弧長法的案例
ANSYS中弧長法的原理
為了搞清楚得到的最大荷載是否是結(jié)構(gòu)真實的極限荷載，需要用弧長法來幫幫忙：
用弧長法進行預(yù)分析，得到結(jié)構(gòu)屈曲荷載近似值(預(yù)測數(shù)值)，再用傳統(tǒng)的二分法計算，兩個結(jié)果進行比對看是否一致；
使用弧長法計算，計算中手動修改弧長半徑，再看結(jié)果的變異情況。
繪制出結(jié)構(gòu)的荷載-位移曲線，探討曲線變化點的原因，從而確定數(shù)據(jù)是否可信。
于是，弧長法非常值得研究。
何為弧長法？
弧長法是一種非線性求解的迭代控制方法，由于其可以解決在荷載和位移增量均不確定的情況下，生成變化的增量值，并能很好地追蹤結(jié)構(gòu)加載路徑而具有很高的“聲望”。關(guān)于弧長法的原理，推薦參考《非線性分析弧長法的讀書報告》、陸新征老師學(xué)生時代的作業(yè)：《基于預(yù)處理技術(shù)和弧長法的非線性方程通用求解子程序總結(jié)報告 》，以及Yusd的博文《弧長法（Riks Method）的基本原理》。喜歡編程的話，還可以參考他的另一篇文章《弧長法(Riks method)通用求解程序》。英文資料可閱讀蘇黎世聯(lián)邦理工學(xué)院結(jié)構(gòu)工程研究所Prof. Dr. Eleni Chatzi的講稿：《The Finite Element Method for the Analysis of Non-Linear and Dynamic Systems》
在這里只強調(diào)一下弧長法的一個獨特的優(yōu)勢：
見下圖，當(dāng)微小荷載增量可以引起顯著的位移突躍，則成為荷載控制的急速通過(Snap though)；當(dāng)微小位移增量可以產(chǎn)生顯著的荷載突躍，則成為位移控制的急速返回(snap back)——這種復(fù)雜的加載路徑，單純荷載或位移控制已經(jīng)難以奏效，而弧長法則可輕松處理此類問題。
轉(zhuǎn)自公眾號——ANSYS學(xué)習(xí)與應(yīng)用
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展開 弧長法的認識
弧長法的認識
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非線性有限元-弧長法簡介
非線性方程組一般可以表示為：
V為位移，為載荷，加入約束方程f(v,λ)=0
由上式可以得到求解迭代格式：
弧長法的圖形解釋如下，可以看到在一個增量步之中，載荷和位移是同時進行迭代的，載荷增量步也不像牛頓迭代法一樣是常數(shù)，而是能長能短，能上能下，走得過山峰爬的了坡，因而弧長法有path-following的本領(lǐng)。
接下來我么采取弧長法求解上面的問題，取如下約束方程：
該函數(shù)為一個圓，這更清晰的說明了弧長法的含義，下圖為k=0時的載荷位移曲線，除了極值點處有一些不足(代碼未加弧長控制)，弧長法得到了完整地載荷位移曲線。
總結(jié)：
至此我們介紹了弧長法的基本原理和迭代格式，可以看到，弧長法的基本思路還是較為清晰和簡單的，關(guān)鍵是約束方程的選取，和一些求解的細節(jié)包括迭代速度優(yōu)化，弧長選擇等問題。這只是一個簡單的例子，相信如果大家能夠自己動手推推這個公式，自己編寫一下代碼便會有更加深刻的方法，至于該方法應(yīng)用到更加復(fù)雜的問題和有限元求解格式，還有更多的探討之處，這里先不考慮。
