由于玻璃鋼復合材料的薄壁圓筒結構具有強度高、重量輕、剛度大、耐腐蝕， 電絕緣及透微波等優點，目前已廣泛應用于航空航天和民用領域中。工程中廣泛 使用的這些薄壁圓筒，當它們受壓縮、剪切、彎曲和扭轉等荷載作用時，最常見 的失效模式為屈曲。因此，為了保證結構的安全，需要進行屈曲分析。

對結構進行屈曲分析，涉及到較復雜的彈(塑)性理論和數學計算，要通過求 解高階偏微分方程組，才能求解失穩臨界荷載，而且只有少數簡單結構才能求得 精確的解析解。因此，只能采用能量法、數值方法和有限元方法等近似的分析方 法進行分析。近 20 年來，隨著計算機和有限元方法的迅猛發展，形成了許多的 實用分析程序，提高了對復雜結構進行屈曲分析的能力和設計水平。ABAQUS 就是其中的杰出代表。

1.屈曲有限元理論

有限元方法中，對結構的屈曲失穩問題的分析方法主要有兩類：一類是通過 特征值分析計算屈曲載荷，另一類是利用結合 Newton—Raphson 迭代的弧長法 來確定加載方向，追蹤失穩路徑的幾何非線性分析方法，能有效分析高度非線性 屈曲和后屈曲問題。

1.1 線性屈曲

假設結構受到的外載荷模式為P0。，幅值大小為λ，結構內力為Q，則靜力平 衡方程應為

λP0 = λQ 

進一步考察結構在(λ+△λ)P0載荷作用下的平衡方程，得到

{[KE] + [KS(S+λ△S)] + [KG(u?+λu?)]}△u? =△λP0 

由于結構達到保持穩定的臨界載荷時有△λ，代入上式得

該方程對應的特征值問題為

det{[KE]+λ[KS△σ]+KG(△u?)}=0 

如果忽略幾何剛度增量的影響，屈曲分析的方程又可進一步簡化為

det{[KE] + λ[KS △ σ]} = 0 

該方程即為求解線性屈曲的特征值方程。λ為屈曲失穩載荷因子，(△u?)為結 構失穩形態的特征向量。

1.2 非線性屈曲

非線性屈曲分析方法多采用弧長法進行分步迭代計算，在增量非線性有限元 分析中，沿著平衡路徑迭代位移增量的大小(也叫弧長)和方向，確定載荷增量的 自動加載方案，可用于高度非線性的屈曲失穩問題。與提取特征值的線性屈曲分 析相比，弧長法不僅考慮剛度奇異的失穩點附近的平衡，而且通過追蹤整個失穩 過程中實際的載荷、位移關系，獲得結構失穩前后的全部信息，適合于高度非線 性的屈曲失穩問題。

2.ABAQUS 的線性屈曲分析

ABAQUS 中提供兩種分析方法來確定結構的臨界荷載和結構發生屈曲響應 的特征形狀：線性屈曲分析(特征值屈曲分析)、非線性屈曲分析。

線性屈曲分析用于預測一個理想的彈性結構的理論屈曲強度。它是預期的線 性屈曲荷載的上限，可以作為非線性屈曲分析的給定荷載，在漸進加載達到此荷 載前，非線性求解必然發散；它還可以作為施加初始缺陷或擾動荷載的依據。所 以預先進行特征值屈曲分析有助于非線性屈曲分析，進行特征值屈曲分析是必要 的。

3.算例

3.1 問題概述

圖 3-1 實例模型

如圖所示兩端開口的復合材料薄壁圓筒，底端固支，頂端作用有均勻分布的 軸壓邊載。半徑 R=152mm，高度 300mm，厚度 t=0.804mm，對稱鋪層[±45,0]s，

單層厚度為 0.134mm。復合材料圓筒的材料參數如下表：

表 1 AS4/3501-6 石墨/環氧的彈性參數

彈性模量	參數
E1/GPa	142
E2/GPa	9.7
G12/GPa	6
G13/GPa	3.6
G13/GPa	3.6
μ	0.3

3.2 建模、劃分網格及分析過程
3.2 建模、劃分網格及分析過程

3.2.1 ABAQUS 進行前處理建立模型

首先先繪制一個半徑為 152mm 的三維輪廓圖，然后進行拉伸 300mm 創建 一個具有平面殼體單元的三維變形體。

其次進入 property 模塊生成材料，參考上表編輯其彈性參數。編輯截面進行 復合層板的鋪層完成材料屬性、截面屬性的定義。

圖 3-2 鋪層

接著生成裝配件，定義屈曲分析步。對所建模型施加邊界條件和施加載荷。將圓筒的一端固支，另一端施加單位 1 的均布軸邊壓載。

最后進行網格劃分。考慮到在復合材料層合殼模型中剪切柔度的影響，可采 用厚殼單元 S4R 來模擬它。所得到的模型如圖所示：

圖 3-3 模型網格圖

3.2.2 計算結果分析

在 JOD 模塊中建立屈曲分析模塊進行分析，可得到薄壁圓筒的六階屈曲失 穩載荷因子。

表 2 各階模態的屈曲載荷因子

模態	屈曲載荷因子
1	48.015
2	48.015
3	48.98
4	48.981
5	50.188
6	50.188

則取第一階模態的屈曲載荷因子計算臨界載荷。由屈曲載荷因子與臨界載荷的關系：

Pcr = λ ? p 

當對薄壁圓筒施加 48.015N/mm 的邊載時，圓筒將屈曲失穩。對應的各階模態云圖如下所示：

模態1位移軸向和截面方向云圖

模態2位移軸向和截面方向云圖

模態3位移軸向和截面方向云圖

模態 4 位移軸向和截面方向云圖

模態 5 位移軸向和截面方向云圖

模態 6 位移軸向和截面方向云圖 

圖 3-4 各階模態云圖

由上圖可以看出當施加一階模態的載荷時，圓筒已經屈曲失穩。所以保留一 階的臨界載荷更有現實意義。

4.總結

由算例的計算過程可以得到屈曲載荷因子的大小與劃分的網格數和網格類 型有關，網格劃分過小會導致計算步驟過多影響計算速度甚至無法計算出結果， 網格過大導致結果不精確。所以在選擇網格時應選擇適當選擇類型和大小。

文章來源：CAE仿真學社