N-S方程
關(guān)注創(chuàng)建者：This is for you! 創(chuàng)建時(shí)間：2020-08-27
N-S方程的實(shí)例教程
流體N-S方程的剖析
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因?yàn)樵诠ぷ鞯臅r(shí)候，總能遇到比如本可以用層流模型卻用湍流模型；或者對(duì)于一個(gè)顯著的分離流卻錯(cuò)誤地使用k-ε模型；又或是一個(gè)原本在大氣層與真空的邊界的外氣動(dòng)問(wèn)題，卻還在應(yīng)用N-S方程……在當(dāng)下過(guò)于注重商業(yè)軟件操作卻忽略理論基礎(chǔ)的業(yè)界，諸如此類的問(wèn)題比比皆是。
如何結(jié)合物理實(shí)際選用合適的計(jì)算模型便成為一個(gè)非常重要的問(wèn)題。眾所周知，經(jīng)典CFD理論基于N-S方程，大多數(shù)工程問(wèn)題似乎也基于N-S方程去分析。然而N-S方程有一個(gè)重要的前提假設(shè)，那就是N-S方程是基于流體連續(xù)性假設(shè)的，也就是說(shuō)，流體分子的自由程相比所求解問(wèn)題的物理尺度在小于一定程度時(shí)，分子自由運(yùn)動(dòng)的效應(yīng)更加顯著，此時(shí)連續(xù)性假設(shè)失效。判斷問(wèn)題是否符合連續(xù)性假設(shè)有一個(gè)無(wú)量綱準(zhǔn)則數(shù)，叫做克努森數(shù)。當(dāng)然，流體問(wèn)題中還有很多準(zhǔn)則數(shù)。這些準(zhǔn)則數(shù)的范圍就決定了我們對(duì)于一個(gè)流體問(wèn)題的考量。
首先應(yīng)通過(guò)克努森數(shù)判斷問(wèn)題是否可以滿足連續(xù)性假設(shè)，如果滿足，則可以用N-S方程，否則應(yīng)視為稀薄流體力學(xué)問(wèn)題。克努森數(shù)定義如下：
其中λ為分子自由程，L為特征物理長(zhǎng)度。當(dāng)克努森數(shù)Kn<0.01時(shí)稱為連續(xù)流，此時(shí)可看作連續(xù)流體，N-S方程適用。當(dāng)0.01<Kn<0.1時(shí)稱為滑動(dòng)流，主流可使用N-S方程，近壁面層有稀薄流體效應(yīng)。當(dāng)0.1<Kn<10時(shí)稱為過(guò)渡流，此時(shí)稀薄流體效應(yīng)占主導(dǎo)地位。當(dāng)Kn>10時(shí)為自由流，此時(shí)分子碰撞壁面的概率遠(yuǎn)大于相互碰撞。但我們一般無(wú)法確切得知一個(gè)問(wèn)題的分子自由程是多少，通常來(lái)說(shuō)，在航空領(lǐng)域，幾十公里高空的外氣動(dòng)問(wèn)題可能涉及稀薄流體效應(yīng)。某些氣溶膠流體的行為也屬于稀薄流體范疇。此外的大多數(shù)問(wèn)題則屬于連續(xù)流體。
其次是流態(tài)問(wèn)題，可根據(jù)雷諾數(shù)的范圍判斷。
展開(kāi) （4）方程
LES的過(guò)濾方程與RANS的時(shí)間平均方程極其相似，可以說(shuō)，如果寫(xiě)出一個(gè)過(guò)濾/平均N-S方程，沒(méi)有進(jìn)行說(shuō)明，是無(wú)法判斷是對(duì)N-S方程進(jìn)行了過(guò)濾或平均。
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N-S方程 VS 玻爾茲曼方程
前面鋪墊了這么多，目的還是把玻爾茲曼這尊大神娓娓的請(qǐng)出來(lái)。當(dāng)然在此之前，還有必要先來(lái)捋一捋經(jīng)典力學(xué)描述流體的方式。
流體的基本方程本質(zhì)上是質(zhì)量、動(dòng)量和能量守恒方程，而N-S方程只是在宏觀上基于連續(xù)介質(zhì)假定，利用偏微分方程描述粘性流體流動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程，僅僅是流體基本方程的一種表達(dá)方式。而N-S方程反映的就是牛二定律F=ma。我們先來(lái)回顧一下用歐拉法描述的N-S方程的推導(dǎo)過(guò)程：
除了上述的動(dòng)量方程之外，我們同樣可以推導(dǎo)微分形式的質(zhì)量和能量守恒方程，此處不再贅述。而反觀另外一種描述流體運(yùn)動(dòng)的玻爾茲曼方程，則會(huì)看到一種完全不同的奧妙。
1859年，麥克斯韋發(fā)現(xiàn)在宏觀系統(tǒng)中追蹤每個(gè)分子的運(yùn)動(dòng)軌跡難以實(shí)現(xiàn)，于是產(chǎn)生了統(tǒng)計(jì)平均的概念。麥克斯韋認(rèn)為，任意時(shí)刻單個(gè)分子的速度和位置信息并不重要，分布函數(shù)才是描述分子效應(yīng)的重要參數(shù)。速度分布函數(shù)給出了在某一給定時(shí)間，速度在一定范圍內(nèi)的分子在整個(gè)系統(tǒng)中所占的百分比。
展開(kāi) N-S方程的變形
（4）蘭姆一葛羅米柯方程當(dāng)討論有旋性，常將速度的隨體導(dǎo)數(shù)分解，將其中旋量分離：
N-S方程就可以改寫(xiě)為：
（5）非慣性系中相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程
絕對(duì)速度=相對(duì)速度+牽連速度
