增量迭代法
關(guān)注創(chuàng)建者：SuperID 創(chuàng)建時(shí)間：2019-09-21
增量迭代法的視頻教程
Abaqus UMAT二次開(kāi)發(fā)（三）——非線性有限元求解流程 及UMAT調(diào)用原理
什么是增量法？什么是迭代法？什么是增量迭代法？增量步？迭代步？步長(zhǎng)控制？ 調(diào)用UMAT輸出什么？輸出的量有什么用？ 調(diào)用UMAT在整個(gè)非線性有限元求解的過(guò)程中作用體現(xiàn)在哪里？
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線性隨動(dòng)強(qiáng)化彈塑性u(píng)mat子程序
課程內(nèi)容： 1、增量迭代法基本原理 2、彈塑性力學(xué)基礎(chǔ)理論 3、umat子程序編寫(xiě)與調(diào)試 4、umat子程序?qū)嵗?yàn)證 課程目的： 在理解彈塑性力學(xué)理論的基礎(chǔ)上，提高理論轉(zhuǎn)化為程序的技能，為可能遇到的其他材料模型的umat子程序編寫(xiě)提供支持。
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Abaqus Umat 開(kāi)發(fā)系列課程（P1+P2+P3）
的調(diào)試的配置 5、Visual Studio調(diào)試UMAT常用技巧 Part 3：非線性有限元求解流程 及UMAT調(diào)用原理 1、課程簡(jiǎn)介 2、Newdon-Raphson 方法 3、Newdon-Raphson 求解流程及算例 4、Modified-Newdon-Raphson 方法 5、增量迭代法詳解 6、非線性有限元分析流程及UMAT調(diào)用原理
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增量迭代法的實(shí)例教程
對(duì)于這樣的非線性問(wèn)題，一般的有限元程序都是通過(guò)增量迭代法求解。增量迭代法的核心思想是，將最終的狀態(tài)看成是一個(gè)加載過(guò)程，將載荷分成多個(gè)增量，逐級(jí)加載，然后在每個(gè)增量步內(nèi)多次迭代，收斂后進(jìn)行下一個(gè)增量步。
1、增量法
將{P}荷載分成為m個(gè)荷載增量（相等或不等）
，即總荷載為
每次施加一個(gè)荷載增量，在第i步加載后，荷載為
每一荷載增量產(chǎn)生一個(gè)位移增量
和應(yīng)力增量
在第i步加載后，位移、應(yīng)力分別為
第m步加載后，得到最終位移、應(yīng)力。
增量法的關(guān)鍵在于：已知前一個(gè)增量步的相關(guān)信息，如何由荷載增量
計(jì)算位移增量
和應(yīng)力增量
，進(jìn)而求出位移
和應(yīng)力
的問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題通常應(yīng)用牛頓-拉普森迭代法求解，接下來(lái)介紹這種方法。
2、修正的牛頓-拉普森迭代法（mN-R）
在載荷
時(shí)，位移為
，下一個(gè)增量為
，下一個(gè)增量步結(jié)束后載荷為
，在已知以上條件后用mN-R方法計(jì)算下一個(gè)增量結(jié)束后的位移。
令
計(jì)算切線剛度
計(jì)算不平衡力
根據(jù)非平衡力計(jì)算位移修正量
位移修正量為
一次迭代后修正的位移為
判斷是否收斂，若不收斂繼續(xù)迭代，直到近似收斂于真實(shí)解
附件有個(gè)小算例，希望能幫助大家理解增量迭代法
同時(shí)也歡迎觀看本次的視頻教程
