理查茲方程
關注創建者：羅昭祥（13065194307） 創建時間：2022-01-15
理查茲方程的視頻教程
Matlab求解常微分方程/偏微分方程/復雜邊值問題
本專題視頻是關于Matlab求解微分方程、偏微分方程、復雜邊界值問題的微分方程、橢圓形微分方程、雙曲線型微分方程、拋物線型微分方程、ode45、bvp4c、pdepe等內容！實際課程數不局限于7節課，會一直更新，把我科研過程中遇到的比較特殊有意思的微分方程求解案例做成課程分享給大家，而且包含所有案例的matlab源文件，方便大家下載學習！！！
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1/4懸架二自由度運動學方程——通過狀態方程的方法在Simulink里面構建模型
本節課主要是在前兩節課的基礎上，通過狀態方程的方法，在simulink里面構建1/4懸架二自由度運動學方程，然后對懸架的幅頻特性進行分析。以車身加速度對路面位移響應的幅頻特性為例，進行闡述，保姆級教學。。。附帶simulink模型以及matlab求解幅頻特性的方法，歡迎大家一起學習探討并進行指正。
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理查茲方程的實例教程
井邊界條件可用作二維中的點特征和三維中的邊特征，并可與達西定律、理查茲方程和兩相達西定律接口一起使用。使用這個邊界條件，可以選擇井是注入井還是生產井，并指定壓力或質量流量。下圖顯示了一些不同的可用選項。
注入井建模的設置達西定律、理查茲方程接口(左)和兩相達西定律接口(右)，其中還必須指定飽和度。
比較模擬井的兩種方法
現在，讓我們看看井邊界條件與其他用于模擬井的選項相比如何。為了便于說明，我們使用了一個基本模型，如下圖所示。
半徑為 20m、高度為 3m 的水庫中，半徑為 0.5m 的井的幾何模型，其周圍是一個無限的單元域。
使用無限元是為了使我們可以在離井很遠的地方施加壓力而不增加建模域。這里顯示的幾何圖形將井解析為一個圓柱形的表面。為了能夠應用邊界條件，必須將井的圓柱體從儲層中切割出來。另外，也可以使用質量通量的邊條件，但前提是我們要應用質量通量而不是壓力。我們可以使用井邊界條件，它適用于壓力和質量通量條件。
我們用完全相同的網格設置來比較這兩種情況下的網格。在這個案例中，我們劃分了 65,674 個域單元，而使用井邊界條件，僅劃分了 28,728 個域單元。這還不到網格單元數量的一半。
使用相同設置的在完全解析井時和使用井邊界條件時的網格比較。
這個優勢只有在我們得到一個準確的解時才有用。繼續使用這個測試案例，我們在井口施加一個 1 kg/s 的質量流速，M0。這相當于在面積為 A 的邊界處的質量通量為
。在長度為 l 的邊處的質量通量為
。壓力在外部無限元的邊界是固定的。
一維繪圖顯示沿中心線的壓力與井外的方法幾乎完全一致。
沿截線的壓力比較。
與指定邊的質量通量相反，井功能考慮了井半徑，即使沒有明確解析也考慮了。
展開 一般固體變形控制方程主要由三個方程構成：應力平衡方程、幾何變形方程、本構方程，一般以Navier的形式出現,此公式推導涉及到彈性力學的基本理論，在此不再推導。式(1)中εv、u、Fx分別為體應變、位移、x方向體載荷。
化成張量形式(一種表述方法)
如果出現流固耦合或者溫度、煤基質變形引起應力耦合，則需要添加額外項。此過程以太沙基提出的有效應力原理為基礎，如式(3)。式中α為有效應力系數即Biot系數，p為孔隙壓力。太沙基的有效應力方程是針對單孔隙提出的，而對于像煤層這些雙重孔隙/裂隙介質的多孔介質而言，需要作出一些修正，如式(4)。式(4)中考慮了基質中孔壓與裂隙中孔壓對有效應力的影響。對于流固耦合問題，便是討論有效應力下的變形控制方程，這樣便考慮到孔壓對固體變形的影響。將式(3)帶入到式(2)得到，得到考慮流固耦合的張量形式，如式(5)。
式(5)考慮了孔壓對有效應力影響，還可以考慮其他應力對有效應力影響如溫度引起的熱應力、煤體基質變形引起的應力等。對于多孔介質中流體的流動方程，一般采用達西流動，非飽和流動的理查茲方程，其中達西流動較為簡單，一般適用于低速線性流動，如式(6)。固體中的滲透率一般與應力或者應變有關系，此時固體變形將會通過影響孔隙率和滲透率，進而影響流體的流動，流體的流動又導致孔壓發生變化，影響固體的有效應力，達到流體和固體之間的雙向耦合。
