近日有人哭訴：我前幾天做了個(gè)仿真，一共花了一周，卻有5天時(shí)間都在畫網(wǎng)格！是不是哪里搞錯(cuò)了？

畫網(wǎng)格是技術(shù)活，也是體力活。在一個(gè)完整的仿真流程中，生成網(wǎng)格這一步經(jīng)常會(huì)占據(jù)工程師大部分時(shí)間和精力。

正因?yàn)榇耍弦恢倍蓟钴S著很多靠畫網(wǎng)格賺零花錢的野生仿真工程師，俗稱“網(wǎng)格民工”。

今天就聊聊讓仿真新手頭大，讓仿真老手頭禿的“網(wǎng)格”。

一、什么是網(wǎng)格？

仿真的本質(zhì)是將物理世界搬運(yùn)到數(shù)字世界，用數(shù)學(xué)計(jì)算代替物理實(shí)驗(yàn)。

而搬運(yùn)的載體，就是物理公式。

對(duì)于流體，最著名的是納維-斯托克斯方程，即N-S方程，基于動(dòng)量守恒和質(zhì)量守恒推導(dǎo)出的描述流體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的一組偏微分方程。

對(duì)于結(jié)構(gòu)，最著名的當(dāng)屬?gòu)椥粤W(xué)方程，基于胡克定律和平衡方程推導(dǎo)出的描述材料在彈性范圍內(nèi)變形行為的偏微分方程。

解方程是每個(gè)學(xué)生的噩夢(mèng)，但好在我們考試接觸的方程還都是有解析解的，也就是能寫出來(lái)未知數(shù)的表達(dá)式。比如對(duì)一元二次方程：

它的解析解就是：

但讓人絕望的是，有解析解的方程是極少數(shù)。

比如對(duì)一元五次方程，它就沒(méi)有解析解，你也列不出來(lái)x的表達(dá)式。

盡管沒(méi)有解析解，但對(duì)于特定的一元五次方程，例如下面這個(gè)：

我們通過(guò)數(shù)值方法，比如二分法，還是可以“湊”出來(lái)幾個(gè)近似解。這些解，就是數(shù)值解。

你沒(méi)看錯(cuò)，有兩個(gè)解是約等于，不是等于。

那我問(wèn)你了：

這兩個(gè)解準(zhǔn)確嗎？

理論上來(lái)說(shuō)不準(zhǔn)。

能用嗎？

大部分情況下能用。

解析解是理想，數(shù)值解是現(xiàn)實(shí)，理想往往只能無(wú)限接近而無(wú)法到達(dá)。雖然不完美，但日子總要過(guò)下去。

理想化為現(xiàn)實(shí)是特例，方程有解析解也是特例。尤其對(duì)前面提到的偏微分方程，它們通常都只有數(shù)值解。

既然只有數(shù)值解，那如何找到這些數(shù)值解，就有講究了。

目前應(yīng)用最廣的方法有三種：有限元法（Finite Element Method, FEM）、有限體積法（Finite Volume Method, FVM）和有限差分法（Finite Difference Method, FDM）。

比如著名的結(jié)構(gòu)仿真軟件AIFEM就基于有限元法、流體仿真軟件AICFD基于有限體積法。

這三種方法都需要將連續(xù)的偏微分方程離散為代數(shù)方程組。

體現(xiàn)在仿真過(guò)程，就是都需要把計(jì)算區(qū)域離散化，拆分成一個(gè)個(gè)小單元，也就是畫網(wǎng)格。AIFEM和AICFD也都具備畫網(wǎng)格的功能。

AIFEM劃分網(wǎng)格  

明白了吧，畫網(wǎng)格的根本原因是描述我們所要模擬的物理現(xiàn)象的偏微分方程沒(méi)有解析解，在找數(shù)值解的過(guò)程中不得不將空間離散化。

網(wǎng)格民工畫的不是網(wǎng)格，而是在用鼠標(biāo)對(duì)抗這個(gè)連續(xù)的世界。

那有沒(méi)有不需要畫網(wǎng)格的仿真方法？

有，但非主流。

在網(wǎng)格法之外，還有數(shù)十種無(wú)網(wǎng)格法。雖然也要做空間離散，但離散時(shí)不再依賴網(wǎng)格，而是通過(guò)在計(jì)算域內(nèi)布置有限個(gè)離散點(diǎn)來(lái)求解。

