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關(guān)于通道號(hào)的解釋，書中有相關(guān)講解，木木在學(xué)習(xí)的過程中，將之理解為與write語句有關(guān)，打開的通道號(hào)用于寫入或者讀入該通道，比如WRITE(11,46)X,ITER表示按照48行代碼標(biāo)號(hào)的格式寫入到11號(hào)通道文件中，可以自己改動(dòng)一下代碼try one try；CALL SOLVE(X,ITER)表示調(diào)用牛頓-拉弗森迭代子程序；46 FORMAT(T5,'Newton迭代法計(jì)算方程的根

一個(gè)基于MATLAB進(jìn)行牛頓迭代的簡(jiǎn)單案例~NewtonRaphson.zip

基于自動(dòng)迭代法的鑄件變形補(bǔ)償技術(shù)的開發(fā)與應(yīng)用摘要：鑄件變形是壓鑄生產(chǎn)中經(jīng)常遇到且難以解決的主要缺陷之一。傳統(tǒng)的人工矯形方法存在效率低、工作量大、工作環(huán)境惡劣的問題。

2.牛頓迭代法但是在實(shí)際中，我們往往是不知道位移v的，而是知道F，那么給定一個(gè)F，怎么求v呢？這時(shí)候牛頓迭代法就要上場(chǎng)了。

才能保證收斂 修正牛頓法 為克服牛頓法在求解時(shí)的不足，可以將牛頓法的求解思路稍加改進(jìn)，本節(jié)將簡(jiǎn)要回顧一下Modi?ed Newton–Raphson method的思想。

光線矢量定義為兩個(gè)空間平面的交線，如下圖兩個(gè)平面分別表示為Ni為平面的法線向量，是與光線方向垂直的單位向量；di為原點(diǎn)距平面的距離。當(dāng)曲面上點(diǎn)為光線與曲面的交點(diǎn)時(shí)應(yīng)該滿足以下判斷條件R根據(jù)三維空間的牛頓迭法，上述方程可改寫為：上式中：J為R的雅可比矩陣。

非線性靜力分析需要求解非線性平衡方程，程序采用全牛頓-拉弗森或修正全牛頓-拉弗森迭代法。許多問題涉及歷程相關(guān)的響應(yīng)，因此通常通過一系列的增量步得到求解結(jié)果，在每個(gè)增量中通過迭代得到平衡。有時(shí)必須保持增量較小(意味著轉(zhuǎn)動(dòng)和應(yīng)變?cè)隽勘仨毿?,以確保對(duì)歷程相關(guān)影響的正確模擬，但最常見的是，增量步大小的選擇是計(jì)算效率的問題，如果增量步太大則需要更多迭代。

牛頓迭代計(jì)算流程：圖 4：牛頓迭代法計(jì)算流程N(yùn)ewton-Raphson迭代算法：function varargout=newton(fun,x0,ep,maxiter)% NEWTON 牛頓法求方程的根if nargin<4 maxiter=500; % 默認(rèn)最大迭代次數(shù)endif nargin<3 ep=1e-8; % 默認(rèn)允許誤差

割線法 什么是割線法呢？ 顧名思義，就是在迭代求解過程中，使用割線矩陣進(jìn)行更新。 割線法示意圖 在上圖中，我們可以看到，第一次迭代時(shí)，使用的是切線矩陣（與牛頓法相同），第2次迭代以后用的是割線矩陣進(jìn)行更新。這樣做的優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算過程中只需計(jì)算一次切線矩陣（求導(dǎo)），后續(xù)的過程不涉及公式的求導(dǎo)，迭代速度自然加快許多。

在SOL400中可以采用純?nèi)?em>牛頓法進(jìn)行迭代求解，對(duì)非線性程度高的問題比較有效。穩(wěn)態(tài)分析的初始條件：由于非線性方程是用迭代策略求解的，要考慮初始條件對(duì)問題收斂的速度有多大的影響，或者它是否會(huì)收斂。初始條件提供了迭代求解方法的起始點(diǎn)溫度。顯然，如果我們能夠準(zhǔn)確地猜測(cè)我們的問題的解，這個(gè)過程將在第一次迭代中收斂。雖然這是不太可能的，但是一個(gè)好的初始估算可以顯著加快收斂過程。

以常用的離散元軟件PFC為例，其模擬的對(duì)象通常是細(xì)微觀的物質(zhì)，所以它所建立的模型尺寸非常有限，而且在數(shù)值模擬的時(shí)候通常需要迭代計(jì)算至少一百萬次，迭代計(jì)算量非常大。 （2）定量建模困難。