http://www.yqgqt.org.cn/college/video/c14014
展開(kāi) 本質(zhì)上，非線性屈曲實(shí)際上要求解的是一個(gè)非線性靜力問(wèn)題，在有限元中最終轉(zhuǎn)化為非線性方程組的求解，目前常見(jiàn)的非線性方程組的求解方法有牛頓迭代法、擬牛頓迭代法、增量法、增量迭代法和弧長(zhǎng)法等。在abaqus中，如果采用static，general類型的step，則軟件采用增量迭代法進(jìn)行計(jì)算，具體是將荷載/位移分為多個(gè)增量步加載，而每一個(gè)增量步內(nèi)又采用牛頓迭代法進(jìn)行求解。
對(duì)于單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，在abaqus中，其計(jì)算非線性屈曲主要采用兩種方法：增量迭代法和弧長(zhǎng)法。增量迭代法又分荷載增量迭代和位移增量迭代。對(duì)于單層網(wǎng)殼，由于通常情況下其所受的外荷載已知而在外荷載的位移未知，因此實(shí)際工程中事實(shí)上很難采用位移增量迭代，而對(duì)于荷載增量迭代，其具體過(guò)程如圖一所示：
圖一 基于荷載增量的增量迭代法
基于荷載增量迭代的具體求解過(guò)程可知，如果荷載-位移曲線存在下降段，則荷載增量迭代實(shí)際上在曲線接近峰值時(shí)由于剛度接近0而不收斂，難以繼續(xù)求解，具體過(guò)程如圖二所示：
圖二 基于荷載增量的不收斂示意
目前應(yīng)對(duì)此缺陷的方法是采用弧長(zhǎng)法，其具體過(guò)程如圖三。由于弧長(zhǎng)法以荷載和位移形成的弧長(zhǎng)作為增量，因此即使是面對(duì)有下降段的非線性屈曲分析，其也能求解。然而實(shí)際上，即使是采用弧長(zhǎng)法，對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，即使是采用弧長(zhǎng)法，在面對(duì)平衡路徑跳躍或者突變時(shí)，仍可能存在不收斂。
展開(kāi) 2.1.2 迭代法
2.1.2.1 直接迭代法
直接迭代法取迭代方程為
2.1.2.2 Newton-Raphson法
迭代方程
詳細(xì)推導(dǎo)可見(jiàn)附錄。K的值和上面的直接法是一樣的，但最大區(qū)別是第一次迭代的u作為下一次的初始點(diǎn)。
2.1.2.3 Modified Newton-Raphson法
如果非線性曲線比較平緩，那么在New-Raphson迭代過(guò)程中迭代步的切線剛度矩陣可以近似為上幾個(gè)或者第一個(gè)迭代步的，即。這樣可以只在第一個(gè)迭代步計(jì)算一次K，提高每個(gè)迭代步的計(jì)算速度，但由于一般情況下
的變化較大，所以會(huì)降低收斂速度。
2.1.2.4 BFGS法
其實(shí)就是Abaqus非線性Step設(shè)置中的Quasi-Newton方法，在Abaqus做非線性可以在Newton方法和Quasi-Newton二選一。這里不做更多說(shuō)明。
2.1.3 增量迭代法
一般情況增量法可以保證求解過(guò)程的收斂性但收斂速度較慢，而Newton-Raphson法收斂速度較慢但收斂性沒(méi)有保證，所以混合法結(jié)合了增量法和Newton-Raphson法來(lái)求解非線性問(wèn)題。混合法首先將外載荷分成若干個(gè)增量步，在每個(gè)增量步內(nèi)采用Newton-Raphson法迭代求解，在增量步內(nèi)求解完成后繼續(xù)求解下一個(gè)增量步，最后將所有增量步累加起來(lái)即得到結(jié)果。
2.1.4 收斂判據(jù)
