（一）背景及基礎理論       

        網殼結構是一種重要的空間結構形式，對于單層網殼結構來說，穩定性問題是其結構設計中的重要問題。對于網殼結構穩定性問題來說，考慮材料-幾何雙重非線性下的非線性屈曲的求解方法一直是計算力學中的具有挑戰性的研究方向。本質上，非線性屈曲實際上要求解的是一個非線性靜力問題，在有限元中最終轉化為非線性方程組的求解，目前常見的非線性方程組的求解方法有牛頓迭代法、擬牛頓迭代法、增量法、增量迭代法和弧長法等。在abaqus中，如果采用static，general類型的step，則軟件采用增量迭代法進行計算，具體是將荷載/位移分為多個增量步加載，而每一個增量步內又采用牛頓迭代法進行求解。

        對于單層網殼結構來說，在abaqus中，其計算非線性屈曲主要采用兩種方法：增量迭代法和弧長法。增量迭代法又分荷載增量迭代和位移增量迭代。對于單層網殼，由于通常情況下其所受的外荷載已知而在外荷載的位移未知，因此實際工程中事實上很難采用位移增量迭代，而對于荷載增量迭代，其具體過程如圖一所示：

                                                             圖一 基于荷載增量的增量迭代法

        基于荷載增量迭代的具體求解過程可知，如果荷載-位移曲線存在下降段，則荷載增量迭代實際上在曲線接近峰值時由于剛度接近0而不收斂，難以繼續求解，具體過程如圖二所示：

                                                         圖二 基于荷載增量的不收斂示意

       目前應對此缺陷的方法是采用弧長法，其具體過程如圖三。由于弧長法以荷載和位移形成的弧長作為增量，因此即使是面對有下降段的非線性屈曲分析，其也能求解。然而實際上，即使是采用弧長法，對于復雜結構，即使是采用弧長法，在面對平衡路徑跳躍或者突變時，仍可能存在不收斂。另外，在abaqus中，通常情況下在設置了弧長法的static，riks類型的step后，后面無法繼續施加其他類型的step，這也導致了例如需要考慮屈曲后的動力分析無法直接進行。

                                                                     圖三 弧長法求解示意

        實際上，對于有下降段的平衡路徑來說，位移增量迭代實際上有天然的優勢，在位移增量永遠為正值的條件下，其幾乎能夠能夠完美跟蹤下降段的平衡路徑，目前不被采用主要是其無法保證加載過程中荷載比例關系與結構實際所受外荷載一致。

        本研究基于abaqus中的約束方程，實現位移增量迭代的同時保證荷載比例與要施加的荷載比例一致，從而實現網殼非線性屈曲的更優化求解。具體理論如下：

        對于一個網殼結構，假設其n個節點所受外荷載分別為F1，F2,...,Fn。要使網殼在加載過程中始終保持該比例關系，則只需設置第n+1個節點，并且對所有節點施加以下約束方程：

                                                                                                                                                   （1）

       （二）計算條件

         上述理論由加州伯克利大學的黃羽立提出，本研究基于該理論對K6型網殼結構的非線性屈曲進行分析，具體結構如下：

        設計參數：網殼矢高，跨度32m，矢高4.29m，網殼桿件截面采用80x8，材料為Q235鋼，材料屬性采用理想彈塑性。

       邊界條件：網殼底邊一圈鉸接。

        單元類型：B32，每個單元長度約0.5m，共有節點數2437，單元數目1266

        荷載：采用位移加載：本研究基于多點位移控制增量，為簡化約束方程的定義，假設下圖中點1荷載為Z向-4e5N，點2為-3e5N,點3為-2e5N，點4為1e5N，以該荷載比例為基礎定義具體的約束方程，然后僅需要在對應的約束方程的控制參考點上施加位移邊界條件而不需要施加荷載，參考點處的位移設置為-0.5m。

        采用約束方程，對施加荷載點進行約束，設置主約束XP點，其位置為點1往z軸移動1m。最終依據式（1）定義的約束方程如下：

        

        為便于對比，采用同樣模型進行弧長法計算，僅僅是取消約束方程，而代替以實際的荷載施加，并用static，riks類型的step進行同樣的計算。

      （三）計算結果：

        網殼的最終屈曲變形形狀如下圖：

         荷載位移曲線：

        從上述結果可以看出，結構在此種荷載模式下的最大基底反力約為0.9e6N。同樣對該結構，采用常規的弧長法（static，riks）進行分析，與采用多點位移控制的曲線對比如下圖：

        從計算結果可以看出，采用本研究的多點位移控制和弧長法計算結果基本一致，表明了采用約束方程實現多點位移控制的非線性屈曲的準確性。

       計算環境與計算時長：

       計算環境：AMD3900X 12核CPU，內存16G

        計算時采用USE multiprocessors設為12，multiprocessing model采用MPI

        計算時長：多點位移控制技術和采用弧長法計算時長均為200s左右。

        結論：采用約束方程+位移加載可以有效地實現特定荷載分布下的單層網殼結構非線性屈曲分析，從而改善荷載增量法無法得到下降段的缺陷，是一種堪比弧長法的高效靜力非線性計算方法。同時，該方法相對于弧長法來說，其可以在該step后添加其他step，從而實現網殼結構屈曲后繼續承載下的結構分析，是一種高效的計算方法。另外，在同樣是靜力非線性分析的pushover分析中，也可以采用此方法實現pushover震后承載力分析。