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溫度場通過初始溫度以及塑性產熱計算，同時忽視局部的熱傳導，準靜態加載速率下的泰勒-昆尼系數η為0.0，1000 s加載速率下為0.95?1及以上(塑性功轉化為熱的比例)通過經典的熱激活模型，將溫度效應引入流動方程，并考慮溫度對剛度的退化位錯密度模型演化遵循經典的KM模型，同時考慮位錯之間的相互作用，即考慮了位錯的產生和湮滅，以及湮滅半徑與溫度的關系。

類型二：應變率修正的單晶唯象本構方程（類似于JC的修改形式，考慮溫度和應變率）類型三：考慮熱激活和位錯密度的物理本構模型作者詳細探討了三種模型的差異性和預測能力，并對物理模型的參數給出了大概的區間以及參數的影響，對于使用位錯密度模型提供了很好的范例三類模型的預測結果如下所示：模型一的預測結果模型二的預測結果

初始的計算模型如下所示：軋制模型：變形量為20%，整體包含500個晶粒，使用10萬C3D8R單元，整體計算時間為：34小時48分變形后的結果如下圖所示等效應力分布：等效塑性應變分布：幾何必須位錯密度分布：統計儲存位錯密度分布：可以看到和作者類似 的模擬趨勢，即GND分布于晶界相關，SSD分布主要是板材邊緣位置，

位錯密度模型基于Hongtao Ding的論文；

相反，在基于位錯密度的模型中，GND概念可以很容易地作為本構框架的一部分進行整合（Nye，1953），目前通用的一類將幾何必要位錯（GND）引入本構模型的方式是通過Nye的位錯張量將應變梯度引入到GND之中GND幾何必要位錯張量的演化表示為其中：得到統計位錯密度和幾何必要位錯密度后，根據經典的taylor理論得到滑移系統當前時刻的臨界分切應力其中G為剪切模量

相反，在基于位錯密度的模型中，GND概念可以很容易地作為本構框架的一部分進行整合（Nye，1953），目前通用的一類將幾何必要位錯（GND）引入本構模型的方式是通過Nye的位錯張量將應變梯度引入到GND之中GND幾何必要位錯張量的演化表示為其中：得到統計位錯密度和幾何必要位錯密度后，根據經典的taylor理論得到滑移系統當前時刻的臨界分切應力其中G為剪切模量

SSD密度和GND密度以相似的方式表現出不均勻分布。SSD和GND都聚集在晶界附近。SSD密度隨著塑性應變的增加而增加，而GND密度則隨著塑性應力的增加而降低。此外，總位錯密度隨著塑性應變的增加而增加。

基本框架如下：硬化模型（Taylor（1938）的位錯模型）：其中μ是剪切模量，b是burger矢量，α是唯象的擬合系數區間（0.3，0.5），位錯密度由兩部分組成，即統計儲存位錯密度SSD和幾何必須位錯密度GND:幾何必須位錯密度與有效應變梯度直接相關聯：其中r是nye因子，對于FCC結構通常為1.90統計儲存位錯密度計算方程為：其中σref

等效塑性應變分布：幾何必須位錯密度分布：

dg表示該滑移系統距離最臨近晶界的距離，對于FCC-Cu，ks根據位錯動力學模擬獲得約為5，其余參數如下作者的案例模型：相同位錯密度不同晶粒尺寸以及相同晶粒尺寸不同位錯密度的流動應力結果如下：相同位錯密度不同晶粒尺寸的累計滑移云圖為：相同位錯密度不同晶粒尺寸的位錯密度分布云圖：相同位錯密度不同晶粒尺寸的等效應力分布云圖：流動應力和晶粒尺寸關系云圖

作者的理論框架：基于亞彈性的運動學框架其中流動模型為經典的冪律流動模型硬化模型基于taylor位錯理論模型與傳統Km位錯密度不同的是，為了更全面理解位錯產生和湮滅的演化特征，作者使用了Zikry等人提出的位錯模型概念，將總位錯密度進一步細分為固定位錯密度和可移動位錯密度，其演化遵循其中G_sour表示由于位錯導致的移動位錯密度增加的系數，g_minter

位錯密度包括統計存儲位錯的密度ρS和幾何必要位錯的密度ρG之和：其中ρG與有效塑性應變梯度的關系表示為r為nye位錯張量，對于FCC材料通常為1.9，拉伸流動應力與剪切應力關系表示為M為taylor因子，對于FCC材料通常為3.06因此流動應力可以通過統計儲存位錯密度和幾何必須位錯密度進行表征，其中幾何必須位錯密度使用有效塑性應變梯度進行代替

同時新版本引入了重結晶和更通用的位錯密度的本構框架（如鎂，鈦，鋯，鋅），其中Nye-Kroner model：這是一種描述晶體中位錯密度變化的本構模型，通過計算位錯密度的變化和流動，來預測材料的宏觀塑性變形行為。Dynamic recovery model：這是一種描述動態回復過程的本構模型，通過考慮位錯密度、晶粒尺寸和應變速率等因素，來預測材料的塑性變形行為。

傳統積分方案計算多晶模型案例：包含200個晶粒的鋁合金（參數使用文章提供的參數）拉伸變形10%的結果：應力分布總位錯密度分布：刃位錯密度分布：螺位錯密度分布：

下圖為變形過程中Prismatic <a>和Pyramidal <c+a>滑移產生的位錯密度以及總的位錯密度變化，可以看到Pyramidal <c+a>滑移產生的位錯密度與總的位錯密度基本相當，也側面反應出該滑移激活對于整個塑性變形的貢獻極大，此外，在變形初期由于孿生的誘發，導致初期的位錯密度增殖速率較慢。

(2)位錯密度模型（SCCE-D）：二，研究FCC-Cu和BCC-Fe兩種材料，基于特定方向擬合兩組本構方程得到最適合的材料參數，并應用于不同取向單晶變形行為預測,發現基于位錯密度的模型預測結果更接近于實驗結果擬合圖（Cu）：預測圖：擬合圖（Fe）預測圖三，作者使用RVE比較了基于單晶擬合獲得的參數在多晶預測結果的情況

通過對比是否考慮晶界障礙項，可以觀察晶界附近滑移活動、位錯密度分布以及應變局部化特征的變化。初始RVE模型如下：一段固定一段沿著X方向施加位移載荷變形結束后的應力分布：等效塑性應變分布：晶界通透系數（滑移系1）晶界障礙強度（滑移系1）總的位錯密度分布：

文章doi：10.1016/j.ijplas.2019.09.006推薦理由：作者基于經典的K-M硬化的位錯密度模型，考慮晶界處更高的位錯塞積，提出了考慮晶界效應的位錯密度模型，探討滑移轉移對Al雙晶拉伸變形機制的影響。