常見(jiàn)的收斂判據(jù)有分為兩種，失衡力準(zhǔn)則、位移準(zhǔn)則
2.1.4.1 失衡力準(zhǔn)則
2.1.4.2 位移準(zhǔn)則
2.2 Abaqus的非線性問(wèn)題求解
Abaqus的非線性中上面說(shuō)的三種迭代都涉及，其中General Static分析步采用Newton或者Quasi-Newton方法，而Static, Riks分析步采用Riks弧長(zhǎng)法。我們現(xiàn)在只聚焦到General Static的Newton方法。
展開(kāi) Abaqus 中的步進(jìn)、增量、迭代和嘗試等可能會(huì)在概念上讓 Abaqus 初學(xué)者感到困惑。清楚地了解分析步驟、荷載增量和迭代之間的區(qū)別非常重要。在這篇文章中快速了解 Abaqus 步驟和增量迭代。
在ABAQUS中，步進(jìn)增量迭代是解決非線性問(wèn)題的一種數(shù)值計(jì)算方法。這種方法通常用于模擬材料的非線性行為、接觸問(wèn)題、接縫問(wèn)題等。
在ABAQUS中，步進(jìn)增量迭代是按照一個(gè)小的增量步驟來(lái)逐漸逼近最終解的過(guò)程。該方法通過(guò)迭代求解非線性方程組，將整個(gè)問(wèn)題分解為多個(gè)小問(wèn)題來(lái)求解。每個(gè)小問(wèn)題中的方程可以被看作是線性的，因此可以使用線性求解器進(jìn)行求解。
步進(jìn)、增量、迭代中的每個(gè)步驟由以下幾個(gè)關(guān)鍵部分組成：
加載：在每個(gè)步驟中，系統(tǒng)會(huì)施加一個(gè)外部載荷或邊界條件，以模擬實(shí)際情況中的加載過(guò)程。這個(gè)加載可以是均勻的、逐漸增加的、逐漸減小的，或者包含不同的加載與卸載階段。
初始估計(jì)：在每個(gè)步驟的開(kāi)始，需要對(duì)未知變量進(jìn)行一個(gè)初始估計(jì)。這個(gè)估計(jì)將作為迭代求解的初始猜測(cè)。
迭代求解：在每個(gè)步驟中，系統(tǒng)通過(guò)迭代來(lái)不斷逼近最終解。迭代的過(guò)程是通過(guò)求解線性方程組來(lái)更新未知變量的值，直到達(dá)到收斂準(zhǔn)則為止。
收斂準(zhǔn)則：收斂準(zhǔn)則是判斷當(dāng)前迭代結(jié)果與最終解之間是否滿足一定的收斂標(biāo)準(zhǔn)。如果迭代的誤差小于設(shè)定的閾值，則認(rèn)為計(jì)算結(jié)果已經(jīng)收斂。
通過(guò)不斷迭代求解小問(wèn)題，整個(gè)問(wèn)題可以被逐漸解決。在ABAQUS中，可以通過(guò)在每個(gè)步驟中設(shè)置不同的參數(shù)來(lái)控制迭代的過(guò)程，以便獲得更準(zhǔn)確的結(jié)果。
步進(jìn)增量迭代是ABAQUS中解決非線性問(wèn)題的核心方法之一。通過(guò)它，我們可以更好地理解材料的行為，模擬實(shí)際工程問(wèn)題，并為工程設(shè)計(jì)提供支持。
展開(kāi) 得到如下表達(dá)式：
和線性瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)類似，在理論上當(dāng)前時(shí)刻的加速度就應(yīng)該只和當(dāng)前時(shí)刻的位移相關(guān)了，但計(jì)算的數(shù)值解把時(shí)刻分成了多個(gè)，方程如下：
其中
可以取當(dāng)前時(shí)間步的初始時(shí)刻的剛度，那么就是修正的牛頓迭代方法，如果取結(jié)束時(shí)刻的剛度，就是完全牛頓迭代方法。
