推動的距離)。實(shí)際上，H 與x 的關(guān)系可以從圖3 的折紙模型中利用簡單的幾何知識得到。最終，式(9)和式(10)可轉(zhuǎn)換為
（11）
（12）
其中b0 是撕裂口的初始寬度，也就是小實(shí)驗(yàn)中我們用剪刀挖的小缺口寬度。
圖4 和圖5 分別展示了式(11) 和式(12) 的預(yù)測值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對比，是不是很準(zhǔn)確？而且，細(xì)心的讀者應(yīng)該已經(jīng)注意到——式(11) 是不含材料參數(shù)，也就是說，撕裂軌跡與材料屬性無關(guān)，“手風(fēng)琴式撕裂”發(fā)生在紙上還是金屬板上，結(jié)果都是一樣的！我們將該軌跡近似處理成一條直線的話，軌跡線與加載方向所呈的角度大概就在13°~14°之間。
圖4 理論解對撕裂軌跡的預(yù)測(0.4mm 厚鋼板，初始寬度20mm)
圖5 理論解對載荷值的預(yù)測(0.4mm 厚鋼板，初始寬度20mm)
如果這個(gè)研究結(jié)束于此，那讀者大概會想“科研工作者都是理想主義者”，“知道個(gè)角度有個(gè)模型能有什么用？”
展開 南京林業(yè)大學(xué)荊宇教授課題組AM：二維honeycomb-kagome聚合物作為光解水催化劑的理論研究
在上述研究工作的基礎(chǔ)上，荊宇教授團(tuán)隊(duì)進(jìn)一步探索了將二維honeycomb-kagome聚合物用于光催化水分解的潛力，發(fā)現(xiàn)這些二維聚合物具有非常適合光解水的帶邊位置和較強(qiáng)的光吸收性能(圖3a和b)。通過進(jìn)一步模擬材料表面光解水半反應(yīng)的反應(yīng)機(jī)理，該團(tuán)隊(duì)發(fā)現(xiàn)改變中心雜原子和橋位官能團(tuán)可以有效地調(diào)控材料的光催化性能。通過將缺電子和富電子中心的二維聚合物組合成串聯(lián)的異質(zhì)結(jié)構(gòu)，不僅可以有效地抑制電子和空穴的復(fù)合還可以使氫氣和氧氣分別在不同的表面析出，從而有效地實(shí)現(xiàn)全解水。這種通過將晶格固有的能帶平帶特征與雜原子化學(xué)功能化特性相結(jié)合來構(gòu)建有效抑制電子/空穴重組的自驅(qū)動全解水串聯(lián)裝置（圖3c），為光解水制氫領(lǐng)域提供了新的解決方案。
圖3.不同二維聚合物帶邊位置 a)與其光吸收譜圖b）。c) 用于實(shí)現(xiàn)全解水的二維CTPB/DTPA串聯(lián)裝置。
該工作以《2D Honeycomb‐Kagome Polymer Tandem as Effective Metal‐Free Photocatalysts for Water Splitting》為題發(fā)表在《Advanced Materials》（Adv. Mater. 2021,2008645）上，第一作者兼通訊作者為南京林業(yè)大學(xué)荊宇教授，共同通訊作者為德國德累斯頓工業(yè)大學(xué)Thomas Heine教授。該工作得到了國家自然科學(xué)基金青年項(xiàng)目和江蘇省自然科學(xué)基金青年項(xiàng)目的資助。
展開 全自動型FEM系統(tǒng)在工程應(yīng)用中的局限
表1 梁單元與塊體單元的靜力分析比較
項(xiàng)目 塊體單元結(jié)果 梁單元結(jié)果 理論解
懸臂端的垂直位移 -13.35 -54.003 -54.000
懸臂端的轉(zhuǎn)角 -0.770 -2.699 -2.700
懸臂端繞梁軸線的轉(zhuǎn)角 0.000 0.312 0.170
固定端的最大正應(yīng)力 4 7.2 4500.000 4513.750
固有端的最大剪應(yīng)力 150.207 203.000 203.250
模型規(guī)模 136個(gè)節(jié)點(diǎn)64個(gè)單元 6個(gè)節(jié)點(diǎn)5個(gè)單元
圖1 塊體單元?jiǎng)澐值牧航Y(jié)構(gòu)
表2反映了采用梁單元結(jié)構(gòu)分析和塊體單元結(jié)構(gòu)分析時(shí)的模態(tài)分析情況，模態(tài)分析的起始頻率為0H2，終止頻率為200H2。表中的理論解是根據(jù)伽遼金方法所得，即f1=3.517×C/L(Hz),f2=22.77×C/L(Hz),其中C=(E×J/A/p)\,J為結(jié)構(gòu)的抗彎截面模量。
表2梁單元與塊體單元的模態(tài)比較
階序 理論解 塊體單元 梁單元
頻率 振型 頻率
振型
1 0.6699 2.1031 XOZ平面內(nèi)單調(diào) 0.0653 斜向平面內(nèi)單調(diào)
2 4.3369 4.2106 XOZ平面內(nèi)單調(diào) 0.6044 斜向平面內(nèi)單調(diào)
3 13.088 XOZ平面內(nèi)單波 1.1207 斜向平面內(nèi)雙波
4 25.581 XOZ平面內(nèi)單波 4.4433 斜向平面內(nèi)3波
就固有振型頻率數(shù)值而言，梁單元模型能求出能接近0H2的數(shù)值解，而塊體單元由于單元數(shù)較大、節(jié)點(diǎn)數(shù)多，采用常規(guī)方法0H2附近的解被淹沒；就振型而言，梁單元的06044H2單波振型接近伽遼金方法的一階解，而塊體單元的解與之相差較大。塊體單元結(jié)構(gòu)的低階振型均在與坐標(biāo)軸平面平行的平面內(nèi)，而梁單元結(jié)構(gòu)在斜向平面內(nèi)，較為符合實(shí)際情況。
展開 ANSYS分析VS理論解 | 梁分別受集中力、集中力偶和均布載荷作用的應(yīng)力和變形
二、理論計(jì)算
參考教材：劉鴻文. 材料力學(xué)(第5版) [M]. 北京: 高等教育出版社, 2011: 110-209.
三、GUI步驟
1．進(jìn)入ANSYS
程序→ ANSYS → ANSYS Product Launcher → 改變working directory到指定文件夾→ 在job name輸入：file → Run。
2．定義工作文件名及工作標(biāo)題
(1)定義工作文件名：UtilityMenu > File > Change Jobname → Change Jobname → 輸入文件名file→ OK。可不用輸入，默認(rèn)為file。
(2)定義工作標(biāo)題：UtilityMenu > File > Change Title → Change Title → 輸入Beam→ OK。可不用輸入。
3．定義單元屬性
(1)定義單元類型：
①指定BEAM188單元：MainMenu >Preprocessor >Element Type >Add/Edit/Delete→Add→在左列表框中選擇Beam，在右列表框中選擇2node 188 →OK。
②設(shè)置單元選項(xiàng)：Options→Element behavior K3：Cubic Form（三次形函數(shù)）；Shear stress output K4：Include Both →OK。默認(rèn)情況下Element behavior是一次形函數(shù)，Shear stress output只輸出扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力，不輸出剪力產(chǎn)生的切應(yīng)力。因此，需做如上修改，改成三次形函數(shù)和輸出切應(yīng)力。
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