弧長(zhǎng)法
關(guān)注創(chuàng)建者：想吃大餐的Mr.Lee 創(chuàng)建時(shí)間：2018-06-25
弧長(zhǎng)法的視頻教程
非線性屈曲分析workbench
本課程介紹如何使用ANSYS19R3版本的workbench來(lái)做非線性屈曲分析，課程共分上下兩章節(jié)，第一章節(jié)主要演示了線性屈曲計(jì)算及添加缺陷；第二章節(jié)介紹如何在workbench中使用APDL命令流來(lái)激活弧長(zhǎng)法，通過(guò)弧長(zhǎng)法來(lái)計(jì)算非線性屈曲，并繪制F-D曲線圖。課程的附件中包括了原始文件、屈曲缺陷添加的說(shuō)明。
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結(jié)構(gòu)非線性屈曲-abaqus篇
包括線性屈曲（特征值屈曲），初始缺陷施加， 非線性屈曲riks(弧長(zhǎng)法)計(jì)算， 計(jì)算結(jié)果分析。 附件：重新上傳操作過(guò)程的word文檔《網(wǎng)殼非線性屈曲》供下載
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基于abaqus的鋼管柱受壓屈曲分析
如何在ABAQUS中通過(guò)設(shè)置弧長(zhǎng)法以及如何編輯inp文件進(jìn)行施加初始缺陷的施加，講述了施加初始缺陷時(shí)的模態(tài)比例因子的具體的取值方法，同時(shí)還講述了基于實(shí)際理論計(jì)算得到的鋼柱極限承載力的結(jié)果和有限元分析的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，發(fā)現(xiàn)吻合良好。 通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)你講學(xué)習(xí)到初始缺陷如何在abaqus中進(jìn)行設(shè)置，如何對(duì)一個(gè)實(shí)際構(gòu)件求得臨界力和極限承載力。用來(lái)指導(dǎo)設(shè)計(jì)。課程附件中包含了cae模型和PPT。
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弧長(zhǎng)法的實(shí)例教程
為了搞清楚得到的最大荷載是否是結(jié)構(gòu)真實(shí)的極限荷載，需要用弧長(zhǎng)法來(lái)幫幫忙：
用弧長(zhǎng)法進(jìn)行預(yù)分析，得到結(jié)構(gòu)屈曲荷載近似值(預(yù)測(cè)數(shù)值)，再用傳統(tǒng)的二分法計(jì)算，兩個(gè)結(jié)果進(jìn)行比對(duì)看是否一致；
使用弧長(zhǎng)法計(jì)算，計(jì)算中手動(dòng)修改弧長(zhǎng)半徑，再看結(jié)果的變異情況。
繪制出結(jié)構(gòu)的荷載-位移曲線，探討曲線變化點(diǎn)的原因，從而確定數(shù)據(jù)是否可信。
于是，弧長(zhǎng)法非常值得研究。
何為弧長(zhǎng)法？
弧長(zhǎng)法是一種非線性求解的迭代控制方法，由于其可以解決在荷載和位移增量均不確定的情況下，生成變化的增量值，并能很好地追蹤結(jié)構(gòu)加載路徑而具有很高的“聲望”。關(guān)于弧長(zhǎng)法的原理，推薦參考《非線性分析弧長(zhǎng)法的讀書報(bào)告》、陸新征老師學(xué)生時(shí)代的作業(yè)：《基于預(yù)處理技術(shù)和弧長(zhǎng)法的非線性方程通用求解子程序總結(jié)報(bào)告 》，以及Yusd的博文《弧長(zhǎng)法（Riks Method）的基本原理》。喜歡編程的話，還可以參考他的另一篇文章《弧長(zhǎng)法(Riks method)通用求解程序》。英文資料可閱讀蘇黎世聯(lián)邦理工學(xué)院結(jié)構(gòu)工程研究所Prof. Dr. Eleni Chatzi的講稿：《The Finite Element Method for the Analysis of Non-Linear and Dynamic Systems》
在這里只強(qiáng)調(diào)一下弧長(zhǎng)法的一個(gè)獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)：