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非線性-弧長法-源代碼
在之前的帖子《非線性行為初識》中，我們通過簡單的彈簧桿件結(jié)構(gòu)介紹了非線性問題，牛頓代法和弧長法?；仡櫼幌略搯栴}：如圖所示，中間節(jié)點作用一個F的力，會產(chǎn)生一個位移v，
由靜力平衡關(guān)系可得到
對于弧長法，我們已經(jīng)介紹過其原理和迭代格式，下面為其具體的算法流程。
采取弧長法求解上面的問題，取如下約束方程：
該函數(shù)為一個圓，這更清晰的說明了弧長法的含義，下圖為k=0時的載荷位移曲線，除了極值點處有一些不足(代碼未加弧長控制)，弧長法得到了完整地載荷位移曲線。
python版源代碼如下，歡迎討論
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弧長法的Python實現(xiàn)
弧長法點擊這里:
非線性 | 弧長法(Arc-Length Methods)
改進弧長法點擊這里：
非線性|弧長法改進
對于一個非線性有限元模型，只有一個自由度
,外荷載
,內(nèi)力為
非線性 | 弧長法(Arc-Length Methods)
-拉夫遜方法，使用弧長法，可以跟蹤復(fù)雜的荷載-變形路徑。
非線性|弧長法改進
非線性 | 弧長法(Arc-Length Methods)
非線性| 弧長法算例
弧長法改進算法之一是用垂直于迭代向量的平面代替圓弧，如圖所示：
用第
個迭代步的增量向量
垂直于
個迭代步的迭代向量
非線性| 弧長法算例
隨后，這個新計算出的弧長半徑將進一步被修正，以保證該半徑處于上下限之內(nèi)。當(dāng)用最小半徑也無法收斂時，弧長法將會自動停止。
接下來的迭代：
迭代步
f
u
λ
-fⅡ
3
0.00305898
1.08148605
3.973532132
9.204E-05
4
8.5833E-05
1.07368306
3.978526775
0.00024355
5
4.8669E-08
1.07363526
3.978311405
9.1393E-09
弧長法通過自動建立適當(dāng)?shù)暮奢d增量進一步優(yōu)化了牛頓-拉夫遜方法，使用弧長法，可以跟蹤復(fù)雜的荷載-變形路徑。弧長法通過自動建立適當(dāng)?shù)暮奢d增量進一步優(yōu)化了牛頓-拉夫遜方法，使用弧長法，可以跟蹤復(fù)雜的荷載-變形路徑。
展開 碟形容器外壓非線性屈曲，采用弧長法（原創(chuàng)，如轉(zhuǎn)載，請注明出處）
分析類型：基于ANSYS屈曲分析
技術(shù)難點：非線性分析 弧長法
完成人：技術(shù)鄰 張小燕
業(yè)務(wù)咨詢網(wǎng)址：
http://www.yqgqt.org.cn/z/413925
基于多點位移控制增量的網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析
本質(zhì)上，非線性屈曲實際上要求解的是一個非線性靜力問題，在有限元中最終轉(zhuǎn)化為非線性方程組的求解，目前常見的非線性方程組的求解方法有牛頓迭代法、擬牛頓迭代法、增量法、增量迭代法和弧長法等。在abaqus中，如果采用static，general類型的step，則軟件采用增量迭代法進行計算，具體是將荷載/位移分為多個增量步加載，而每一個增量步內(nèi)又采用牛頓迭代法進行求解。
