關鍵要點

• 當前向時間步的輸出表達式依賴于自身時，隱式有限差分法用于求解問題。 

• 隱式有限差分方程中會有不止一個未知數。

• 隱式有限差分法一般用于求解對時間步長沒有限制的問題。 

采用數值方法求解偏微分方程

為了求解偏微分方程，通常采用數值方法。基于偽譜 (PS)、有限元 (FM) 和有限差分 (FD) 等差分技術的數值方法用于解決熱傳導問題、流體流動問題和擴散問題。有限差分法可以是顯式的或隱式的，具體取決于為給定系統開發的方程式類型。在隱式有限差分法中，不需要隨意遞歸計算，因為函數依賴于自身。

讓我們進一步了解隱式有限差分法。

求解偏微分方程的解析方法

過程或系統的數值模型在工程和科學中使用偏微分方程表示。求解基于偏微分方程的數學模型以獲得問題解。求解問題的解析方法僅適用于系統具有簡單邊界的偏微分方程。然而，大多數實際問題都涉及復雜的邊界條件或不規則邊界。在建模為困難邊值問題的系統中，分析方法不起作用。對于此類復雜的數學模型，解決問題涉及使用數值方法。

有限差分法

差分技術包括偽譜 (PS)、有限元 (FM)和有限差分 (FD) 方法。在這些數值方法中，有限差分法非常重要，因為它需要最少的內存和計算時間。此外，與其他數值技術相比，它涉及簡單的實現，復雜性較低。

除了傳統的有限差分法外，還有多種變體可供使用。開發了各種有限差分變體，旨在提高有限差分法在數值建模中的準確性、效率和穩定性。

有限差分法變體

當使用解析方法求解偏微分方程時，解是表達問題域中因變量變化的封閉形式表達式。然而，基于有限差分法的解決方案給出了域中離散點處的變量值。離散點通常稱為網格點。

網格點

在傳統的有限差分法或格式中，網格點的數量是固定的。傳統的有限差分法需要大量的內存和計算時間。為了減少內存需求和計算時間，采用可變網格方案。此外，可以實現計算成本的降低。在數值網格的不同部分引入時間采樣不僅可以最大限度地減少計算時間，還可以優化網格大小。

根據為問題域制定的方程的性質，有限差分法分為顯式和隱式有限差分法。 

區分顯式和隱式有限差分法 

在有限差分法的變體中，總是使用顯式和隱式有限差分法。 

顯式有限差分法

求解方程時，若直接從已知值求出某一時間層次的因變量，則構成顯式有限差分法。考慮等式：

在此等式中，時間點 (n+1) 處的 y 值取決于時間 n 處的變量 x 和時間步長 n 處的 y 函數。該等式意味著執行計算是為了使用先前時間步長的數量及時獲得前向值。這種類型的有限差分格式被稱為顯式的。

然而，在某些表達式中，向前時間步的輸出取決于它自己。隱式有限差分法用于解決此類問題。 

隱式有限差分法

如果將未來時間水平的未知量用該時間水平的變量和過去、現在、未來時間的變量來表示，就形成了隱式有限差分法。

考慮等式： 

^{這里，第 (n+1)個}時間步的y取決于第 n^個時間步的 x 值和第 (n+1) 個時刻的 f(y) 的函數。等式中沒有明確的關系。這需要隱式有限差分法。

使用隱式有限差分法解決問題

隱式有限差分法一般用于求解對時間步長沒有限制的問題。該方法用于求解熱傳導方程、定常和非定常無粘性和粘性可壓縮流、擴散方程、電磁問題和計算渦流尾流。

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