無(wú)網(wǎng)格法在特大變形場(chǎng)景中有獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，可作為網(wǎng)格法的一種補(bǔ)充。目前基于無(wú)網(wǎng)格法的成熟仿真軟件還很少，也尚未在工程領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。

二、網(wǎng)格有哪些類型？

拆開(kāi)這個(gè)連續(xù)的世界，有不同的方法。根據(jù)離散后的形狀，網(wǎng)格單元可分為四面體、六面體或其它更復(fù)雜的類型。

從計(jì)算角度看，純六面體網(wǎng)格計(jì)算效率通常更高。

但從人力角度看，劃分純六面體網(wǎng)格相當(dāng)費(fèi)時(shí)費(fèi)力。對(duì)簡(jiǎn)單的幾何還好，但對(duì)于復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，想生成純六面體網(wǎng)格甚至都不可能實(shí)現(xiàn)。

工程界更常用的做法，是根據(jù)幾何特征判斷網(wǎng)格類型，適合六面體的區(qū)域生成六面體，適合四面體的生成四面體，或者輸出一套混合網(wǎng)格。

AICFD 和 AIFEM 均可根據(jù)幾何形狀，一鍵生成高質(zhì)量網(wǎng)格。

近幾年在仿真領(lǐng)域出現(xiàn)了多面體網(wǎng)格，即網(wǎng)格單元至少一個(gè)表面是多邊形，且多邊形的邊至少是五邊形。

由于其網(wǎng)格劃分且求解效率高的優(yōu)點(diǎn)，多面體網(wǎng)格在流體仿真領(lǐng)域得到了越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。AICFD的2025版也將支持生成多面體網(wǎng)格，敬請(qǐng)期待。

從左到右：六面體、四面體和多面體網(wǎng)格

三、畫網(wǎng)格咋這么費(fèi)勁？

既然現(xiàn)在很多軟件都支持一鍵生成網(wǎng)格，那為什么畫網(wǎng)格還這么費(fèi)時(shí)費(fèi)力？

好問(wèn)題。

我覺(jué)得原因主要有三：模型簡(jiǎn)化、確定計(jì)算域以及確定幾何尺寸，這三部分在現(xiàn)階段還很難擺脫人工。

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1. 模型清理簡(jiǎn)化

開(kāi)頭說(shuō)了，仿真的本質(zhì)是將物理世界搬運(yùn)到數(shù)字世界，用數(shù)學(xué)計(jì)算代替物理實(shí)驗(yàn)。

在搬運(yùn)過(guò)程中，就不得不做出取舍，只搬運(yùn)自己關(guān)心的部分。

其實(shí)在現(xiàn)實(shí)世界做實(shí)驗(yàn)，我們也要有取舍有簡(jiǎn)化，畢竟資源是有限的。

比如汽車碰撞實(shí)驗(yàn)，通常只選正面和側(cè)面碰撞這些典型工況。做飛機(jī)的風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)，通常只做靜態(tài)測(cè)試，很少模擬動(dòng)態(tài)變化。

仿真更是如此。

做汽車外氣動(dòng)仿真時(shí)，不得不簡(jiǎn)化輪轂結(jié)構(gòu)、刪除輪胎表面花紋、刪除雨刮器、刪除門把手甚至后視鏡等結(jié)構(gòu)。

做飛機(jī)機(jī)翼的強(qiáng)度仿真時(shí)，不得不刪除上表面的渦流發(fā)生器、后面的放電針、傳感器的安裝孔等結(jié)構(gòu)。

如果來(lái)者不拒全部將其離散，生成的網(wǎng)格量之多，會(huì)讓你絕望，讓電腦崩潰。

但刪除哪些保留哪些，需要一定的經(jīng)驗(yàn)判斷——只有那些“不重要”的才應(yīng)被刪除。因此幾何清理簡(jiǎn)化這一步，需要花費(fèi)大量精力。

2. 計(jì)算域選擇

除了幾何簡(jiǎn)化，計(jì)算域的選取也很講究。類似做物理實(shí)驗(yàn)，你的實(shí)驗(yàn)區(qū)域不可能做到無(wú)限大，仿真也一樣。

