非線性有限元-弧長法簡介

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    在之前一篇帖子《非線性行為初識》中，我們通過簡單的彈簧桿件結構介紹了非線性問題，回顧一下該問題：如圖所示，中間節點作用一個F的力，會產生一個位移v                                 

由靜力平衡關系可得到

該方程精確解如下，圖中不同k對應的曲線，可以看到k比較小時，桿內力起主要作用，呈現出幾何非線性，K較大時，彈簧起主要作用，呈現出彈簧的線彈性。

藍色曲線為精確解，紅色點點為固定載荷增量下求得的位移，k=1000時，牛頓迭代法能夠很好地跟蹤載荷位移路徑，得到所有的位移響應。而當k=100時，曲線有下降段，此時牛頓迭代法就沒法得到這個區域的位移響應了。

對于下圖這樣的問題，在拐點處切線剛度為0，在前面的牛頓迭代法中我們是通過給定載荷增量，它已經無法越過極值點得到完整地載荷位移曲線。而且還存在一個載荷對應多個位移，或者一個位移對應多個載荷的情況，很容易發生snap-through和snap-back現象。

今天就來介紹介紹弧長法，牛頓迭代法在翻過山頭延切線方向飛入云霄，直接不收斂。如果讓牛頓坐上過山車，那么就能和軌道綁在一起，沿著軌道平穩著陸了。弧長法也是這么做的，通過引入一組約束方程，把迭代求解的過山車，綁定在軌道上，讓求解過程能夠跟蹤載荷位移路徑。非線性方程組一般可以表示為：

V為位移，為載荷，加入約束方程f(v,λ)=0

由上式可以得到求解迭代格式：

弧長法的圖形解釋如下，可以看到在一個增量步之中，載荷和位移是同時進行迭代的，載荷增量步也不像牛頓迭代法一樣是常數，而是能長能短，能上能下，走得過山峰爬的了坡，因而弧長法有path-following的本領。

接下來我么采取弧長法求解上面的問題，取如下約束方程：

該函數為一個圓，這更清晰的說明了弧長法的含義，下圖為k=0時的載荷位移曲線，除了極值點處有一些不足(代碼未加弧長控制)，弧長法得到了完整地載荷位移曲線。

總結：

至此我們介紹了弧長法的基本原理和迭代格式，可以看到，弧長法的基本思路還是較為清晰和簡單的，關鍵是約束方程的選取，和一些求解的細節包括迭代速度優化，弧長選擇等問題。這只是一個簡單的例子，相信如果大家能夠自己動手推推這個公式，自己編寫一下代碼便會有更加深刻的方法，至于該方法應用到更加復雜的問題和有限元求解格式，還有更多的探討之處，這里先不考慮。

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