2 幾個數學概念

工程結構分析中廣泛應用到一系列數學工具，典型的如離散與集合、變分原理、隨機過程、富利葉變換、張量分析等，對這些數學概念的理解與應用，將直接關系到結構分析的質量。因此，就這幾個概念問題并結合筆者的認識與體會進行論述。

2.1 離散與集合

離散與集合是有限元方法的精髓。有限元法把求解區域看成由許多小的相互連接子區域或單元構成，即它是利用一組離散單元的集合體來代替求解區域，其性態由若干個參數來表達。這些參數所表達的離散體的數學方程稱為形函數，再將全部離散體的形函數集成，組集成一組高階的線性或者非線性方程組，從而求解作為單元集合體的整個系統。由于單元的剖分是任意的，并且可以按照不同方式組合在一起，所以能夠靈活地表達非常復雜的幾何形狀。隨著數值計算技術的發展，即使離散體或者自由度的數目非常大，也較容易實現。這種由離散體近似表述整體問題的方法，可以是傳統的數學近似或者是工程上的直接近似。于是在有限元法中，離散的概念包含兩個方面的內容：其一是結構的單元劃分，用有限個單元體來近似代替整個結構，每個單元的力學特性可以通過實驗或者數學上的推導來完全確定；其二是單元的集合，即對每個單元所確定的特性關系進行求和，這是一個很有規律且非常簡便的過程，因為每個單元的剛度系數可以直接存放到整體剛度矩陣中對應的位置上。需要注意的是，由于不同的單元具有不同的特性，因此，在集合單元剛度矩陣時，應該滿足矩陣求和的規則，只有階數相同的矩陣，才能夠相加，因此，要相加的各個子矩陣，必須由力或者位移分量數目相應的項組成。離散與集合的思想，使得許多復雜的結構問題的求解成為可能。

2.2 有限元與隨機分析

隨機分析與有限元方法的結合便是所謂的隨機有限元，或者稱為概率有限元法，這種分析方法結合了有限元的離散集合與概率隨機過程的數學思想。在工程領域，存在許多不確定因素，如結構的物理參數、幾何參數及其承擔的外荷載(例如風荷載、地震作用等)。由于人們認識的局限性和這些參數(現象)本身的不確定性，這些因素被描述為空間或者時間的隨機函數或者隨機過程，同時，這些隨機因素的影響是不可忽略的，致使結構行為不再是確定的，而具有偶然性，表現為隨機的場函數和時間函數，經過確定性的結構分析之后，人們還需要了解結構行為函數的概率分布，而隨機有限元分析，正好能夠解決這樣一個問題，隨機分析求得的結果因此不再是具體的結構響應量(如力、位移)，而是力或者位移的概率統計量。

一般地，隨機分析可以分為兩類：一類是統計方法，就是通過樣本試驗收集原始的數據資料，運用概率和統計理論進行分析與整理，然后做出判斷。這種方法需要進行大量的樣本試驗和數據處理，且計算工作量巨大，目前高速計算機使得模擬法成為最通用的統計逼近法，如蒙特卡洛法。另外一種方法是非統計法，這種方法在本質上是利用分析工具找出結構系統(確定性系統和隨機系統)輸出信號和輸入隨機信號之間的關系，這種方法無需進行大量的樣本試驗，而是采用隨機分析與求解系統控制方程相結合的方法得到輸出信號的各階隨機統計量的特征，如各階原點矩(或者中心矩)，這個方法最大的優點是不需要完全了解輸入隨機信號的數值特征，僅僅需要知道一定階次的信號數值特征，運用解析或者數值的方法，便可以得到一定精確度的解。目前所謂的隨機有限元方法，包括攝動隨機有限元法、紐曼隨機有限元法和蒙特卡洛隨機有限元法，其中攝動有限元法采用最多。CAE程序大都采用的是蒙特卡洛隨機有限元法。

2.3 富利葉變換與拉普拉斯變換

積分變換是求解數理方程的有力工具。其中，富利葉變換和拉普拉斯變換常用來求解常系數偏微分方程，通過變換，將原函數的微積分運算化為變換函數的四則運算，以便于方程的求解。富利葉變換常用到動力學或者結構振動的問題中，原函數是時間T的函數，變換函數是譜量ω(工程上便是頻率域)的函數，因此，富利葉法在工程上也稱為譜分解方法。它不僅能夠使方程的求解更加方便，而且可以確定振動問題的譜密度，這是振動問題中一個重要的測度，利用譜密度可以直觀地看出振動能量在頻率域上的分布，從而找出工程結構有效的抗振措施。拉普拉斯變換是考慮振動體在T=0時開始受到外界影響，如施加荷載以后結構的各種物理變化，特別適用于如土壤的固結理論和混凝土的徐變理論。

富利葉變換有兩種形式：一種是三角函數形式，另外一種是指數函數形式。一些數學文獻將拉普拉斯變換從富利葉變換的理論推導出來，不過從解決實際問題來看，拉普拉斯變換絕非富利葉變換的一個變種，富利葉變換的原函數自變量從-∞到+∞，而拉普拉斯變換自變量僅從O～+∞，這一點非常重要。物理世界中的各種動力激勵絕對不會在宇宙中至始至終、恒存在，而是從某一個相對時間T=0開始作用，求解這個激勵引起的動力響應，拉普拉斯變換恰好符合這樣一個要求。在預應力混凝土設計和建筑物基礎設計中，人們希望知道預應力的長期損失和建筑物的最終沉降，這些問題便是一個典型的拉普拉斯變換問題。

2.4 變分原理

在物理與力學中有很多問題需要采用變分原理，如彈性靜力學中的最小勢能原理，動力學中的哈密頓原理，塑性力學中的變分原理。變分原理在計算力學中特別重要，一方面，按照變分原理可以用李茲法或者伽遼金法獲得結構近似解；另一方面，變分原理也是有限元法的基礎。變分原理的幾個經典理論是虛功原理、最小勢能原理和最小余能原理，具體原理的推導，可以參考一般的有限元理論專著。

在彈性力學中一般可以找出一個變分泛函，使泛函取極值，得出全部控制方程和邊界條件，這是變分原理的優點。用變分原理求取近似解和虛功原理是等效的，但是具有更統一的形式。不過需要注意，在一些情況下，不能找到一個變分泛函，但是仍然可以采用類似虛功原理設法求解。最小勢能原理和最小余能原理以及余虛功原理，實質上是相通的，不再贅述。