牛頓迭代法
關注創建者：引垂思汀 創建時間：2020-10-26
牛頓迭代法的視頻教程
ABAQUS VUMAT 一維彈塑性本構VUMAT
徑向返回法 ：學習顯式積分中處理彈塑性問題的核心數值算法。 牛頓迭代法：掌握求解非線性方程組的數值方法。 第二部分：VUMAT編程實戰 VUMAT接口詳解：關鍵變量的含義與賦值邏輯。 代碼架構搭建： 彈性預測步（試應力構建）。 塑性修正步（徑向返回法實現）。 狀態變量（State Variables）的存儲與傳遞。 一維彈塑性VUMAT實現：從零開始編寫完整的子程序代碼。
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ABAQUS高級接觸分析精講
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ABAQUS低周疲勞分析
低周疲勞分析采用直接循環法直接得到結構的穩定循環響應 ，直接循環法將傅立葉級數近似與非線性材料行為的時間積分相結合，利用修正牛頓法迭代求得穩定的循環解 ，節省計算成本。可以通過控制傅里葉項的數量、迭代的數量和循環時間段內的增量提高精度。案例基于VCCT方法和Paris準則模擬了層壓復合材料界面上的漸進分層生長，適用于復合材料分層擴展模擬及求解彈塑性結構的塑性安定狀態。
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牛頓迭代法的實例教程
該迭代法每次迭代都需要對新的求逆，計算量較大，于是有了如下改進的的常系數矩陣方法
(2)牛頓-辛普森迭代法 Nwton-Paphson method
運用泰勒展開：
（切線剛度陣）
同理，也可以得到修正的Newton-Paphson 方法
牛頓迭代法一般具有較好的收斂性，但是對于一些從小被分在二班的非線性同學，他也有很大的局限性
比如對于這個問題，牛頓只好呵呵了
對于下面問題，牛頓直接哭暈在廁所，當然這種問題只有等我們的arc-length兄來解決了。
再來看看我們上面的問題：
藍色曲線為精確解，紅色點點為固定載荷增量下求得的位移，k=1000時，牛頓迭代法能夠很好地跟蹤載荷位移路徑，得到所有的位移響應。而當k=100時，曲線有下降段，此時牛頓迭代法就沒法得到這個區域的位移響應了。
下載地址：非線性有限元及程序
展開 非線性有限元一直是有限元中較為困難的一部分，在非線性有限元中我們經常碰到諸如牛頓-拉夫森迭代法，切線剛度陣等概念，今天貼主就簡單的介紹一下非線性吧。
1、簡單實例
首先看一個簡單的彈簧桿件結構，如圖所示，中間節點作用一個F的力，會產生一個位移v，
由靜力平衡關系可得到
該方程為典型的非線性方程，對于這個方程，如果給定一個位移v就能求得F，如下圖所示，從圖中曲線可以看到非線性的含義了。圖中不同k對應的曲線，可以看到k比較小時，桿內力起主要作用，呈現出幾何非線性，K較大時，彈簧起主要作用，呈現出彈簧的線彈性。
2、牛頓迭代法
但是在實際中，我們往往是不知道位移v的，而是知道F，那么給定一個F，怎么求v呢？這時候牛頓迭代法就要上場了。牛頓迭代法的思想是將非線性方程線性化，以線性方程的解逼近非線性方程的解，具體操作如下：
牛頓迭代法圖形解釋
對于非線性方程f(x)=的迭代解法有如下格式
4、非線性有限元迭代格式
雖然上文只是簡單的一維問題，但是我們可以把它當做位移法有限元的原型，對于一般有限元，離散平衡方程一般具有如下形式：
對于試探解、一般有
該方程的求解有如下形式
（1）直接迭代法
直接迭代法中要求K矩陣為u的顯式函數，只適用于和變形歷史無關的非線性問題。
展開 非線性有限元-弧長法簡介
