拉普拉斯
關(guān)注創(chuàng)建者：Ahab 創(chuàng)建時間：2021-04-11
拉普拉斯的視頻教程
2-81基于matlab GUI的圖像處理
基于matlab GUI的圖像處理，功能包括圖像顏色處理（灰度圖像、二值圖像、反色變換、直方圖、拉伸變換）；像素操作（讀取像素、修改像素）、平滑濾波（均值平滑、高斯平滑、中值平滑）、圖像銳化（robert交叉梯度銳化、sobel梯度銳化、拉普拉斯銳化）、圖像邊緣檢測（拉普拉斯算子、sobel算子、prewitt算子、roberts算子、canny算子）。通過GUI以可視化的形式展現(xiàn)。
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1-82基于matlab GUI的圖像處理
基于matlab GUI的圖像處理，功能包括圖像一般處理（灰度圖像、二值圖）；圖像幾何變換（旋轉(zhuǎn)可輸入旋轉(zhuǎn)角度、平移、鏡像）、圖像邊緣檢測（拉普拉斯算子、sobel算子、wallis算子、roberts算子）。通過GUI以可視化的形式展現(xiàn)。數(shù)據(jù)可更換自己的，程序已調(diào)通，可直接運行。 購買后可下載視頻中的源程序文件。
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拉普拉斯的實例教程
1782年，P.S.M.拉普拉斯證明：引力場的勢函數(shù)滿足偏微分方程：,叫做勢方程，后來通稱拉普拉斯方程1813年,S.-D.泊松撰文指出,如果觀察點P在充滿引力物質(zhì)的區(qū)域內(nèi)部,則拉普拉斯方程應(yīng)修改為，叫做泊松方程，式中ρ為引力物質(zhì)的密度。文中要求重視勢函數(shù) V在電學(xué)理論中的應(yīng)用,并指出導(dǎo)體表面為等熱面。
靜電場的泊松方程和拉普拉斯方程 若空間分區(qū)充滿各向同性、線性、均勻的媒質(zhì)，則從靜電場強與電勢梯度的關(guān)系E=-和高斯定理微分式[，即可導(dǎo)出靜電場的泊松方程：
，式中為自由電荷密度，純數(shù) 為各分區(qū)媒質(zhì)的相對介電常數(shù)，真空介電常數(shù)=8.854×10(法／米。在沒有自由電荷的區(qū)域里，＝0，泊松方程就簡化為拉普拉斯方程
。在各分區(qū)的公共界面上，滿足邊值關(guān)系
式中，指分界面兩邊的不同分區(qū)， 為界面上的自由電荷密度，表示邊界面上的內(nèi)法線方向。
邊界條件和解的唯一性 為了在給定區(qū)域內(nèi)確定滿足泊松方程以及邊值關(guān)系的解，還需給定求解區(qū)域邊界上的物理情況，此情況叫做邊界條件。有兩類基本的邊界條件：給定邊界面上各點的電勢，叫做狄利克雷邊界條件；給定邊界面上各點的自由電荷[835-04],叫做諾埃曼邊界條件。
邊界幾何形狀較簡單區(qū)域的靜電場可求得解析解，許多情形下它們是無窮級數(shù)，稍復(fù)雜的須用計算機(jī)求數(shù)值解，或用圖解法作等勢面或力線的場圖。
除了靜電場之外，在電學(xué)、磁學(xué)、力學(xué)、熱學(xué)等領(lǐng)域還有許多服從拉普拉斯方程的勢場。各類物理本質(zhì)完全不同的勢場如果具有相似的邊界條件，則因拉普拉斯方程解的唯一性，任何一個勢場的解，或該勢場模型中實驗測繪的等熱面或流線圖，經(jīng)過對應(yīng)物理量的換算之后，可以通用于其他的勢場。
展開 基于matlab的拉普拉斯金字塔圖像融合算法，可以使部分圖像模糊的圖片清楚，也可以使圖像增強。程序已調(diào)通，可直接運行。
2.3 富利葉變換與拉普拉斯變換
積分變換是求解數(shù)理方程的有力工具。其中，富利葉變換和拉普拉斯變換常用來求解常系數(shù)偏微分方程，通過變換，將原函數(shù)的微積分運算化為變換函數(shù)的四則運算，以便于方程的求解。富利葉變換常用到動力學(xué)或者結(jié)構(gòu)振動的問題中，原函數(shù)是時間T的函數(shù)，變換函數(shù)是譜量ω(工程上便是頻率域)的函數(shù)，因此，富利葉法在工程上也稱為譜分解方法。它不僅能夠使方程的求解更加方便，而且可以確定振動問題的譜密度，這是振動問題中一個重要的測度，利用譜密度可以直觀地看出振動能量在頻率域上的分布，從而找出工程結(jié)構(gòu)有效的抗振措施。拉普拉斯變換是考慮振動體在T=0時開始受到外界影響，如施加荷載以后結(jié)構(gòu)的各種物理變化，特別適用于如土壤的固結(jié)理論和混凝土的徐變理論。
富利葉變換有兩種形式：一種是三角函數(shù)形式，另外一種是指數(shù)函數(shù)形式。一些數(shù)學(xué)文獻(xiàn)將拉普拉斯變換從富利葉變換的理論推導(dǎo)出來，不過從解決實際問題來看，拉普拉斯變換絕非富利葉變換的一個變種，富利葉變換的原函數(shù)自變量從-∞到+∞，而拉普拉斯變換自變量僅從O～+∞，這一點非常重要。物理世界中的各種動力激勵絕對不會在宇宙中至始至終、恒存在，而是從某一個相對時間T=0開始作用，求解這個激勵引起的動力響應(yīng)，拉普拉斯變換恰好符合這樣一個要求。在預(yù)應(yīng)力混凝土設(shè)計和建筑物基礎(chǔ)設(shè)計中，人們希望知道預(yù)應(yīng)力的長期損失和建筑物的最終沉降，這些問題便是一個典型的拉普拉斯變換問題。