COMSOL中如何實現流固耦合?按照前文推導的公式，選用“固體力學”模塊與“達西定律”模塊。固體力學模塊中線彈性材料中的控制方程便是式(2)，還需要添加一項代表孔壓的影響。從式(5)分析可以看到，把孔壓項當做體載荷，輸入到COMSOL中。Fi為重力引起的體載荷，在需要考慮重力項時，可以把重力項加入到體載荷中，不需要考慮時，即可忽略Fi此項。圖1為體積力設置項，選擇體載荷。
展開 這些模型結合使用了 COMSOL Multiphysics 中用于多孔介質流動的理查茲方程 接口和稀物質傳遞接口。形成 IgM-C、IgG-C 和抗 AA-C 絡合物的反應由 化學 接口定義。此外，測試線上的表面反應也由化學 接口定義。對于 2D 模型，我們使用了兩種不同的方法:
假設絡合物在測試線上的吸附僅發生在膜表面
假設檢測中的吸附過程發生在測試線位置下方的整個膜厚度上
含 2D 模型組件和 理查德方程模型的模型樹，化學、稀物質傳遞，表面反應接口，和 反應工程接口。生成空間相關模型節點將傳輸和化學接口添加到已經存在的 2D 模型組件的理查德方程接口。
IgM 反應路徑的模型樹如上圖所示。化學，稀物質傳遞 和表面反應 接口都均是由反應工程 接口建立的，其中使用了生成空間相關模型功能。
連接板中的化學反應定義如下:
連接板中納米金顆粒上的 IgM 和 SARS Co-2 抗原之間的反應定義為:
IgM +SCoAu(ads) => IgMC
術語(ads)用于表示抗原和納米粒子被吸附在連接板的孔結構中，并被 IgM 吸附以形成 IgMC 絡合物，IgMC 絡合物溶解在溶液中。
可以得到IgG抗體的類似反應: IgG + SCoAu(ads) => IgGC
動物抗體與動物抗原在納米金顆粒上的反應可定義為: AA + AAu(ads) => AAC
因此，IgMC、IgC 和 AAC 是共軛抗體絡合物。
測試線中的反應如下:
在第一條測試線上: IgMC + IgMd(ads) => IgMPos(ads)
上式說明了 IgMC 絡合物與吸附的 IgMd 檢測蛋白反應，形成吸附的 IgMPos 表面絡合物。
展開 靜磁場的泊松方程和拉普拉斯方程 在SI制中，靜磁場滿足的方程為
式中為傳導電流密度第一式表明靜磁場可引入磁矢勢A描述：
在各向同性、線性、均勻的磁媒質中，傳導電流密度[134-1]0的區域里，磁矢勢滿足的方程為
選用庫侖規范，·A=0，則得磁矢勢A滿足泊松方程
式中純數 為媒質的相對磁導率， 真空磁導率 =1.257×10(亨／米。在傳導電流密度=0的區域里,上式簡化為拉普拉斯方程
靜磁場的泊松方程和拉普拉斯方程是矢量方程，它的三個直角分量滿足的方程與靜電勢滿足的方程有相同的形式。對比靜電勢的解，可得矢勢方程的解。
展開 偏微分方程的起源
如果一個微分方程中出現的未知函數只含一個自變量，這個方程叫做常微分方程，也簡稱微分方程；如果一個微分方程中出現多元函數的偏導數，或者說如果未知函數和幾個變量有關，而且方程中出現未知函數對幾個變量的導數，那么這種微分方程就是偏微分方程。
在科學技術日新月異的發展過程中，人們研究的許多問題用一個自變量的函數來描述已經顯得不夠了，不少問題有多個變量的函數來描述。比如，從物理角度來說，物理量有不同的性質，溫度、密度等是用數值來描述的叫做純量；速度、電場的引力等，不僅在數值上有不同，而且還具有方向，這些量叫做向量；物體在一點上的張力狀態的描述出的量叫做張量，等等。這些量不僅和時間有關系，而且和空間坐標也有聯系，這就要用多個變量的函數來表示。
應該指出，對于所有可能的物理現象用某些多個變量的函數表示，只能是理想化的，如介質的密度，實際上“在一點”的密度是不存在的。而我們把在一點的密度看作是物質的質量和體積的比當體積無限縮小的時候的極限，這就是理想化的，介質的溫度也是這樣。這樣就產生了研究某些物理現象的理想了的多個變量的函數方程，這種方程就是偏微分方程。
微積分方程這門學科產生于十八世紀，歐拉在他的著作中最早提出了弦振動的二階方程，隨后不久，法國數學家達朗貝爾也在他的著作《論動力學》中提出了特殊的偏微分方程。這些著作當時沒有引起多大注意。1746年，達朗貝爾在他的論文《張緊的弦振動時形成的曲線的研究》中，提議證明無窮多種和正弦曲線不同的曲線是振動的模式。這樣就由對弦振動的研究開創了偏微分方程這門學科。
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理查茲方程的最新內容
今日16:00，Ansys官方『Ansys高校系列專題：方程式賽車的智能化仿真設計』研討會研討會將基于Mechanical、Fluent、Discovery講解賽車結構與熱流體核心仿真，建立從概念驗證到詳細分析的完整研發流程。感興趣的下滑預約學習??