見下圖，當(dāng)微小荷載增量可以引起顯著的位移突躍，則成為荷載控制的急速通過(guò)(Snap though)；當(dāng)微小位移增量可以產(chǎn)生顯著的荷載突躍，則成為位移控制的急速返回(snap back)——這種復(fù)雜的加載路徑，單純荷載或位移控制已經(jīng)難以奏效，而弧長(zhǎng)法則可輕松處理此類問(wèn)題。
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展開 弧長(zhǎng)法的認(rèn)識(shí)
弧長(zhǎng)法的認(rèn)識(shí)1.txt
弧長(zhǎng)法的認(rèn)識(shí)2.txt
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弧長(zhǎng)法的認(rèn)識(shí)7.txt
非線性方程組一般可以表示為：
V為位移，為載荷，加入約束方程f(v,λ)=0
由上式可以得到求解迭代格式：
弧長(zhǎng)法的圖形解釋如下，可以看到在一個(gè)增量步之中，載荷和位移是同時(shí)進(jìn)行迭代的，載荷增量步也不像牛頓迭代法一樣是常數(shù)，而是能長(zhǎng)能短，能上能下，走得過(guò)山峰爬的了坡，因而弧長(zhǎng)法有path-following的本領(lǐng)。
接下來(lái)我么采取弧長(zhǎng)法求解上面的問(wèn)題，取如下約束方程：
該函數(shù)為一個(gè)圓，這更清晰的說(shuō)明了弧長(zhǎng)法的含義，下圖為k=0時(shí)的載荷位移曲線，除了極值點(diǎn)處有一些不足(代碼未加弧長(zhǎng)控制)，弧長(zhǎng)法得到了完整地載荷位移曲線。
總結(jié)：
至此我們介紹了弧長(zhǎng)法的基本原理和迭代格式，可以看到，弧長(zhǎng)法的基本思路還是較為清晰和簡(jiǎn)單的，關(guān)鍵是約束方程的選取，和一些求解的細(xì)節(jié)包括迭代速度優(yōu)化，弧長(zhǎng)選擇等問(wèn)題。這只是一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，相信如果大家能夠自己動(dòng)手推推這個(gè)公式，自己編寫一下代碼便會(huì)有更加深刻的方法，至于該方法應(yīng)用到更加復(fù)雜的問(wèn)題和有限元求解格式，還有更多的探討之處，這里先不考慮。
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展開 非線性-弧長(zhǎng)法-源代碼
在之前的帖子《非線性行為初識(shí)》中，我們通過(guò)簡(jiǎn)單的彈簧桿件結(jié)構(gòu)介紹了非線性問(wèn)題，牛頓代法和弧長(zhǎng)法。回顧一下該問(wèn)題：如圖所示，中間節(jié)點(diǎn)作用一個(gè)F的力，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)位移v，
由靜力平衡關(guān)系可得到
對(duì)于弧長(zhǎng)法，我們已經(jīng)介紹過(guò)其原理和迭代格式，下面為其具體的算法流程。
采取弧長(zhǎng)法求解上面的問(wèn)題，取如下約束方程：
該函數(shù)為一個(gè)圓，這更清晰的說(shuō)明了弧長(zhǎng)法的含義，下圖為k=0時(shí)的載荷位移曲線，除了極值點(diǎn)處有一些不足(代碼未加弧長(zhǎng)控制)，弧長(zhǎng)法得到了完整地載荷位移曲線。
python版源代碼如下，歡迎討論
展開 弧長(zhǎng)法點(diǎn)擊這里:
非線性 | 弧長(zhǎng)法(Arc-Length Methods)
改進(jìn)弧長(zhǎng)法點(diǎn)擊這里：
非線性|弧長(zhǎng)法改進(jìn)
對(duì)于一個(gè)非線性有限元模型，只有一個(gè)自由度
,外荷載
,內(nèi)力為
弧長(zhǎng)法的相關(guān)專題、標(biāo)簽、搜索
弧長(zhǎng)法的最新內(nèi)容
[案例]薄壁彎管在內(nèi)壓和彎矩作用下的彈塑性坍塌分析1個(gè)月前
由于涉及坍塌（極值點(diǎn)失穩(wěn)），通常需要使用弧長(zhǎng)法（Riks） 或設(shè)置非常小的初始增量步0.05來(lái)控制求解過(guò)程。
場(chǎng)輸出請(qǐng)求： 確保輸出應(yīng)力（S）、應(yīng)變（E）、位移（U）等。
增加輸出請(qǐng)求： 輸出Nout點(diǎn)集合的施加彎矩一端的反作用力矩（RM）和轉(zhuǎn)角（UR），用于繪制力矩-轉(zhuǎn)角曲線、橢圓變形等。