對于單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)來說，在abaqus中，其計算非線性屈曲主要采用兩種方法：增量迭代法和弧長法。增量迭代法又分荷載增量迭代和位移增量迭代。對于單層網(wǎng)殼，由于通常情況下其所受的外荷載已知而在外荷載的位移未知，因此實際工程中事實上很難采用位移增量迭代，而對于荷載增量迭代，其具體過程如圖一所示：
圖一 基于荷載增量的增量迭代法
基于荷載增量迭代的具體求解過程可知，如果荷載-位移曲線存在下降段，則荷載增量迭代實際上在曲線接近峰值時由于剛度接近0而不收斂，難以繼續(xù)求解，具體過程如圖二所示：
圖二 基于荷載增量的不收斂示意
目前應(yīng)對此缺陷的方法是采用弧長法，其具體過程如圖三。由于弧長法以荷載和位移形成的弧長作為增量，因此即使是面對有下降段的非線性屈曲分析，其也能求解。然而實際上，即使是采用弧長法，對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，即使是采用弧長法，在面對平衡路徑跳躍或者突變時，仍可能存在不收斂。
展開 8_APDL基礎(chǔ)及仿真理論-–非線性屈曲分析
4、弧長法的介紹(圖片摘于ansys)
如上分析，特征值屈曲分析得到的是非保守解，具有兩個優(yōu)點：快捷分析，屈曲模態(tài)形狀可用作非線性屈曲分析的初始幾何缺陷。因此為了得到較為精確的屈曲分析，還需要做非線性屈曲分析，結(jié)構(gòu)達到極限載荷時，非線性求解將發(fā)散，為獲得結(jié)構(gòu)屈曲后加載歷程的下降段，將會采用弧長法進行求解。非線性屈曲分析的目的是得到第一個極限載荷點，弧長法能夠用于后面的后屈曲分析。
弧長法僅對靜態(tài)分析有效，而且必須激活幾何非線性（NLGEOM，ON）。不能和弧長法一起使用線性搜素（LNSRCH）、自適應(yīng)下降、自動時間步長（AUTOTS,DELTIM）等。
介紹弧長法之前，必須了解Newton-Raphson法的載荷控制和位移控制：
如下圖的位移-載荷曲線，如果使用載荷控制，只能夠達到Fcr。如果使用位移控制，有可能會跳過不穩(wěn)定點，但是必須要知道是什么位移，在復(fù)雜載荷下，一般不知道位移狀態(tài)。
弧長法同時求解載荷和位移，與Newton-Raphson法類似，能夠求解復(fù)雜的力-變形響應(yīng)問題，但最適合求解沒有突然分叉點的平滑響應(yīng)問題。
!5、非線性屈曲分析的步驟(圖片摘于ansys)
(1) 前處理，施加單元載荷，進行預(yù)應(yīng)力靜力分析。
(2) 基于預(yù)應(yīng)力靜力分析，指定分析類型為特征值屈曲分析，完成特征值屈曲分析。
(3) 再次指定分析類型為靜力分析，激活大變形選項。
(4) 將一階屈曲模態(tài)形狀乘較小的系數(shù)后，作為初始擾動施加到結(jié)構(gòu)上。
(5) 施加載荷。所施加的載荷應(yīng)比預(yù)測值高10%一21%。
(6) 定義載荷步選項。
(7) 設(shè)置弧長法。
(8) 求解。
(9) post26后處理，導(dǎo)出位移-載荷曲線。
!問題描述
!