而加速度一定是要通過(guò)起碼兩個(gè)時(shí)刻才能計(jì)算出來(lái)的，取前時(shí)刻還是后時(shí)刻的位移來(lái)決定加速度就有隱式和顯式之分，任何一種分析理論上都可以得到正確解，只不過(guò)顯式不用求剛度，隱式需要求解剛度陣，而通過(guò)剛度的解釋可以更容易理解Abaqus內(nèi)部的實(shí)現(xiàn)原理，在本章中，我們選用隱式非線性瞬態(tài)分析。在隱式方法中，將時(shí)間離散，加速度表示為位移的表達(dá)式后，得到下方的公式
這個(gè)就是標(biāo)準(zhǔn)的newton增量迭代法的公式，其中K和F在靜力學(xué)的增量迭代法中表示切線剛度陣和內(nèi)力，只不過(guò)這邊需要加上M項(xiàng)：
其中A依然是只與時(shí)間增量步相關(guān)的量，對(duì)不同的隱式算法A的值不同，譬如對(duì)最簡(jiǎn)單的Newmark方法中的梯形隱式算法，加速度在增量步內(nèi)線性變化，譬如下方紅線是在輸入的載荷轉(zhuǎn)換為加速度的值，但計(jì)算中沒(méi)法處理連續(xù)的曲線，所以Abaqus或者iSolver中實(shí)際上只會(huì)認(rèn)為增量步內(nèi)加速度時(shí)線性變化的：
此時(shí)得到的修正剛度為：
而F與上一迭代的位移、速度、加速度相關(guān)，可以表示為：
顯然當(dāng)時(shí)間增量步固定時(shí)，此時(shí)的K也是隨增量步和迭代步變化的值，顯然該方程在每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)都只能通過(guò)迭代。因?yàn)橛?em>迭代，所以F也無(wú)法約去右側(cè)純的應(yīng)力導(dǎo)致的內(nèi)力項(xiàng)。
展開(kāi) 
增量迭代法的相關(guān)專題、標(biāo)簽、搜索
增量迭代法的最新內(nèi)容
依據(jù)增量迭代法的實(shí)現(xiàn)流程，我猜測(cè)ABAQUS的計(jì)算流程是這樣的：abaqus依據(jù)cload給出的荷載數(shù)值，按照增量迭代的計(jì)算方法，在每一個(gè)增量步計(jì)算中，將一定量的荷載施加在結(jié)構(gòu)上，當(dāng)增量步滿足收斂判斷時(shí)，進(jìn)入下一個(gè)增量步，在下一個(gè)增量步中，abaqus再次將一定量的荷載施加在結(jié)構(gòu)上，當(dāng)下一個(gè)增量步滿足收斂判斷時(shí)，再次開(kāi)始一個(gè)新的增量步，依次類推，一直將荷載疊加代cload關(guān)鍵字后面給出的荷載數(shù)值且收斂時(shí)
上一章講過(guò)聲學(xué)有限元只要加入聲學(xué)單元，求出類似的剛度陣和非平衡力，就很容易嵌入到基于增量迭代法的有限元結(jié)構(gòu)流程中，但邊界元實(shí)際上融入這個(gè)流程還有相當(dāng)?shù)睦щy，按照最終的方程來(lái)說(shuō)，我們可以把P(r)前的系數(shù)陣當(dāng)成剛度陣，然后也可以采用迭代法來(lái)求非平衡力，正常來(lái)說(shuō)也是一次平衡，但邊界元基本不這么做，我們理解困難點(diǎn)在于全局剛度陣的組裝，有限元中由于節(jié)點(diǎn)只與跟它相連的單元節(jié)點(diǎn)影響，可以先求出單元?jiǎng)偠汝嚨玫皆搯卧獌?nèi)節(jié)點(diǎn)之間關(guān)系
Abaqus 中的步進(jìn)、增量、迭代和嘗試等可能會(huì)在概念上讓 Abaqus 初學(xué)者感到困惑。清楚地了解分析步驟、荷載增量和迭代之間的區(qū)別非常重要。在這篇文章中快速了解 Abaqus 步驟和增量迭代。