（2） 上面方法缺點(diǎn)是實(shí)際工程我們不知道應(yīng)該加哪個(gè)強(qiáng)制約束點(diǎn)或者如殼的屈曲，強(qiáng)制約束點(diǎn)太多無(wú)妨加和實(shí)際一樣的強(qiáng)制位移，所以實(shí)際工程更多的是加力，做出力和位移的關(guān)系，此時(shí)由于要越過(guò)馬鞍點(diǎn)，一般在有限元中采用弧長(zhǎng)法（Risk）替代Newton迭代來(lái)計(jì)算，具體可看系列文章4：非線性問(wèn)題的求解。
結(jié)構(gòu)失穩(wěn)與后屈曲分析
在淺殼結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)分析中，單元結(jié)合弧長(zhǎng)法可追蹤完整的后屈曲路徑，準(zhǔn)確預(yù)測(cè)臨界載荷和失穩(wěn)模式。例如，對(duì)淺屋頂薄殼在集中載荷作用下的分析，CSS8 單元能清晰捕捉 “snap-through” 現(xiàn)象，其臨界載荷計(jì)算值與參考解的偏差小于 2%。
弧長(zhǎng)法僅對(duì)靜態(tài)分析有效，而且必須激活幾何非線性（NLGEOM，ON）。不能和弧長(zhǎng)法一起使用線性搜素（LNSRCH）、自適應(yīng)下降、自動(dòng)時(shí)間步長(zhǎng)（AUTOTS,DELTIM）等。
介紹弧長(zhǎng)法之前，必須了解Newton-Raphson法的載荷控制和位移控制：
如下圖的位移-載荷曲線，如果使用載荷控制，只能夠達(dá)到Fcr。
因此為了得到較為精確的屈曲分析，還需要做非線性屈曲分析，后期繼續(xù)非線性屈曲分析的學(xué)習(xí)，將會(huì)采用弧長(zhǎng)法進(jìn)行求解。
!問(wèn)題描述
!中空矩形柱，長(zhǎng)度500mm，寬度39mm，厚度1.2mm。彈性模量E= 200 GPa，泊松比u =0.3。約束條件為兩端鉸支。
!
軟件采用弧長(zhǎng)法來(lái)控制載荷的比例、跟隨結(jié)構(gòu)體在極限載荷下的逐步失穩(wěn)的狀態(tài)，解決了常規(guī)牛頓法無(wú)法跟隨結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)并產(chǎn)生“跳變”結(jié)果的問(wèn)題。軟件從算法層面深度優(yōu)化了非線性屈曲過(guò)程中的收斂容差和準(zhǔn)則，使得屈曲過(guò)程更穩(wěn)定、更高效。
圖9 直拉桿非線性屈曲載荷比例曲線（LPF）
7）電磁力載荷
電機(jī)在工業(yè)領(lǐng)域的應(yīng)用越來(lái)越廣泛。
Simdroid“非線性屈曲”分析界面
“柱面弧長(zhǎng)法”是牛頓迭代法的一種擴(kuò)展，當(dāng)結(jié)構(gòu)臨近失穩(wěn)極限時(shí)，其剛度矩陣一般是奇異或者接近奇異的狀態(tài)，此時(shí)無(wú)法采用牛頓迭代法求解，采用弧長(zhǎng)法引入了荷載乘子作為求解自變量，可以避免剛度矩陣奇異的情況。
與提取特征值的線性屈曲分 析相比，弧長(zhǎng)法不僅考慮剛度奇異的失穩(wěn)點(diǎn)附近的平衡，而且通過(guò)追蹤整個(gè)失穩(wěn) 過(guò)程中實(shí)際的載荷、位移關(guān)系，獲得結(jié)構(gòu)失穩(wěn)前后的全部信息，適合于高度非線 性的屈曲失穩(wěn)問(wèn)題。
在ANSYS里還是牛頓－拉普森法和弧長(zhǎng)法。牛頓－拉普森法是常用的方法，收斂速度較快，但也和結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和步長(zhǎng)有關(guān)。弧長(zhǎng)法常被某些人推崇備至，它能算出力加載和位移加載下的響應(yīng)峰值和下降響應(yīng)曲線。但也發(fā)現(xiàn)：在峰值點(diǎn)，弧長(zhǎng)法仍可能失效，甚至在非線性計(jì)算的線性階段，它也可能會(huì)無(wú)法收斂。
為此，盡量不要從開始即激活弧長(zhǎng)法，還是讓程序自己激活為好（否則出現(xiàn)莫名其妙的問(wèn)題）。
Simdroid“非線性屈曲”分析界面
“柱面弧長(zhǎng)法”是牛頓迭代法的一種擴(kuò)展，當(dāng)結(jié)構(gòu)臨近失穩(wěn)極限時(shí)，其剛度矩陣一般是奇異或者接近奇異的狀態(tài)，此時(shí)無(wú)法采用牛頓迭代法求解，采用弧長(zhǎng)法引入了荷載乘子作為求解自變量，可以避免剛度矩陣奇異的情況。采用弧長(zhǎng)法時(shí)要求荷載必須是正比例加載，荷載乘子也被稱為荷載正比例系數(shù)（LPF），求解出的荷載乘子有可能隨著位移的增加增大或者減小。
