在有限元分析中，我們經常會和非線性打交道，如材料非線性、幾何非線性、邊界非線性。非線性有限元一直是有限元中較為困難的一部分，在非線性有限元中我們經常碰到諸如Newton-Raphson迭代法，切線剛度陣等概念，今天我們就單的介紹一下非線性吧。 

1.簡單實例

首先看一個簡單的彈簧桿件結構，如圖所示，中間節點作用一個F的力，會產生一個位移v                       

由靜力平衡關系可得到

該方程為典型的非線性方程，對于這個方程，如果給定一個位移v就能求得F，如下圖所示，從圖中曲線可以看到非線性的含義了。圖中不同k對應的曲線，可以看到k比較小時，桿內力起主要作用，呈現出幾何非線性，K較大時，彈簧起主要作用，呈現出彈簧的線彈性。

 2.牛頓迭代法

但是在實際中，我們往往是不知道位移v的，而是知道F，那么給定一個F，怎么求v呢？這時候牛頓迭代法就要上場了。牛頓迭代法的思想是將非線性方程線性化，以線性方程的解逼近非線性方程的解，具體操作如下：

 

牛頓迭代法圖形解釋

 對于非線性方程f(x)=的迭代解法有如下格式

 3.非線性有限元迭代法

雖然上文只是簡單的一維問題，但是我們可以把它當做位移法有限元的原型，對于一般有限元，離散平衡方程一般具有如下形式：

 對于試探解、一般有

  該方程的求解有如下形式

（1）直接迭代法

 

 直接迭代法中要求K矩陣為u的顯式函數，只適用于和變形歷史無關的非線性問題。該迭代法每次迭代都需要對新的求逆，計算量較大，于是有了如下改進的的常系數矩陣方法

 

(2)牛頓-辛普森迭代法 Nwton-Paphson method

運用泰勒展開：

（切線剛度陣）

同理，也可以得到修正的Newton-Paphson 方法

 

 牛頓迭代法一般具有較好的收斂性，但是對于一些從小被分在二班的非線性同學，他也有很大的局限性

比如對于這個問題，牛頓只好呵呵了

  對于下面問題，牛頓直接哭暈在廁所，當然這種問題只有等我們的arc-length兄來解決了。

再來看看我們上面的問題：

藍色曲線為精確解，紅色點點為固定載荷增量下求得的位移，k=1000時，牛頓迭代法能夠很好地跟蹤載荷位移路徑，得到所有的位移響應。而當k=100時，曲線有下降段，此時牛頓迭代法就沒法得到這個區域的位移響應了。  

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