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用微分的方法分析可得到弦上一點的位移是這一點所在的位置和時間為自變量的偏微分方程。偏微分方程又很多種類型，一般包括橢圓型偏微分方程、拋物型偏微分方程、雙曲型偏微分方程。上述的例子是弦振動方程，它屬于數學物理方程中的波動方程，也就是雙曲型偏微分方程。偏微分方程的解一般有無窮多個，但是解決具體的物理問題的時候，必須從中選取所需要的解，因此，還必須知道附加條件。

這個保證來自于應用數學領域的微分方程理論。在將一個問題交給PINN求解之前，我們通常依賴于已知的數學定理來確保問題是一個“適定性問題”，即： 存在性：至少有一個解。 唯一性：最多有一個解。 穩定性：解連續地依賴于初始條件或邊界條件。例如將上述波動方程初始條件中的一階導公式去掉，解就失去了唯一性，PINN就無法按預期工作。

Burger's方程如下： 邊界條件如下： 使用python，通過PINN方法，結合神經網絡，可以快速地求解該偏微分方程，以下是三個t時刻的結果，和方程解析解幾乎完全一致：

PINN求解burger方程，tensorflow框架，附代碼（三）TensorFlow 1.x和TensorFlow 2.x區別 TensorFlow 1.x版本只有靜態圖模式，需要手動構建計算圖，調試困難，但性能好。 TensorFlow 2.x 初期：默認Eager Execution，易于調試，但性能較差。

CFD模擬通過在表示流體區域的網格上求解流體力學納維-斯托克斯方程組（一種偏微分方程）來實現。在過去的幾十年中，CFD模擬在模擬不同工程領域的流體問題方面取得了巨大進展，并已成為流體力學中的重要工具。 然而，CFD模擬存在一定的限制。當流體域和流場復雜時，網格生成可能是一項困難的任務。更細的網格可以給出更準確的結果，但它在時間和資源上的計算成本很高。

大多數物理現象（當進行數學建模時）都會形成偏微分方程 (PDE)。最實用且最常用的偏微分方程是泊松方程。 泊松方程是一個橢圓偏微分方程，它控制著電磁、靜電、引力和擴散問題等的數學建模。有限差分法是一種近似方法，用于解決涉及偏微分方程的各種問題。問題可以是與時間無關的、與時間相關的、線性的或非線性的。

PINN通過將控制方程、邊界條件等物理先驗嵌入神經網絡，以無網格方式實現微分方程求解，在流體力學、固體力學、傳熱學等領域展現出突破性潛力。其核心論文（引用超13,000次）開創了物理驅動深度學習的范式，成為Nature、CMAME等頂刊的研究熱點。2. 傳統數值方法與機器學習的融合需求有限差分法（FDM）和有限單元法（FEM）雖成熟但依賴離散化，難以處理復雜幾何與多物理場耦合問題。

pinn求解固體力學問題（強形式）彈性力學三類基本方程 平衡方程：該方程也稱動量守恒方程或柯西第二運動定律，其表明物體內部應力的變化（散度）必須與作用在其上的體力相平衡張量表示： 幾何方程：描述材料形變與位移之間的關系張量表示： 本構方程：描述材料的應力-應變關系。

求解偏微分方程的解析方法 過程或系統的數值模型在工程和科學中使用偏微分方程表示。求解基于偏微分方程的數學模型以獲得問題解。求解問題的解析方法僅適用于系統具有簡單邊界的偏微分方程。然而，大多數實際問題都涉及復雜的邊界條件或不規則邊界。在建模為困難邊值問題的系統中，分析方法不起作用。對于此類復雜的數學模型，解決問題涉及使用數值方法。

根據牛頓第二定律 F合=ma，可寫出下式 上圖也有一個偏微分方程dx^2/dt^2+k/m*x=0。還認識它嗎？不要被它嚇住了，翻翻高等數學上冊第七章第七節 常系數齊次線性微分方程，就有答案了。但是本文不想討論數學解方程，我想說的，有了comsol，直接輸入偏微分方程，讓comsol來解方程就輕松多了。這里m我取1kg，k取1N/m，球的初始坐標x0=1m。

十八世紀中葉，現代數學家們開始用偏微分方程（Partial differential equation）描述自然界物理場的變化規律。 然而，大多數偏微分方程難以有效求解。數值方法是應用最廣泛的偏微分方程求解方法之一，包括有限元法、有限差分法、有限體積法、邊界元法等。這些方法通過將偏微分方程離散化為有限維的計算問題，然后使用數值方法求解這些問題的解。

通過引入試函數，并將偏微分方程與這些試函數相乘，然后在建模域中對其進行積分，即可從逐點偏微分方程得到這種形式（也稱為強形式）。您可以選擇將這一過程與分部積分法結合使用。每個試函數都必須保持積分關系。為了與偏微分方程一致，必須有無窮多的試函數，并且這些試函數必須具有普遍的適用性。如此一來，就必須保持無窮多個積分關系，而建模域中每個點的逐點偏微分方程也必須保持不變。

有限元法簡介空間和時間相關問題的物理定律通常用偏微分方程（PDE）來描述。對于絕大多數的幾何結構和所面對的問題來說，可能無法求出這些偏微分方程的解析解。不過，在通常的情況下，可以根據不同的離散化 類型來構造出近似的方程，得出與這些偏微分方程近似的數值模型方程，并可以用數值方法求解。如此，這些數值模型方程的解就是相應的偏微分方程真實解的近似解。

COMSOL是基于有限元方法求解工程設計問題的計算軟件，根植于數學物理方法，直面數學物理方程，從最底層理論出發，揭示物理現象本質。COMSOL主要可以分成兩大塊：針對各種物理問題開發的功能模塊和數學模塊（也是PDE偏微分方程模塊）。

這兩種分析所求解的偏微分方程不同，但都是由麥克斯韋方程組推導得到。理解了麥克斯韋方程組，就掌握了探索光器件奧秘的鑰匙。COMSOL的波動光學模塊就是通過計算由麥克斯韋方程組得出的偏微分方程來仿真各類光器件。