在ABAQUS中，步進(jìn)增量迭代是解決非線性問(wèn)題的一種數(shù)值計(jì)算方法。這種方法通常用于模擬材料的非線性行為、接觸問(wèn)題、接縫問(wèn)題等。
在ABAQUS中，步進(jìn)增量迭代是按照一個(gè)小的增量步驟來(lái)逐漸逼近最終解的過(guò)程
2.4 基于iSolver結(jié)構(gòu)流程的聲學(xué)有限元分析實(shí)現(xiàn)
一般情況聲學(xué)方程都是線性代數(shù)方程組，不需要迭代就可以求出，但因?yàn)閕Solver求解器已有增量迭代法的結(jié)構(gòu)求解流程，我們程序?qū)崿F(xiàn)中還是按迭代來(lái)求解，這樣我們只要加入了聲學(xué)單元，同時(shí)求解聲學(xué)單元的剛度陣、質(zhì)量陣及非平衡力，只不過(guò)一次迭代就收斂結(jié)束了。
考慮大撓度，力和位移收斂準(zhǔn)則，增量迭代法、線性搜索、自適應(yīng)下降、自動(dòng)時(shí)間步來(lái)加快收斂速度。。結(jié)構(gòu)用鋼構(gòu)件在材料選取上主要需考慮兩方面的問(wèn)題:1) 滿足結(jié)構(gòu)的受力性能；2) 材料具有良好的塑性、韌性和可焊性。表35給出了鋼材的物理性能指標(biāo)，表36為 Q345-B強(qiáng)度設(shè)計(jì)值。
本質(zhì)上，非線性屈曲實(shí)際上要求解的是一個(gè)非線性靜力問(wèn)題，在有限元中最終轉(zhuǎn)化為非線性方程組的求解，目前常見(jiàn)的非線性方程組的求解方法有牛頓迭代法、擬牛頓迭代法、增量法、增量迭代法和弧長(zhǎng)法等。在abaqus中，如果采用static，general類型的step，則軟件采用增量迭代法進(jìn)行計(jì)算，具體是將荷載/位移分為多個(gè)增量步加載，而每一個(gè)增量步內(nèi)又采用牛頓迭代法進(jìn)行求解。
對(duì)于單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，在abaqus中，其計(jì)算非線性屈曲主要采用兩種方法：增量迭代法和弧長(zhǎng)法。增量迭代法又分荷載增量迭代和位移增量迭代。
Abaqus的Standard求解器都是把有限元的問(wèn)題最終轉(zhuǎn)化為增量迭代法求解數(shù)值問(wèn)題的，時(shí)間步長(zhǎng)是否穩(wěn)定就看增量迭代法求解的過(guò)程。
（1）對(duì)于線性瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)，無(wú)需迭代，一次迭代就能求出問(wèn)題解，且是正確解，自然是穩(wěn)定的。
在隱式方法中，將時(shí)間離散，加速度表示為位移的表達(dá)式后，得到下方的公式
其中K和F在靜力學(xué)的增量迭代法中表示切線剛度陣和內(nèi)力，只不過(guò)這邊需要加上M項(xiàng)：
其中A是只與時(shí)間增量步相關(guān)的量，對(duì)不同的隱式算法A的值不同，譬如對(duì)最簡(jiǎn)單的Newmark方法中的梯形隱式算法，加速度在增量步內(nèi)線性變化，下方紅線是在輸入的載荷轉(zhuǎn)換為加速度的值，但計(jì)算中沒(méi)法處理連續(xù)的曲線，所以Abaqus
支持非線性迭代的線性搜索功能，支持增量迭代法的位移和力的雙重判據(jù)，支持用戶控制收斂判據(jù)誤差，方便對(duì)迭代次數(shù)的控制，自動(dòng)增量步時(shí)支持用戶設(shè)置的最大增量步，超過(guò)最大增量步后按最大增量步計(jì)算。
詳見(jiàn)：
》》》第二十二篇：幾何非線性的剛度矩陣求解。
