在上周合成金納米錐，然后去測吸收譜時，我測得的吸收譜如下

這里不想談為何金種一樣但譜線各不相同，合成金納米顆粒是個技術活，也是運氣活。本文著重想談的是：為何吸收峰是類似高斯型的？它不是一個方形或者三角形的，而偏偏是類似圓潤的高斯型，能夠從數學的角度給出解釋嗎？

答案是當然能，這里就需要引入諧振子模型來回答這個問題。

在實際實驗中，金納米顆粒內部有非常多的可自由移動的電子，當外來的光場激發金納米顆粒后，自由電子會上下來回振蕩，如下圖

紅色箭頭表示入射平面光的電場矢量E的指向，金納米球表面的紅色表示正電荷，藍色表示負電荷，可以看到負電荷傾向于往E所指向的方向的反方向跑，這一點與電磁學所學相符。

在一段時間內，電場指向上下變化了多次，電荷也上下隨之振蕩多次，因此，提出以下模型：

假設有一根彈簧拉著一個球（球就是一個電子），定義彈簧不拉伸也不壓縮的位置為坐標原點，初始時刻彈簧處于拉伸狀態，即球位于x軸正方向上某一點。然后松手，讓球被彈簧拉回去，研究球的位置的x值與時間的關系。

這個問題可以分為三類

1，理想諧振子：地面對球沒有摩擦力，球在x方向上只有彈簧力

2，阻尼諧振子：地面對球有摩擦力，阻礙了球運動，這樣球在x方向上就有彈簧力和摩擦阻力

3，阻尼諧振子+周期性外力：地面不僅對球有摩擦力，球在運動過程中還受到一個沿著x方向隨時間做周期性變化的力，這樣球在x方向上就有彈簧力，摩擦阻力，周期性外力

 1，理想諧振子

彈簧力為-kx,k為胡克系數，x為球的位置。當x為正時，彈簧力顯然為指向x軸負方向的拉力，所以還有一個負號。根據牛頓第二定律 F_合=ma，可寫出下式

 

上圖也有一個偏微分方程dx^2/dt^2+k/m*x=0。還認識它嗎？不要被它嚇住了，翻翻高等數學上冊第七章第七節 常系數齊次線性微分方程，就有答案了。但是本文不想討論數學解方程，我想說的，有了comsol，直接輸入偏微分方程，讓comsol來解方程就輕松多了。

這里m我取1kg，k取1N/m，球的初始坐標x0=1m。求得球的x坐標與時間關系如下

可以看到，隨著時間變化，x在-1到1之間來回振蕩。

2，阻尼諧振子

在理想諧振子中假定地面是光滑無摩擦力的，在實際中地面不可能光滑，假定地面存在摩擦阻力f_阻，且f_阻與小球速度呈正比，正比的系數為gamma,則f_阻=gamma*(dx/dt)。有以下方程

輸入偏微分方程到comsol中分別求解出如下圖像

3，阻尼諧振子+周期性外力

這里的周期性外力就是最初的入射光場給金顆粒電子的力，是這三個諧振子模型中最接近真實情況的模型。請注意，本模型不考慮電子移動產生的輻射電場對入射電場施加的周期性外力的影響。

當omega0^2>2*beta^2時，外加力的角頻率omega=sqrt(omega0^2-2*beta^2)時，振幅（小球能達到的最遠的位置）達到最大值

如下圖

可以看到穩定后振幅會大于初始位置x0(x0=1m)

當omega0^2<2*beta^2時，振幅隨外加力角頻率增大而減小，如下圖

4，近似擬合吸收光譜

改變3中外加力的角頻率omega（需要滿足omega0^2>2*beta^2），可以繪制出不同角頻率的力施加后，小球能到達的最遠的位置是多少。

如下圖，橫坐標是外加力角頻率，縱坐標是小球能到達的最遠位置

也許有一點不像吸收光譜，增大阻尼beta試試

要想與實驗測得的吸收光譜擬合的非常好，得查文獻找對應的材料參數，然后微調參數擬合，但我暫時不想這么搞，本文的目的是用數學公式取解釋吸收光譜為什么是近似高斯型，而不是方形或三角形，或者其他形狀。答案在重復一遍，就是下圖（注意，上面所有的推導和下面這個公式，都是一種近似，有許多細節沒考慮，比如電子移動產生的電場會對入射光場有干擾，造成能量輻射損失）