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解決非線性分析不收斂的技巧
ANSYS中的非線性算法主要有：稀疏矩陣法(SPARSE DIRECT SOLVER)、預(yù)共軛梯度法(PCG SOLVER)和波前法(FRONT DIRECT SLOVER)。稀疏矩陣法是性能很強大的算法，一般默認即為稀疏矩陣法（除了子結(jié)構(gòu)計算默認波前法外）。預(yù)共軛梯度法對于3-D實體結(jié)構(gòu)而言是最優(yōu)的算法，但當(dāng)結(jié)構(gòu)剛度呈現(xiàn)病態(tài)時，迭代不易收斂。為此推薦以下算法：
1）、BEAM單元結(jié)構(gòu)，SHELL單元結(jié)構(gòu)，或以此為主的含3-D SOLID的結(jié)構(gòu)，用稀疏矩陣法；
2）、3-D SOLID的結(jié)構(gòu)，用預(yù)共軛梯度法；
3）、當(dāng)你的結(jié)構(gòu)可能出現(xiàn)病態(tài)時，用稀疏矩陣法；
4）、當(dāng)你不知道用什么時，可用稀疏矩陣法。
3、非線性逼近技術(shù)。在ANSYS里還是牛頓－拉普森法和弧長法。牛頓－拉普森法是常用的方法，收斂速度較快，但也和結(jié)構(gòu)特點和步長有關(guān)。弧長法常被某些人推崇備至，它能算出力加載和位移加載下的響應(yīng)峰值和下降響應(yīng)曲線。但也發(fā)現(xiàn)：在峰值點，弧長法仍可能失效，甚至在非線性計算的線性階段，它也可能會無法收斂。
為此，盡量不要從開始即激活弧長法，還是讓程序自己激活為好（否則出現(xiàn)莫名其妙的問題）。子步（時間步）的步長還是應(yīng)適當(dāng)，自動時間步長也是很有必要的。
4、加快計算速度
在大規(guī)模結(jié)構(gòu)計算中，計算速度是一個非常重要的問題。下面就如何提高計算速度作一些建議：
充分利用ANSYS MAP分網(wǎng)和SWEEP分網(wǎng)技術(shù)，盡可能獲得六面體網(wǎng)格，這一方面減小解題規(guī)模，另一方面提高計算精度。
在生成四面體網(wǎng)格時，用四面體單元而不要用退化的四面體單元。比如95號單元有20節(jié)點，可以退化為10節(jié)點四面體單元，而92號單元為10節(jié)點單元，在此情況下用92號單元將優(yōu)于95號單元。
選擇正確的求解器。對大規(guī)模問題，建議采用PCG法。
展開 Ansys影響非線性收斂穩(wěn)定性及其速度的因素分析
ANSYS中的非線性算法主要有：稀疏矩陣法(SPARSE DIRECT SOLVER)、預(yù)共軛梯度法(PCG SOLVER)和波前法(FRONT DIRECT SLOVER)。稀疏矩陣法是性能很強大的算法，一般默認即為稀疏矩陣法（除了子結(jié)構(gòu)計算默認波前法外）。預(yù)共軛梯度法對于3-D實體結(jié)構(gòu)而言是最優(yōu)的算法，但當(dāng)結(jié)構(gòu)剛度呈現(xiàn)病態(tài)時，迭代不易收斂。為此推薦以下算法：
1）、BEAM單元結(jié)構(gòu)，SHELL單元結(jié)構(gòu)，或以此為主的含3-D SOLID的結(jié)構(gòu)，用稀疏矩陣法；
2）、3-D SOLID的結(jié)構(gòu)，用預(yù)共軛梯度法；
3）、當(dāng)你的結(jié)構(gòu)可能出現(xiàn)病態(tài)時，用稀疏矩陣法；
4）、當(dāng)你不知道用什么時，可用稀疏矩陣法。
3非線性逼近技術(shù)。
在ANSYS里還是牛頓－拉普森法和弧長法。牛頓－拉普森法是常用的方法，收斂速度較快，但也和結(jié)構(gòu)特點和步長有關(guān)。弧長法常被某些人推崇備至，它能算出力加載和位移加載下的響應(yīng)峰值和下降響應(yīng)曲線。但也發(fā)現(xiàn)：在峰值點，弧長法仍可能失效，甚至在非線性計算的線性階段，它也可能會無法收斂。
為此，盡量不要從開始即激活弧長法，還是讓程序自己激活為好（否則出現(xiàn)莫名其妙的問題）。子步（時間步）的步長還是應(yīng)適當(dāng)，自動時間步長也是很有必要的。