2.4 變分原理
在物理與力學(xué)中有很多問題需要采用變分原理，如彈性靜力學(xué)中的最小勢能原理，動力學(xué)中的哈密頓原理，塑性力學(xué)中的變分原理。變分原理在計算力學(xué)中特別重要，一方面，按照變分原理可以用李茲法或者伽遼金法獲得結(jié)構(gòu)近似解；另一方面，變分原理也是有限元法的基礎(chǔ)。變分原理的幾個經(jīng)典理論是虛功原理、最小勢能原理和最小余能原理，具體原理的推導(dǎo)，可以參考一般的有限元理論專著。
展開 我們在對拉氏變換的總結(jié)中，將拉普拉斯變換的本質(zhì)理解為：
拉氏變換是對函數(shù)在t>0域進(jìn)行指數(shù)衰減后的傅里葉變換，就是將原函數(shù)f(t)乘以一個單位階躍函數(shù)（使其限定在t>0域）和一個指數(shù)衰減函數(shù)exp(-βt)（β為衰減因子），再進(jìn)行傅氏變換
數(shù)峰青，公眾號：數(shù)峰青
拉普拉斯變換總結(jié)
我們在對傅氏變換的總結(jié)中，理解傅氏變換F(iw)本質(zhì)上是復(fù)振幅密度隨頻率的變化（在諧波的復(fù)數(shù)形式下討論）。F(iw)是一個復(fù)函數(shù)，其幅值（模）表示信號中各頻率分量的相對大小，其幅角表示信號中各頻率諧波之間的相位關(guān)系，通常習(xí)慣上也可以將F(iw)叫做復(fù)振幅頻譜（鄭君里P117）。見（或見鄭君里P114）：
數(shù)峰青，公眾號：數(shù)峰青
傅里葉變換總結(jié)
本文第一部分已述，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)等于系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的拉氏變換。結(jié)合上面對拉氏變換本質(zhì)的理解，可以知道，無論是激勵和響應(yīng)的拉氏變換，還是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，都是定義在復(fù)域（s=β+iw）的復(fù)函數(shù)。現(xiàn)在以復(fù)數(shù)運算規(guī)則來審視傳遞函數(shù)的公式：U(s)=G(s)F(s)，可以認(rèn)為：G(s)本質(zhì)上是一種對輸入信號（定義在s上的）復(fù)振幅密度的幅值增益和幅角移動（需要指出，雖然G(s)在計算上等于單位脈沖響應(yīng)的拉氏變換，但它本質(zhì)上并不具有響應(yīng)的拉氏變換的“量綱”，也即不能說G(s)是某個信號在s處的復(fù)振幅密度）。為了更好理解G(s)，可以類似上面理解拉普拉斯變換的本質(zhì)一樣，認(rèn)為它是原系統(tǒng)經(jīng)過β“衰減”后的“復(fù)增益”頻譜（瞎丁日扯的啊）。
參考資料：
鄭君里《信號與系統(tǒng)上》第三版，高等教育出版社。
展開 傳遞函數(shù)的定義為線性系統(tǒng)響應(yīng)量（輸出）的拉普拉斯變化與激勵量（輸入）的拉普拉斯變換之比。一般情況下對于車身的低頻響應(yīng)的分析中，車身都假設(shè)為線性系統(tǒng)，實驗證明分析出來的結(jié)果與實際差別無異；而且輸出量與輸入量這兩個量是經(jīng)過拉普拉斯變換而來的，是關(guān)于頻率的變量，而不是關(guān)于時間的變量。
H(s)=Y(s)/U(s)
H(s)為傳遞函數(shù)；Y(s)為輸出量；U(s)為輸入量。
由于傳遞函數(shù)為結(jié)構(gòu)的固有屬性，與輸入力的大小無關(guān)，所以為了分析的方便，一般輸入力的大小在整個計算頻率段內(nèi)設(shè)為1N。
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拉普拉斯的最新內(nèi)容
當(dāng)變形場在RVE內(nèi)呈非線性分布時，體積平均值 ≠ 幾何中心值：
其中 Δp 是拉普拉斯算子，描述場的"彎曲程度"。經(jīng)典理論只保留了第一項，忽略了 和 項——這就是"均勻化誤差"的來源。
對于任意物理量 p （可以是應(yīng)變、應(yīng)力或應(yīng)變能密度）：
其中 h 是RVE的尺寸（比如金屬的晶粒尺寸、聚合物的高分子鏈回轉(zhuǎn)半徑），Δp 是拉普拉斯算子（描述場的"彎曲程度"）。
關(guān)鍵發(fā)現(xiàn)：經(jīng)典理論只保留了第一項，忽略了 和 項——這就是"均質(zhì)化誤差"的來源。
屋頂冷水機(jī)組氣動噪聲分析7個月前
聲學(xué)波動方程：
? 其中p為聲壓，c為聲速，?2為拉普拉斯算子。該方程通過線性化流體力學(xué)中的連續(xù)性方程、歐拉方程和物態(tài)方程推導(dǎo)而來，適用于小振幅聲波的傳播分析。??