比如做電子散熱仿真，除了保留固體部分，周圍空氣保留多大范圍？范圍太大，網(wǎng)格量又讓你絕望，讓電腦崩潰。范圍太小，降低計(jì)算準(zhǔn)確性。

計(jì)算域范圍的選擇需要經(jīng)驗(yàn)判斷，不同場(chǎng)景區(qū)別非常大，經(jīng)常需要多次嘗試。

這個(gè)問(wèn)題在流體仿真領(lǐng)域尤其明顯，畢竟結(jié)構(gòu)強(qiáng)度計(jì)算無(wú)需考慮周圍空氣，固體就是計(jì)算域。因此流體仿真的網(wǎng)格量往往比結(jié)構(gòu)仿真大，甚至差幾個(gè)數(shù)量級(jí)。

對(duì)強(qiáng)度仿真來(lái)說(shuō)，百萬(wàn)級(jí)的網(wǎng)格量已經(jīng)很大。但對(duì)流體仿真來(lái)說(shuō)，百萬(wàn)只是入門，千萬(wàn)甚至上億都是常態(tài)。

例如AICFD就支持10億規(guī)模網(wǎng)格的計(jì)算，結(jié)構(gòu)仿真工程師聽(tīng)到這個(gè)數(shù)會(huì)當(dāng)場(chǎng)昏過(guò)去的。

3. 網(wǎng)格尺寸

模型簡(jiǎn)化和計(jì)算域選擇都完成了，終于到正式的網(wǎng)格劃分步驟。

你又懵了，網(wǎng)格應(yīng)該分多細(xì)呢？

尺寸太小，網(wǎng)格量讓人絕望讓電腦崩潰。尺寸太大，降低計(jì)算準(zhǔn)確性。

確定合適的網(wǎng)格尺寸，通常要做網(wǎng)格無(wú)關(guān)性驗(yàn)證，即逐步加密網(wǎng)格，一直到物理場(chǎng)幾乎不變?yōu)橹梗_定最終網(wǎng)格尺寸。

除了總體尺寸，網(wǎng)格劃分還講究“該密的地方密，該疏的地方疏”，即在物理場(chǎng)變化較為劇烈的區(qū)域加密網(wǎng)格。

對(duì)結(jié)構(gòu)仿真來(lái)說(shuō)，在應(yīng)力集中、大變形等區(qū)域往往需要加密網(wǎng)格，以捕捉更細(xì)微的變化，提高精度。

對(duì)流體仿真來(lái)說(shuō)，最經(jīng)典的就是邊界層區(qū)域，即靠近壁面的一個(gè)內(nèi)部速度、溫度場(chǎng)劇烈變化的薄層。

因此在壁面附近，通常要畫幾層很薄的邊界層網(wǎng)格，以捕捉其內(nèi)部的劇烈變化。

邊界層網(wǎng)格應(yīng)該畫多薄呢？有一個(gè)無(wú)量綱值y+可供參考，其定義為:

對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)湍流模型（如k-ε、k-ω），y+值應(yīng)保持在30到300之間。

對(duì)于大渦模擬，y+值應(yīng)盡量小，通常小于1。

聽(tīng)懂掌聲。

除了邊界層，在其它區(qū)域，比如汽車后面的尾流，也有物理場(chǎng)的劇烈變化，盡管它遠(yuǎn)離壁面。

若想捕捉此處的流動(dòng)細(xì)節(jié)，就也要加密網(wǎng)格。AICFD在劃分網(wǎng)格時(shí)，可通過(guò)輔助幾何選定區(qū)域，對(duì)區(qū)域內(nèi)網(wǎng)格進(jìn)行加密，歡迎嘗試。

然而有個(gè)尷尬的情況：除了壁面邊界層這種事前知道需要加密的區(qū)域，在計(jì)算結(jié)果出來(lái)之前我不知道哪里的物理場(chǎng)變化劇烈，那如何在畫網(wǎng)格時(shí)加密該加密的區(qū)域？   

好問(wèn)題。

AICFD的2025版將支持AI網(wǎng)格，你只需要提供幾何，軟件在計(jì)算過(guò)程中會(huì)根據(jù)得到的物理場(chǎng)，自動(dòng)調(diào)整相應(yīng)區(qū)域的網(wǎng)格尺寸。實(shí)現(xiàn)網(wǎng)格和求解的雙向促進(jìn)，雙向奔赴，敬請(qǐng)期待。

總之，網(wǎng)格劃分的確是當(dāng)前仿真中最耗費(fèi)人力的工作。希望我們的工具能逐步降低仿真過(guò)程的人工干預(yù)，讓人不再絕望，機(jī)器不再崩潰。