絕對(duì)加速度=相對(duì)加速度+牽連加速度+科式加速度
其中：
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N-S方程的最新內(nèi)容
SA湍流的引入，可以將N-S方程的擴(kuò)散項(xiàng)系數(shù)增大，對(duì)流主導(dǎo)問(wèn)題的病態(tài)程度降低，迭代求解更容易收斂。和無(wú)腦增加迎風(fēng)項(xiàng)系數(shù)強(qiáng)制收斂比，這種方法得到的結(jié)果精度要好一些。
效果
圓柱繞流
設(shè)定圓柱半徑為0.05m，流體介質(zhì)為空氣，來(lái)流速度100m/s。得到繞流結(jié)果如下，可以看出自研求解器結(jié)果和Fluent結(jié)果基本是吻合的，這也標(biāo)志著自研求解器結(jié)果具備了一定的實(shí)用性。
為了求解描述流體運(yùn)動(dòng)的偏微分方程組（如N-S方程），必須借用微積分的核心思想：離散化。
微積分告訴我們，如果將一個(gè)復(fù)雜的曲線切分成足夠小的線段，這些線段就可以近似看作直線。
CFD也是如此，將計(jì)算區(qū)域切分成上萬(wàn)甚至上億個(gè)小單元，每個(gè)單元都是“網(wǎng)格”。
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雖然它不見(jiàn)得能寫(xiě)出N-S方程、應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系、拋物線公式，但它懂得了力的相互作用、質(zhì)量守恒、能量守恒、熵增原理等等這些統(tǒng)治世界的物理定律。
那么此時(shí)的模型，就成為了所謂的“世界模型（World Model）”。
你問(wèn)了，大語(yǔ)言模型能幫我水論文水報(bào)告水文章，世界模型能干啥？
很簡(jiǎn)單，只要你想 “預(yù)測(cè)未來(lái)”，世界模型就都有用武之地。
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動(dòng)量方程為：
（2.2）
（3）湍流方程
由于準(zhǔn)確的描述湍流隨時(shí)間的變化規(guī)律比較困難，雷諾研究湍流的平均運(yùn)動(dòng)，相應(yīng)的 N-S 方程變?yōu)槔字Z平均的N-S 方程。
MarineFlow 以有限體積法求解 N-S方程為核心，具有優(yōu)秀的網(wǎng)格兼容性，擁有豐富的湍流和自由面模型和不受限制的大規(guī)模并行計(jì)算能力，對(duì)標(biāo)主流商用軟件 Fluent、StarCCM+，計(jì)算精度和計(jì)算效率與商軟相當(dāng)。
CFD模擬的本質(zhì)是求解N-S方程的數(shù)值解。求解過(guò)程最理想的狀態(tài)，是你只需導(dǎo)入網(wǎng)格，設(shè)置好邊界條件，點(diǎn)擊求解。求解器咔咔一通算輸出最終的流場(chǎng)，你拿著去說(shuō)（hu）服（you）導(dǎo)師、客戶或同事。
理想很豐滿，現(xiàn)實(shí)很骨感。
流動(dòng)現(xiàn)象太復(fù)雜，細(xì)節(jié)太多了。如果想基于N-S方程進(jìn)行直接數(shù)值模擬（DNS，Direct Numerical Simulation），那計(jì)算量將是天量的。
其核心是通過(guò)數(shù)值方法求解基本的方程組（比如N-S方程、氣體狀態(tài)方程、化學(xué)反應(yīng)方程）來(lái)獲取流場(chǎng)內(nèi)的各種信息。由于基本的方程的準(zhǔn)確性是經(jīng)過(guò)充分驗(yàn)證的，故而原則上求解這些方程組所獲得的信息也是可靠的。
看看墻上這公式，流體力學(xué)里最經(jīng)典的N-S方程。
所以，一口氣把木塊吹出來(lái)。
這個(gè)方法并不冷門(mén)，很多博主都演示過(guò)。但這么做的原理是什么呢？
網(wǎng)上最常見(jiàn)的是用伯努利原理這么解釋的：吹氣后，圓柱上表面的氣體流速變大，流速變大則壓強(qiáng)變小，上表面形成低壓區(qū)，圓柱就被吸起來(lái)。這是一個(gè)非常典型的伯努利原理的誤用。
對(duì)于流體，最著名的是納維-斯托克斯方程，即N-S方程，基于動(dòng)量守恒和質(zhì)量守恒推導(dǎo)出的描述流體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的一組偏微分方程。
對(duì)于結(jié)構(gòu)，最著名的當(dāng)屬?gòu)椥粤W(xué)方程，基于胡克定律和平衡方程推導(dǎo)出的描述材料在彈性范圍內(nèi)變形行為的偏微分方程。
解方程是每個(gè)學(xué)生的噩夢(mèng)，但好在我們考試接觸的方程還都是有解析解的，也就是能寫(xiě)出來(lái)未知數(shù)的表達(dá)式。
基于N-S方程做一些簡(jiǎn)化：比如忽略水氣間相互作用、忽略粘性項(xiàng)、把3維簡(jiǎn)化為2維計(jì)算等。
這個(gè)波紋細(xì)看，會(huì)覺(jué)得很長(zhǎng)，且不會(huì)傳到遠(yuǎn)處，和實(shí)際會(huì)有差別，當(dāng)然也不排除它此處用的就是沒(méi)有解流體方程直接畫(huà)的動(dòng)畫(huà)，但也可能是游戲引擎中對(duì)流體方程簡(jiǎn)化的結(jié)果。
朦朦：還有天命人站在草地上揮舞金箍棒。