————CAE仿真實驗室出品
在之前一篇帖子《非線性行為初識》中，我們通過簡單的彈簧桿件結構介紹了非線性問題，回顧一下該問題：如圖所示，中間節點作用一個F的力，會產生一個位移v
由靜力平衡關系可得到
該方程精確解如下，圖中不同k對應的曲線，可以看到k比較小時，桿內力起主要作用，呈現出幾何非線性，K較大時，彈簧起主要作用，呈現出彈簧的線彈性。
藍色曲線為精確解，紅色點點為固定載荷增量下求得的位移，k=1000時，牛頓迭代法能夠很好地跟蹤載荷位移路徑，得到所有的位移響應。而當k=100時，曲線有下降段，此時牛頓迭代法就沒法得到這個區域的位移響應了。
對于下圖這樣的問題，在拐點處切線剛度為0，在前面的牛頓迭代法中我們是通過給定載荷增量，它已經無法越過極值點得到完整地載荷位移曲線。而且還存在一個載荷對應多個位移，或者一個位移對應多個載荷的情況，很容易發生snap-through和snap-back現象。
今天就來介紹介紹弧長法，牛頓迭代法在翻過山頭延切線方向飛入云霄，直接不收斂。如果讓牛頓坐上過山車，那么就能和軌道綁在一起，沿著軌道平穩著陸了。弧長法也是這么做的，通過引入一組約束方程，把迭代求解的過山車，綁定在軌道上，讓求解過程能夠跟蹤載荷位移路徑。
展開 本質上，非線性屈曲實際上要求解的是一個非線性靜力問題，在有限元中最終轉化為非線性方程組的求解，目前常見的非線性方程組的求解方法有牛頓迭代法、擬牛頓迭代法、增量法、增量迭代法和弧長法等。在abaqus中，如果采用static，general類型的step，則軟件采用增量迭代法進行計算，具體是將荷載/位移分為多個增量步加載，而每一個增量步內又采用牛頓迭代法進行求解。
對于單層網殼結構來說，在abaqus中，其計算非線性屈曲主要采用兩種方法：增量迭代法和弧長法。增量迭代法又分荷載增量迭代和位移增量迭代。對于單層網殼，由于通常情況下其所受的外荷載已知而在外荷載的位移未知，因此實際工程中事實上很難采用位移增量迭代，而對于荷載增量迭代，其具體過程如圖一所示：
圖一 基于荷載增量的增量迭代法
基于荷載增量迭代的具體求解過程可知，如果荷載-位移曲線存在下降段，則荷載增量迭代實際上在曲線接近峰值時由于剛度接近0而不收斂，難以繼續求解，具體過程如圖二所示：
圖二 基于荷載增量的不收斂示意
目前應對此缺陷的方法是采用弧長法，其具體過程如圖三。由于弧長法以荷載和位移形成的弧長作為增量，因此即使是面對有下降段的非線性屈曲分析，其也能求解。然而實際上，即使是采用弧長法，對于復雜結構，即使是采用弧長法，在面對平衡路徑跳躍或者突變時，仍可能存在不收斂。
展開 對于這樣的非線性問題，一般的有限元程序都是通過增量迭代法求解。增量迭代法的核心思想是，將最終的狀態看成是一個加載過程，將載荷分成多個增量，逐級加載，然后在每個增量步內多次迭代，收斂后進行下一個增量步。
1、增量法
將{P}荷載分成為m個荷載增量（相等或不等）
，即總荷載為
每次施加一個荷載增量，在第i步加載后，荷載為
每一荷載增量產生一個位移增量
和應力增量
在第i步加載后，位移、應力分別為
第m步加載后，得到最終位移、應力。
增量法的關鍵在于：已知前一個增量步的相關信息，如何由荷載增量
計算位移增量
和應力增量
，進而求出位移
和應力
的問題，這個問題通常應用牛頓-拉普森迭代法求解，接下來介紹這種方法。
2、修正的牛頓-拉普森迭代法（mN-R）
在載荷
時，位移為
，下一個增量為
，下一個增量步結束后載荷為
，在已知以上條件后用mN-R方法計算下一個增量結束后的位移。
令
計算切線剛度
計算不平衡力
根據非平衡力計算位移修正量
位移修正量為
一次迭代后修正的位移為
