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一、拉氏變換的定義

通俗理解，拉氏變換是對函數(shù)在t>0域進行指數(shù)衰減后的傅里葉變換，就是將原函數(shù)f(t)乘以一個單位階躍函數(shù)（使其限定在t>0域）和一個指數(shù)衰減函數(shù)exp(-βt)（β為衰減因子），再進行傅氏變換。邢宇明P222有簡單明了的解釋：

可以看出，原函數(shù)與指數(shù)衰減函數(shù)exp(-βt)相乘后，在進行傅里葉變換的過程中，還需要乘以exp(-iwt)再在t>0域進行積分。這里的衰減因子β和頻率w都是我們假設的一個變量，可以通俗理解為：在并不知道原函數(shù)f(t)是否絕對可積的情況下，我們假設讓其乘以exp(-βt)進行衰減后就絕對可積了，這時候就滿足古典傅氏變換條件了，對于傅氏變換，我們也是假設將要在f(t).exp(-βt)中提取其復振幅的那個諧波的頻率為w，進而通過三角函數(shù)的正交性代入積分公式將其復振幅提取出來。所以，衰減因子β和頻率w是我們假設的兩個變量，考慮到w前面復數(shù)i的存在，它們在指數(shù)乘法中也變成了β+iw的形式，這就剛好是一個復變量s，所以在拉氏變換中就用復變量s來代替β+iw了，這也是通常說的拉氏變換是將函數(shù)變換到復域來進行分析。

二、拉氏變換的收斂域

關于拉氏變換的收斂及收斂域，一般書上介紹比較數(shù)學化，這里擬以通俗的方式來進行理解。對拉氏變換收斂域的理解，有利于理解信號與系統(tǒng)、自動控制等領域的系統(tǒng)穩(wěn)定性、傳遞函數(shù)極點等內容。

根據(jù)前述拉氏變換的定義，可以將拉氏變換的收斂理解為：對于給定的一個復數(shù)域的值s，原函數(shù)經(jīng)過其實部Re(s)代表的指數(shù)衰減后，才滿足或者仍滿足古典傅里葉變換的條件，即滿足狄利克雷條件和絕對積分?？梢钥闯?，拉氏變換的收斂與否只和復數(shù)域的實部Re(s)有關。顯然對于一個給定原函數(shù)f(t)，并不是隨便給定一個Re(s)=β就會使其衰減到滿足古典傅里葉變換條件的，所以我們可以這樣通俗定義：在復平面上所有其實部能夠讓函數(shù)f(t)衰減后能進行古典傅氏變換的復數(shù)組成的集合就是f(t)的拉氏變換收斂域。

拉氏變換收斂域一般為(Re(s)=β0,+∞）的形式，表示取實部大于β0的所有復數(shù)。這里進一步理解該形式?；诶献儞Q中指數(shù)的負號，可發(fā)現(xiàn)實部β取值越靠近實軸的正方向，原函數(shù)衰減得越厲害，衰減后也一定滿足古典傅里葉變換條件，所以拉氏變換收斂域的右端是可以取無限開口"+∞）"的。

然而β順著實軸往左取則不一定滿足古典傅氏變換條件。如果β仍處在右邊平面，則β順著實軸往左取表示對原函數(shù)的衰減程度越來越小，可能使得原函數(shù)衰減后仍不滿足古典條件；如果β運動取值超過虛軸處于左平面了，則反而表示對原函數(shù)的“抬升”，更不可能使其變成滿足古典條件了。

但是對于給定的f(t)，我們一定可以找到實部為β0的s值，對于該值右邊的所有s直至+∞，f(t)經(jīng)過其衰減后滿足古典傅氏變換條件，對于該值左邊的所有s，f(t)經(jīng)其衰減后仍不滿足古典傅氏變換條件。這樣的一個s值（Res(s)=β0），就可以作為收斂域的左端開口值了，這個s值的實部β0就是也叫作拉氏變換的收斂坐標（邢宇明P225）。

至于為什么收斂域左端只能取開口，而不能取收斂坐標本身呢？也就為什么不能取[Res(s)=β0,+∞）？本意上當然是因為f(t)經(jīng)過收斂坐標本身的衰減后仍不滿足古典傅氏變換條件。例如對于原函數(shù)f(t)=C*exp(at) for t>0，則當取β0=a，原函數(shù)衰減后變成了階躍函數(shù)；再例如原函數(shù)f(t)=C*exp(at)*sin(wt) for t>0，則當取β0=a，原函數(shù)衰減后變成了正弦諧波?；叵霃V義傅氏變換的定義，階躍函數(shù)和正余弦函數(shù)是不滿足古典傅氏變換條件的，也就是它們并不是絕對可積的。所以拉氏變換左端只能取開口。整個收斂域在復平面的形態(tài)（陰影部分）如下圖所示（圖中σ=β0）。

最后討論下收斂坐標處于復平面左半部分的情形。由前述可知，f(t)的拉氏收斂域表示f(t)經(jīng)該域內s值實部的衰減后滿足古典傅氏變換條件。顯然，如果收斂坐標可以取負值，考慮到拉氏變換中指數(shù)的負號，則表示原函數(shù)不僅本身就絕對可積，其經(jīng)過β值“抬升”后仍是絕對可積的。但是不能無限“抬升”，其“抬升”的邊界就是收斂坐標。所以收斂坐標處于左平面表示原函數(shù)本身絕對可積，并且還有一定的“抬升”裕度。自然，收斂坐標處于復平面遠點的時候，則原函數(shù)就可能是階躍函數(shù)或者正余弦函數(shù)。

收斂坐標是否處于左半平面與自動控制原理中開環(huán)傳遞函數(shù)的極點處于左平面是一致的。傳遞函數(shù)是系統(tǒng)單位脈沖響應的拉氏變換，極點處于左半平面表示系統(tǒng)的脈沖響應是絕對可積的，進而表示系統(tǒng)是絕對穩(wěn)定的。極點處于虛軸上，系統(tǒng)的脈沖響應的收斂坐標處于虛軸上，這時候系統(tǒng)是滿足李雅普諾夫穩(wěn)定性定義的。

參考資料：

邢宇明《復變函數(shù)與積分變換》，哈爾濱工業(yè)大學出版社，2010.