時間：5月13日（星期三），16:00-17:00
內容簡介：
1、基于Ansys Mechanical、Fluent、Discovery
2025賽季，吉林大學吉速車隊在Ansys仿真技術的助力下，以927.61分斬獲中國大學生方程式汽車大賽冠軍，并以864.34分成功衛冕中國大學生電動方程式大賽冠軍，成就耀眼 “雙冠” 。這一成績不僅刷新了燃油車車隊 “八年七冠六連冠” 的紀錄，更再次印證：仿真是驅動賽車性能躍遷與工程創新的關鍵。
2026年，Ansys將繼續攜手中國大學生方程式大賽，作為官方仿真設計軟件合作伙伴，延續十余年的深度支持
虛擬設計真實馳騁：
VI-grade 2026 虛擬大學生方程式大賽
開啟你的賽車工程師生涯
屏幕前點擊幾下鼠標，賽道上疾馳而過的方程式賽車正通過你的設計變得越來越快。
“我們的賽車彎心速度始終上不去，懸架調校方案已經試了十幾次，還是找不到最優解。”在車隊的車間里，車隊成員們圍著底盤調教方案爭論，實物測試消耗的時間與資源卻總讓他們望而卻步。
現在，一個不需要物理原型就能完整測試賽車設計的舞臺已經到來
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現在
關鍵詞：CFD，有限元，三角形單元，罰函數，粘性流動
最近工作室有流體有限元求解器的開發需求，我在前面講飛機結冰的文章提到過，差不多10年前瞎搗鼓過這個東西。
好多東西都記不清了，先從一些簡單的流動模型入手，做一些恢復性訓練。考慮到我是結構力學出身，在進行流體有限元開發的時候，我會代入結構有限元的視角進行分析。
流體也好，固體也好，CFD也好，FEM也好，有很多開源工具、源代碼可以用。
2025中國大學生方程式系列賽事已于11月圓滿完賽，覆蓋中國大學生方程式汽車大賽（FSCC）、中國大學生電動方程式大賽（FSEC）、以及中國大學生無人駕駛方程式大賽（FSAC）三項賽事。
中國大學生方程式汽車大賽由中國汽車工程學會于2010年主辦，至今已連續舉辦十六屆，作為大賽的官方合作伙伴，Ansys已是第15年贊助本項賽事，每年參賽的眾多車隊都會運用Ansys工具進行賽車仿真設計
摘要
平面波對于任意半徑和折射率的球形粒子的吸收和散射問題，米氏解是嚴格的麥克斯韋求解器。其得到的散射效應十分依賴于粒子的大小。根據其特性，散射可以分為瑞利散射、米氏散射和幾何光學散射。VirtualLab Fusion中包含了完整的米氏解。該案例研究了不同半徑的球形粒子散射。
模擬任務
PINN求解burger方程，tensorflow框架，附代碼（三）
TensorFlow 1.x和TensorFlow 2.x區別
TensorFlow 1.x版本只有靜態圖模式，需要手動構建計算圖，調試困難，但性能好。
TensorFlow 2.x 初期：默認Eager Execution，易于調試，但性能較差。TensorFlow 2.x + @tf.function：兩全其美
PINN求解一維波動方程，pytorch框架，附代碼（二）
pytorch和tensorflow區別
以下tensorflow簡稱TF
pytorch具有更加易用的API，目前的TF 2.x + Keras也提供類似的易用的API
pytorch構建動態計算圖，方便調試，TF以靜態圖為主，有利于部署和加速，目前也支持動態圖，鼓勵用語法糖轉化為靜態圖獲得性能提升
部署方面
Virtual Formula 2025 ONLINE Phase
歷經三個月的精心準備和最后的精彩對決，由VI-grade舉辦，丹寧思工程全程贊助的2025年Virtual Formula虛擬方程式大賽-中國站線上賽于9月6日落下帷幕。
我們非常榮幸地宣布本屆虛擬方程式大賽的冠軍是——武漢理工大學油車隊(油車組）和武漢理工大學電車隊（電車組），同時榮獲丹寧思最好開獎的是
