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傳遞函數通常用于判定系統的絕對穩定性，也就是當系統的傳遞函數極點全部處于復平面的左半部分時，系統是有界輸入有界輸出（BIBO）穩定的（王天威P77）。在之前的博文中，我們對傳遞函數有如下理解：

G(s)本質上是一種對輸入信號（定義在s上的）復振幅密度的幅值增益和幅角移動。

數峰青，公眾號：數峰青 系統的復域分析：從增益角度理解傳遞函數

也即將它理解為原系統經過β“衰減”后的“復增益”頻譜。然而，跟拉普拉斯變換的定義一樣，這個β“衰減”是我們設想出來的，相當于假設這么一個衰減因子，進而使得我們能在復域求出傳遞函數的極點，具體見：

數峰青，公眾號：數峰青 拉普拉斯變換總結

對于一個經過傳遞函數的極點判定已經具有BIBO穩定性的系統，其β“衰減”已經失去作用了。這時候我們更關系系統本身對不同頻率的諧波的增益如何。

系統不經過β“衰減”所具有的對諧波的增益就是系統的頻響函數，其實就是傳遞函數中取β為0得到的結果。傳遞函數是定義在復平面上的，想象其圖像是三維空間中的一個曲面，曲面以s為自變量，以G(s)為函數。取β為0，實際就是用該三維空間中β=0表示的平面去“切”這個曲面，進而將函數降維為一個以iw為自變量的一元函數。總之，穩定系統的頻響函數表示其對一個諧波的復振幅頻譜的增益（含幅值增益和幅角移動）。

當然，也有利用系統在諧波作用下的穩態響應來建立頻響函數概念的，如王天威P114和盧京潮P143。這樣的好處是能更好理解什么是穩態響應。

其實也可以通過傅里葉變換來建立頻響函數的概念。如前所述，頻響函數是針對具有BIBO穩定性的系統的表征手段。既然其已經是穩定系統，那么可以說明該系統的單位脈沖響應是滿足古典傅里葉變換條件的。仿照傳遞函數的定義G(s)=U(s)/F(s)，也可以將一個有界輸入的傅氏變換與該系統得到的相應有界輸出的傅氏變換分別代入該式即可得到系統的頻響函數。

總之，以上幾種方式是內在統一的，不過個人更愿意從增益的角度理解頻響函數。因為得到廣泛應用的伯德圖便反映了頻響函數具有增益本質的事實。伯德圖中的對數幅頻曲線就是將頻響函數的幅值變換為20log(G(iw))隨頻率的變化曲線，該公式不正是增益的公式嗎？

關于依據頻響函數建立起來的伯德圖的應用，可以將其結合對數穩定判據，判定系統的絕對穩定性（盧京潮P174），當然，這需要結合奈奎斯特判據來一起理解。伯德圖的更重要應用時判定系統的相對穩定性即穩定裕度（盧京潮P176）。

現在來理解系統的穩定裕度。根據個人理解，一個閉環系統的絕對穩定性和相對穩定性都是通過其開環傳遞函數來判定的。閉環系統的開環傳遞函數其實是將帶反饋環節的閉環系統結構圖變換為單位反饋的形式后，該單位反饋結構圖中開環環節的傳遞函數（王天威P91）。閉環傳遞函數與其對應的開環傳遞函數的關系如下圖：

其中G表示開環傳遞函數，Φ表示閉環傳遞函數。將該表達式中的s的實部取0即得到系統的頻響函數。另外可以看出，倘若頻響函數中G取-1了（Re(G)=-1,Im(G)=0)，則Φ會取得一個無窮大，表示(Re(G)=-1,Im(G)=0)成為了系統閉環傳函的一個極點，系統失去絕對穩定性。然而，這是不可能的，因為系統的絕對穩定性已經通過閉環極點處于s平面左半平面判定好了的，所以頻響函數G不可能取到(Re(G)=-1,Im(G)=0)。

不過，這樣一個系統對于某些頻率的諧波輸入，可能發生比較漫長的振蕩，這是我們實際當中不希望看到的（例如實際工程中的階躍激勵就蘊含著無窮多種頻率的諧波，指不定哪一個就會讓系統的輸出振蕩）。這種振蕩的原因在于G(iw)的值隨著w的變化可能會離(-1,0)會很近，其實就是距離閉環的極點很近，此時G(iw)表示的增益也會很大很大。

穩定裕度就是表征閉環系統的開環頻響函數值G(iw)距離(-1,0)這一點的遠近程度。相角交界頻率就是G(iw)的相角為-180°時的頻率，此時需要幅值遠離1，如果等于1，則G(iw)的實部在-180°的相角下經歐拉公式一算，正好等于-1，虛部正好為0。此時幅值遠離多少的增益值就表示幅值裕度。

截止頻率就是G(iw)幅值為1的頻率，此時要求相角不為-180°，不然實部為-1了。這兩種情況都需要有一定的裕度，相當于在幅值和相交其中一個可能導致實部為-1的時候，要通過調整系統參數對另一個保持一定的裕度避免此情況。

瞎寫的，寫的比較亂，還可能有錯誤，請原諒，就當嘮嗑兒吧。

參考資料：

王天威《控制之美卷1》清華大學出版社，2022.

盧京潮主編，趙忠等編著《自動控制原理》清華大學出版社，2013.