輻射會使熱平衡方程中出現四階項，因而呈現出高度非線性。除了輻射項外，系數矩陣和邊界條件會引入許多其他非線性項。具體來說，通過指定材料性質和邊界條件，如溫度相關的熱材料特性、熱載荷和邊界條件。

MSC Nastran的牛頓迭代法適用于熱分析中的非線性方程的求解。由于執行矩陣分解比較費時，在MSC Nastran傳統的熱分析求解序列中，每次迭代時計算殘差向量，只在認為收斂時或需要提高迭代效率時才重新計算切線矩陣；MSC Nastran將試圖通過平衡各種求解策略達到最佳的收斂解：載荷二分、殘余熱流的更新、切線矩陣更新、線性搜索、BFGS更新等。在參考文獻[12]中可以找到所采用方法的進一步描述。對于穩態分析，控制非線性解的缺省設置對于大多數問題都是足夠的。對于那些需要額外控制的問題，可以覆蓋溫度、載荷和功的收斂容差。

在SOL400中可以采用純全牛頓法進行迭代求解，對非線性程度高的問題比較有效。穩態分析的初始條件：由于非線性方程是用迭代策略求解的，要考慮初始條件對問題收斂的速度有多大的影響，或者它是否會收斂。初始條件提供了迭代求解方法的起始點溫度。顯然，如果我們能夠準確地猜測我們的問題的解，這個過程將在第一次迭代中收斂。雖然這是不太可能的，但是一個好的初始估算可以顯著加快收斂過程。對于高度非線性的問題，可能需要良好的初始溫度估計以達到收斂，有些非線性問題還可以通過瞬態分析來得到穩態解。

由于它的瞬態行為，熱平衡方程必須對時間積分。實現時間積分的數值方法是紐馬克方法。在瞬態情況下，由于輻射和溫度相關的材料性質和邊界條件，方程也可能是非線性的。因此，方程的解也需要非線性迭代。迭代在每個時間步長內執行，直到達到該時間步長的收斂的解。

瞬態分析需要指定總的求解時間。求解時間由初始時間步長和請求的時間步總數定義。

總的解決時間是從它們的乘積決定的。由于MSC Nastran采用自動時間步策略(即在求解過程中求解器可以調整時間步長的大小),使用的時間步驟的實際數目很可能與輸入的不同。在任何情況下，在最后一個時間步長的一些小誤差下，求解的總時間大約等于初始計算步長和步數的乘積。使用自適應時間步長算法的優點是可以顯著減少運行時間。

為了避免不準確的結果或不穩定的解決方案，需要對初始時間步長進行適當的選擇。一個合理的初始時間步長取決于許多因素，包括網格單元邊長的大小和材料的熱擴散率。公式為選擇標準。

式中，Δt為初始時間步長或固定時間步長；Δx為高溫度梯度方向的網格尺寸；P為材料密度；C_p為比熱；k為熱導率。

瞬態分析的初始條件：初始條件定義瞬態分析的溫度起點。問題中的每個節點必須有明確定義的初始溫度。對于任何沒有初始溫度定義的節點軟件將自動給它賦0值。無論是穩態分析還是瞬態分析，這個默認溫度都可以在Solution Parameters窗口中修改。當指定初始條件與邊界條件所定義的任何指定溫度相對應時，必須謹慎。這些節點的初始條件溫度必須等于邊界條件在時間為零時的值。如果這些溫度不匹配，將導致求解的初始跳躍，從而使收斂難以實現。幸運的是，默認的分析設置將自動使這些溫度在求解開始時相等。

穩態和瞬態收斂準則：如前所述，非線性方程組的求解需要迭代策略。有效的迭代策略依賴于收斂準則和誤差估計。收斂準則提供了相對于預定的可接受水平的計算誤差度量方法。對于在求解過程中的每一次迭代，計算誤差大小并與預設的容差進行比較。在MSC Nastran,誤差度量基于溫度、載荷和能量三種收斂準則。這些判據適用于穩態和瞬態解。關于非線性收斂有四個建議：

（1）對于大多數問題，使用默認準則及其默認的容差值。

（2）如果分析是瞬態的而且有隨時間變化的溫度邊界條件，必須使用溫度收斂準則。

（3）收斂性可以通過減小默認容差值來提高。

（4）對于高度非線性的瞬態問題，每個時間步長的最大迭代次數可能會增加。

控制非線性解的默認值對于大多數問題都足夠了。然而，對于那些需要額外控制的問題，溫度、載荷和功(WORK)的收斂容差可以修改。在求解傳熱問題時，基于功的收斂準則實際上是一個數學構造，它代表了結構分析中所用方程的擴展。

文章來源：精準CAE部落