近場噪聲 ultraFluidX 可以直接模擬，但是要求聲源和麥克風(fēng)之間的空間網(wǎng)格分辨率足夠細(xì)，否則會丟失高頻信號。
聲學(xué)波動方程：
? 其中p為聲壓，c為聲速，?2為拉普拉斯算子。該方程通過線性化流體力學(xué)中的連續(xù)性方程、歐拉方程和物態(tài)方程推導(dǎo)而來，適用于小振幅聲波的傳播分析。??
近場噪聲 ultraFluidX 可以直接模擬，但是要求聲源和麥克風(fēng)之間的空間網(wǎng)格分辨率足夠細(xì)，否則會丟失高頻信號。
然而，跟拉普拉斯變換的定義一樣，這個β“衰減”是我們設(shè)想出來的，相當(dāng)于假設(shè)這么一個衰減因子，進(jìn)而使得我們能在復(fù)域求出傳遞函數(shù)的極點，具體見：
數(shù)峰青，公眾號：數(shù)峰青
拉普拉斯變換總結(jié)
對于一個經(jīng)過傳遞函數(shù)的極點判定已經(jīng)具有BIBO穩(wěn)定性的系統(tǒng)，其β“衰減”已經(jīng)失去作用了。這時候我們更關(guān)系系統(tǒng)本身對不同頻率的諧波的增益如何。
二、從增益角度理解傳函
但是本文想從拉普拉斯變換的定義出發(fā)，以增益的角度來理解傳遞函數(shù)的內(nèi)涵。
個人學(xué)習(xí)總結(jié)，懇請指出錯誤。
參考資料見文后，文中引用格式為“作者+頁碼”、“作者名年份+頁碼”等
一、拉氏變換的定義
通俗理解，拉氏變換是對函數(shù)在t>0域進(jìn)行指數(shù)衰減后的傅里葉變換，就是將原函數(shù)f(t)乘以一個單位階躍函數(shù)（使其限定在t>0域）和一個指數(shù)衰減函數(shù)exp(-βt)（β為衰減因子），再進(jìn)行傅氏變換。邢宇明P222有簡單明了的解釋：
可以看出，
但是直接求一個系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)不那么容易，往往借助拉普拉斯變換及其逆變換，才能表示出系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。單位脈沖激勵能有這個應(yīng)用，在于其自身的拉氏變換為常數(shù)1，所以系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的拉氏變換就是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，在時域用脈沖響應(yīng)評價系統(tǒng)，相當(dāng)于直接評價系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。當(dāng)然，這是后話，后續(xù)筆者擬總結(jié)一下拉氏變換。
在信號與系統(tǒng)中，單位脈沖函數(shù)的最大的作用是引出了卷積積分的定義。
關(guān)于牛頓對聲速的測量以及拉普拉斯的修正，吳望一P525有介紹。
另外，張海瀾《理論聲學(xué)》（高教社2007）P181也有相關(guān)推導(dǎo)，是先推導(dǎo)了壓強的波動方程，再根據(jù)密度和速度與壓強的關(guān)系推導(dǎo)相關(guān)波動方程。該書P179的式5.9式與5.10式：
我覺得其中的第一項應(yīng)該用偏導(dǎo)符號，因為這兩個方程是歐拉描述的，不能寫成物質(zhì)導(dǎo)的形式（我不知道上面加一點是不是可以等同物質(zhì)導(dǎo)）。
但即便如此，仍會存在無法繼續(xù)計算的問題，下圖6展示為Comsol拉普拉斯動網(wǎng)格模型，并當(dāng)網(wǎng)格質(zhì)量較差時，打開網(wǎng)格重新劃分，但是即使這樣，當(dāng)變形較大時，計算仍然停止了，上文介紹的ICFD網(wǎng)格自適應(yīng)技術(shù)能夠很好的彌補這點缺陷。