判斷是否收斂，若不收斂繼續迭代，直到近似收斂于真實解
附件有個小算例，希望能幫助大家理解增量迭代法
同時也歡迎觀看本次的視頻教程
http://www.yqgqt.org.cn/college/video/c14014
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牛頓迭代法的相關專題、標簽、搜索
牛頓迭代法的最新內容
平面應力脆性斷裂相場AT2模型10個月前
同理有：
代入到弱形式方程中可得殘值方程；
使用牛頓迭代法求解上述非線性系統。
如果得到的平面外應力不為0，則使用牛頓迭代法對平面外應變進行更新，持續此過程，直至滿足平面應力假設。
同理有：
代入到弱形式方程中可得殘值方程；
使用牛頓迭代法求解上述非線性系統。更新格式為:
剛度矩陣為：
為了保證損傷不能愈合，即：
需要做出一些修改，即取歷史上最大的彈性應變能，即：
4 代碼
《斷裂相場法》書中提供了傳統脆性斷裂相場模型的二維UEL代碼。本文將其拓展為三維情況。
UEL需要更新單元的剛度矩陣和右端項，公式在理論部分已詳細給出。
202402/418e7d7034f492e486a5c66cbf7e082f.png"></p><p>最后將該相對應力代入到方程組中最后一個一致性方程中可得：</p><p><img src="https://img.jishulink.com/msimage/202402/aae80d38f5c4d225211bc441b2a15597.png"></p><p>該非線性方程的未知量為塑性乘子增量，可以用牛頓迭代法進行求解
當發生塑性屈服時，根據應力更新的公式：
可以計算：
式中：
式中：
為硬化曲線的梯度，各向同性硬化曲線使用數據點擬合為分段線性函數：
因此最終可得到一致性切線剛度矩陣的表達式為：
2 算法描述
整個 return-mapping 算法框圖如下：
牛頓迭代法算法框圖如下：
3 UMAT代碼
umat使用
Simdroid“非線性屈曲”分析界面
“柱面弧長法”是牛頓迭代法的一種擴展，當結構臨近失穩極限時，其剛度矩陣一般是奇異或者接近奇異的狀態，此時無法采用牛頓迭代法求解，采用弧長法引入了荷載乘子作為求解自變量，可以避免剛度矩陣奇異的情況。
一個基于MATLAB進行牛頓迭代的簡單案例~
NewtonRaphson.zip
fclose all; close all; clear; clc; %% Define functions and parameters syms x; f = 0.1*(x^2 + 2*x + 1); diff_f = diff(f,x); n_max = 100; e_tol = 1e-5; x_0 = 5; f_0 = subs(f,x,x_0); error = 10*e_tol; t1
非線性靜力分析需要求解非線性平衡方程，程序采用全牛頓-拉弗森或修正全牛頓-拉弗森迭代法。許多問題涉及歷程相關的響應，因此通常通過一系列的增量步得到求解結果，在每個增量中通過迭代得到平衡。有時必須保持增量較小(意味著轉動和應變增量必須小),以確保對歷程相關影響的正確模擬，但最常見的是，增量步大小的選擇是計算效率的問題，如果增量步太大則需要更多迭代。
MSC Nastran的牛頓迭代法適用于熱分析中的非線性方程的求解。由于執行矩陣分解比較費時，在MSC Nastran傳統的熱分析求解序列中，每次迭代時計算殘差向量，只在認為收斂時或需要提高迭代效率時才重新計算切線矩陣；MSC Nastran將試圖通過平衡各種求解策略達到最佳的收斂解：載荷二分、殘余熱流的更新、切線矩陣更新、線性搜索、BFGS更新等。