4加快計算速度
在大規(guī)模結(jié)構(gòu)計算中，計算速度是一個非常重要的問題。下面就如何提高計算速度作一些建議：
充分利用ANSYS MAP分網(wǎng)和SWEEP分網(wǎng)技術(shù)，盡可能獲得六面體網(wǎng)格，這一方面減小解題規(guī)模，另一方面提高計算精度。
展開 考慮了雙非線性的復(fù)雜鋼結(jié)構(gòu)節(jié)點極限承載力分析
四、結(jié)論
通過弧長法計算得出LPF荷載比例系數(shù)曲線，由圖可知：
（1）該節(jié)點的安全系數(shù)約為4.2倍設(shè)計荷載值
（2）0.759倍弧長加載（約加載1倍設(shè)計荷載）時mises應(yīng)力（最大值190Mpa）
（3）1.143倍弧長加載時mises應(yīng)力（最大值287Mpa）
（4）1.72倍弧長加載時mises應(yīng)力（應(yīng)力最大值359Mpa，還遠小于抗拉強度470Mpa），約1.5倍弧長加載時逐漸開始材料小范圍進入彈塑性，但仍然具有屈服后強度，仍未達到材料抗拉強度
（5）15.34倍弧長加載時mises應(yīng)力（應(yīng)力最大值470Mpa，已達到抗拉強度值）
（6）46.97倍弧長加載時mises應(yīng)力（應(yīng)力最大值470Mpa，已達到抗拉強度值）
五、設(shè)備情況及計算耗時
（1）計算設(shè)備：
（2）計算耗時：約15min
展開 ANSYS非線性計算的收斂和速度
ANSYS中的非線性算法主要有：稀疏矩陣法(SPARSE DIRECT SOLVER)、預(yù)共軛梯度法(PCG SOLVER)和波前法(FRONT DIRECT SLOVER)。稀疏矩陣法是性能很強大的算法，一般默認即為稀疏矩陣法（除了子結(jié)構(gòu)計算默認波前法外）。預(yù)共軛梯度法對于3-D實體結(jié)構(gòu)而言是最優(yōu)的算法，但當(dāng)結(jié)構(gòu)剛度呈現(xiàn)病態(tài)時，迭代不易收斂。為此推薦以下算法：
1）、BEAM單元結(jié)構(gòu)，SHELL單元結(jié)構(gòu)，或以此為主的含3-D SOLID的結(jié)構(gòu)，用稀疏矩陣法；
2）、3-D SOLID的結(jié)構(gòu)，用預(yù)共軛梯度法；
3）、當(dāng)結(jié)構(gòu)可能出現(xiàn)病態(tài)時，用稀疏矩陣法；
4）、當(dāng)不知道用什么時，可用稀疏矩陣法。
3、非線性逼近技術(shù)。在ANSYS里還是牛頓－拉普森法和弧長法。牛頓－拉普森法是我們常用的方法，收斂速度較快，但也和結(jié)構(gòu)特點和步長有關(guān)。弧長法常被某些人推崇備至，它能算出力加載和位移加載下的響應(yīng)峰值和下降響應(yīng)曲線。但也發(fā)現(xiàn)：在峰值點，弧長法仍可能失效，甚至在非線性計算的線性階段，它也可能會無法收斂。
為此，盡量不要從開始即激活弧長法，還是讓程序自己激活為好（否則出現(xiàn)莫名其妙的問題）。子步（時間步）的步長還是應(yīng)適當(dāng)，自動時間步長也是很有必要的。
A：如何加快計算速度
在大規(guī)模結(jié)構(gòu)計算中，計算速度是一個非常重要的問題。下面就如何提高計算速度作一些建議：
充分利用ANSYS MAP分網(wǎng)和SWEEP分網(wǎng)技術(shù)，盡可能獲得六面體網(wǎng)格，這一方面減小解題規(guī)模，另一方面提高計算精度。
在生成四面體網(wǎng)格時，用四面體單元而不要用退化的四面體單元。比如95號單元有20節(jié)點，可以退化為10節(jié)點四面體單元，而92號單元為10節(jié)點單元，在此情況下用92號單元將優(yōu)于95號單元。
選擇正確的求解器。對大規(guī)模問題，建議采用PCG法。此法比波前法計算速度要快10倍以上（前提是您的計算機內(nèi)存較大）。
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