CFD學(xué)習(xí)：使用有限差分法求解泊松方程

Cadence CFD學(xué)習(xí)

2023年7月11日 15:37

瀏覽：2942 收藏：1

要點(diǎn)

有限差分法是一種近似方法，用于解決涉及偏微分方程的各種問題。
有限差分法將偏微分方程轉(zhuǎn)換為一組線性方程，并使用矩陣求逆來求解它們。
使用有限差分法獲得泊松方程的解，將具有無限自由度的連續(xù)場問題替換為有限正則模態(tài)的離散場。

最實用、最常用的偏微分方程是泊松方程

在工程領(lǐng)域，工程師必須應(yīng)對各種物理情況。大多數(shù)情況都可以使用數(shù)學(xué)方程來描述。泊松方程就是這樣的方程之一，它控制擴(kuò)散、引力和靜電等物理情況。泊松方程可以使用各種數(shù)值方法求解。使用有限差分法(FDM)獲得泊松方程的解很受工程師歡迎。在本文中，我們將進(jìn)一步探討泊松方程和有限差分法。

工程中的泊松方程

在工程中，物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)建模很常見。大多數(shù)物理現(xiàn)象（當(dāng)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模時）都會形成偏微分方程 (PDE)。最實用且最常用的偏微分方程是泊松方程。

泊松方程是一個橢圓偏微分方程，它控制著電磁、靜電、引力和擴(kuò)散問題等的數(shù)學(xué)建模。有限差分法是一種近似方法，用于解決涉及偏微分方程的各種問題。問題可以是與時間無關(guān)的、與時間相關(guān)的、線性的或非線性的。

有限差分法適用于求解狄利克雷、諾伊曼等不同邊界條件的問題，適用于不同邊界形狀或由不同材料組成的區(qū)域的問題域。

讓我們看幾個物理情況的例子，其中數(shù)學(xué)模型導(dǎo)出泊松方程。

用泊松方程表示的物理現(xiàn)象的例子

擴(kuò)散方程 -在擴(kuò)散問題中，通量以化學(xué)溶質(zhì)的量和擴(kuò)散率 (k) 表示。穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散可以用泊松方程的形式描述如下，其中S(x)是溶質(zhì)源：

CFD學(xué)習(xí)：使用有限差分法求解泊松方程的圖2

熱擴(kuò)散方程 -熱擴(kuò)散方程用可能的熱源和熱擴(kuò)散系數(shù)來表示。方程為：

CFD學(xué)習(xí)：使用有限差分法求解泊松方程的圖3

H 是熱場，T 是溫度場，K 是常數(shù)，S(x) 是可能的熱源。

靜電方程 -根據(jù)靜電定律，可以導(dǎo)出與電荷 (P)、電場 (E) 和介電常數(shù)相關(guān)的方程：

CFD學(xué)習(xí)：使用有限差分法求解泊松方程的圖4

量子力學(xué)中的薛定諤方程。
生物有機(jī)體在溶液中的運(yùn)動。

盡管泊松方程是對工程情況進(jìn)行建模的強(qiáng)大工具，但分析求解該方程的可能性僅適用于簡單的幾何形狀。在對具有復(fù)雜幾何形狀的系統(tǒng)的行為進(jìn)行建模時，通常依賴于數(shù)值技術(shù)。有多種數(shù)值模擬和競爭算法可用于求解泊松方程。然而，有限差分法是最簡單的方法。

有限差分法

由于泊松方程僅適用于少數(shù)簡單的工程模型，因此采用計算算法來獲得近似數(shù)值解。在數(shù)值技術(shù)中，有限差分法是求解泊松方程最古老、最簡單、最直接的方法。

有限差分法將偏微分方程轉(zhuǎn)換為一組線性方程，并使用矩陣求逆來求解它們。在 FDM 中，偏微分方程直接從連續(xù)函數(shù)和算子轉(zhuǎn)換為離散采樣對應(yīng)項。FDM的精度與有限網(wǎng)格逼近連續(xù)函數(shù)的能力有關(guān)。通過增加 FDM 中的樣本數(shù)量，可以最大限度地減少解決方案中的錯誤百分比。