應變梯度模型（Strain Gradient Model）是一種材料模型，由 Gurtin 和 Sternberg 在 1962 年引入的，用于研究非局部效應對連續介質行為的影響。然而，這個模型直到近年來才開始在納米材料領域得到廣泛的應用和研究。材料被視為連續、均質的介質，其行為由宏觀應力和應變張量描述。然而，當材料的尺寸減小到與其微結構大小相同的數量級時，傳統模型就不再適用，因為微觀結構的影響變得更加顯著。

應變梯度模型引入了一個額外的應變梯度項來描述材料的非局部行為。這個梯度項捕捉了在微觀尺度上材料應變的變化率。

相對于傳統塑性模型，應變梯度塑性模型的主要優勢體現在

1. 更準確地描述納米尺度下的材料行為。在納米尺度下，材料的微觀結構對其力學行為有著重要的影響。傳統的連續介質力學模型無法很好地描述這種非局部行為，而應變梯度模型通過引入應變梯度項，可以更準確地描述納米材料的力學行為。

2. 提高了預測材料性質的能力。應變梯度模型可以更好地捕捉材料的微觀尺度下的非局部效應，從而提高了模型預測材料力學性質的能力。

3. 可以揭示材料行為的新特性。應變梯度模型可以更好地描述納米材料的強度、韌性、斷裂行為等特性，從而有助于揭示材料行為的新特性和機制。

4. 為納米加工和納米器件設計提供了指導。應變梯度模型可以幫助人們更好地理解納米材料的力學行為，從而為納米加工和納米器件設計提供指導。例如，在設計納米器件時，需要考慮材料的強度、韌性等特性，應變梯度模型可以幫助人們更準確地預測這些特性，從而指導器件的設計和優化。

在過去的幾十年中，應變梯度模型得到了不斷的發展和完善。其中一個重要的進展是基于變分原理的應變梯度模型，這種方法可以更好地處理材料的宏觀和微觀結構之間的相互作用。另外，還有一些新的應變梯度模型被提出，如擴散應變梯度模型、自適應應變梯度模型等，這些模型更加復雜，可以更好地描述納米材料的非局部行為。

除了理論方面的發展，應變梯度模型在實驗方面的應用也得到了大力推廣。通過納米壓痕、納米拉伸等實驗技術，可以直接測量材料的應力應變曲線和強度等力學性質，從而驗證和完善應變梯度模型。

在GTN模型中通過使用包含應變梯度效應的應變硬化，可以明顯提高GTN模型在微納尺度下模型的斷裂預測能力，并可以引入微觀內變量更好的與微觀理論和實驗進行對比分析，目前應用最廣泛的方式是使用2004huang提出的基于機制的應變梯度塑性（CMSG）的傳統理論，并與泰勒位錯模型相關聯，但不涉及高階應力，因此不需要高階邊界條件，使得在通用商業求解器的實現成本大大降低。并被證明與高階應變理論具有相近的預測能力

理論框架如下：

根據taylor位錯理論，位錯密度與剪切流動應力的關系可以表示為

其中μ為剪切模量，b是伯格斯矢量，α是取值在0.3和0.5之間的經驗系數。位錯密度包括統計存儲位錯的密度ρS和幾何必要位錯的密度ρG之和：

其中ρG與有效塑性應變梯度的關系表示為

r為nye位錯張量，對于FCC材料通常為1.9，拉伸流動應力與剪切應力關系表示為

M為taylor因子，對于FCC材料通常為3.06

因此流動應力可以通過統計儲存位錯密度和幾何必須位錯密度進行表征，其中幾何必須位錯密度使用有效塑性應變梯度進行代替

假設單軸拉伸應力應變之間的關系表示為：

則統計位錯密度可以計算為：

通常稱L為材料內稟長度，為材料的特征參數，對于銅通常為0.004mm，鎳為0.006mm，其計算方式為

通過gao等人的理論，有效應變梯度的計算為

值得注意的是huang的CMSG理論僅適用于比平均位錯間距大得多的尺度。對于金屬中位錯密度的常見值，基于泰勒位錯模型的SGP理論的物理有效性下限約為100nm。

通過方式可以改善GTN模型在微尺度下的預測能力

耦合基于機制的應變梯度塑性理論和GTN模型的案例展示

一個含孔洞薄板的單軸拉伸模擬

應力分布云圖

幾何必須位錯密度分布云圖

統計儲存位錯密度分布云圖

孔洞體積分數

值得注意的是使用包含梯度效應的模型使用質量縮放要十分謹慎，可能造成劇烈的數值振蕩，同時多積分點處理是多核運算也可能導致錯誤的數值模擬結果