%%%%%% Matlab程序--BFGS擬牛頓算法 % clc % clear % syms x1 x2 % f=@(x1,x2)x1.^2+x2.^2-x1*x2-10*x1-4*x2+60 % X=BFGS(f,[0,0],1e-8,100) function x=BFGS(f,x0,eps,k) %f為函數(shù)表達(dá)式，x0初始值向量，eps誤差,k迭代次數(shù) x0=x0'; TiDu=matlabFunction

當(dāng)發(fā)生塑性屈服時(shí)，根據(jù)應(yīng)力更新的公式：可以計(jì)算：式中：式中：為硬化曲線的梯度，各向同性硬化曲線使用數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合為分段線性函數(shù)：因此最終可得到一致性切線剛度矩陣的表達(dá)式為：2 算法描述整個(gè) return-mapping 算法框圖如下：牛頓迭代法算法框圖如下：3 UMAT代碼umat使用

在ANSYS里還是牛頓－拉普森法和弧長(zhǎng)法。牛頓－拉普森法是常用的方法，收斂速度較快，但也和結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和步長(zhǎng)有關(guān)?；￠L(zhǎng)法常被某些人推崇備至，它能算出力加載和位移加載下的響應(yīng)峰值和下降響應(yīng)曲線。但也發(fā)現(xiàn)：在峰值點(diǎn)，弧長(zhǎng)法仍可能失效，甚至在非線性計(jì)算的線性階段，它也可能會(huì)無法收斂。 為此，盡量不要從開始即激活弧長(zhǎng)法，還是讓程序自己激活為好（否則出現(xiàn)莫名其妙的問題）。

簡(jiǎn)單介紹以下幾個(gè)自帶的標(biāo)準(zhǔn)求解器：icoFoam：用于求解層流下的單相牛頓流體流動(dòng)。simpleFoam：求解單相牛頓以及非牛頓湍流流動(dòng)。interFoam：牛頓和非牛頓流體的VOF模型求解。4. 后處理：openfoam本身是基于C++編寫，在linux下運(yùn)行，自身無法圖形化，云圖顯示一般使用paraview或者其他專業(yè)后處理工具。5.

當(dāng)然，由于L是下三角矩陣，因此預(yù)處理方程一般通過兩次“回代”（參考本公眾號(hào)文章[數(shù)值算法與編程]高斯消去法的回代部分）即可求解。 以之前的文章共軛梯度法中的原始方程求解為例，采用不完備Cholesky分解預(yù)處理求解如下： 僅需3次迭代，即獲得收斂解，而原來的常規(guī)共軛梯度法需要9次迭代。

Simdroid“非線性屈曲”分析界面 “柱面弧長(zhǎng)法”是牛頓迭代法的一種擴(kuò)展，當(dāng)結(jié)構(gòu)臨近失穩(wěn)極限時(shí)，其剛度矩陣一般是奇異或者接近奇異的狀態(tài)，此時(shí)無法采用牛頓迭代法求解，采用弧長(zhǎng)法引入了荷載乘子作為求解自變量，可以避免剛度矩陣奇異的情況。采用弧長(zhǎng)法時(shí)要求荷載必須是正比例加載，荷載乘子也被稱為荷載正比例系數(shù)（LPF），求解出的荷載乘子有可能隨著位移的增加增大或者減小。

目前，線性方程組的求解主要分為直接法和迭代法兩種。 在之前的文章[數(shù)值算法與編程]高斯消去法中，我們討論的高斯消去法就是直接法的一種。而本文即將討論的共軛梯度法，是迭代法的一種，并且，其屬于目前求解對(duì)稱線性方程組的主要迭代方法。各大商業(yè)有限元軟件，在面臨對(duì)稱線性方程組的求解時(shí)幾乎都會(huì)選用各種變化形式的共軛梯度法進(jìn)行求解。

Simdroid“非線性屈曲”分析界面 “柱面弧長(zhǎng)法”是牛頓迭代法的一種擴(kuò)展，當(dāng)結(jié)構(gòu)臨近失穩(wěn)極限時(shí)，其剛度矩陣一般是奇異或者接近奇異的狀態(tài)，此時(shí)無法采用牛頓迭代法求解，采用弧長(zhǎng)法引入了荷載乘子作為求解自變量，可以避免剛度矩陣奇異的情況。