一些非線性問題可歸納為一個如下的數學表達式

對于力學問題，我們可以把P看作外載荷向量，q看作位移向量，Q(q)是關于q的非線性表達式。對于這樣的非線性問題，一般的有限元程序都是通過增量迭代法求解。增量迭代法的核心思想是，將最終的狀態看成是一個加載過程，將載荷分成多個增量，逐級加載，然后在每個增量步內多次迭代，收斂后進行下一個增量步。

1、增量法

將{P}荷載分成為m個荷載增量（相等或不等）

，即總荷載為

每次施加一個荷載增量，在第i步加載后，荷載為

每一荷載增量產生一個位移增量

和應力增量

在第i步加載后，位移、應力分別為

第m步加載后，得到最終位移、應力。     

增量法的關鍵在于：已知前一個增量步的相關信息，如何由荷載增量

計算位移增量

和應力增量

，進而求出位移

和應力

的問題，這個問題通常應用牛頓-拉普森迭代法求解，接下來介紹這種方法。

         

2、修正的牛頓-拉普森迭代法（mN-R）

在載荷

時，位移為

，下一個增量為

，下一個增量步結束后載荷為

，在已知以上條件后用mN-R方法計算下一個增量結束后的位移。

令

計算切線剛度

計算不平衡力

根據非平衡力計算位移修正量

位移修正量為

一次迭代后修正的位移為

判斷是否收斂，若不收斂繼續迭代，直到近似收斂于真實解

附件有個小算例，希望能幫助大家理解增量迭代法

同時也歡迎觀看本次的視頻教程

http://www.yqgqt.org.cn/college/video/c14014