N-S方程的案例
流體N-S方程的剖析
流體N-S方程的剖析
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CFD仿真的一般邏輯
因為在工作的時候，總能遇到比如本可以用層流模型卻用湍流模型；或者對于一個顯著的分離流卻錯誤地使用k-ε模型；又或是一個原本在大氣層與真空的邊界的外氣動問題，卻還在應用N-S方程……在當下過于注重商業軟件操作卻忽略理論基礎的業界，諸如此類的問題比比皆是。
如何結合物理實際選用合適的計算模型便成為一個非常重要的問題。眾所周知，經典CFD理論基于N-S方程，大多數工程問題似乎也基于N-S方程去分析。然而N-S方程有一個重要的前提假設，那就是N-S方程是基于流體連續性假設的，也就是說，流體分子的自由程相比所求解問題的物理尺度在小于一定程度時，分子自由運動的效應更加顯著，此時連續性假設失效。判斷問題是否符合連續性假設有一個無量綱準則數，叫做克努森數。當然，流體問題中還有很多準則數。這些準則數的范圍就決定了我們對于一個流體問題的考量。
首先應通過克努森數判斷問題是否可以滿足連續性假設，如果滿足，則可以用N-S方程，否則應視為稀薄流體力學問題。克努森數定義如下：
其中λ為分子自由程，L為特征物理長度。當克努森數Kn<0.01時稱為連續流，此時可看作連續流體，N-S方程適用。當0.01<Kn<0.1時稱為滑動流，主流可使用N-S方程，近壁面層有稀薄流體效應。當0.1<Kn<10時稱為過渡流，此時稀薄流體效應占主導地位。當Kn>10時為自由流，此時分子碰撞壁面的概率遠大于相互碰撞。但我們一般無法確切得知一個問題的分子自由程是多少，通常來說，在航空領域，幾十公里高空的外氣動問題可能涉及稀薄流體效應。某些氣溶膠流體的行為也屬于稀薄流體范疇。此外的大多數問題則屬于連續流體。
其次是流態問題，可根據雷諾數的范圍判斷。
展開 CFD理論|湍流數值模擬方法
（4）方程
LES的過濾方程與RANS的時間平均方程極其相似，可以說，如果寫出一個過濾/平均N-S方程，沒有進行說明，是無法判斷是對N-S方程進行了過濾或平均。
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你是學流體力學的？去，給我倒杯水
N-S方程 VS 玻爾茲曼方程
前面鋪墊了這么多，目的還是把玻爾茲曼這尊大神娓娓的請出來。當然在此之前，還有必要先來捋一捋經典力學描述流體的方式。
流體的基本方程本質上是質量、動量和能量守恒方程，而N-S方程只是在宏觀上基于連續介質假定，利用偏微分方程描述粘性流體流動的運動方程，僅僅是流體基本方程的一種表達方式。而N-S方程反映的就是牛二定律F=ma。我們先來回顧一下用歐拉法描述的N-S方程的推導過程：
除了上述的動量方程之外，我們同樣可以推導微分形式的質量和能量守恒方程，此處不再贅述。而反觀另外一種描述流體運動的玻爾茲曼方程，則會看到一種完全不同的奧妙。
1859年，麥克斯韋發現在宏觀系統中追蹤每個分子的運動軌跡難以實現，于是產生了統計平均的概念。麥克斯韋認為，任意時刻單個分子的速度和位置信息并不重要，分布函數才是描述分子效應的重要參數。速度分布函數給出了在某一給定時間，速度在一定范圍內的分子在整個系統中所占的百分比。
展開 
CFD理論|基本方程（3）
N-S方程的變形
（4）蘭姆一葛羅米柯方程當討論有旋性，常將速度的隨體導數分解，將其中旋量分離：
N-S方程就可以改寫為：
（5）非慣性系中相對運動方程
絕對速度=相對速度+牽連速度
絕對加速度=相對加速度+牽連加速度+科式加速度
其中：
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基于CFD理論的戰略大飛機的氣動特性數值模擬
1
理論依據
在對戰略大飛機進行CFD數值模擬的過程中，空氣流場的湍流模型采用標準的k-ε方程，流體力學控制理論則采用3維N-S方程。
湍流模型的標準k-ε方程[20]為：
控制理論的3維N-S方程為[21]：
其中：ρ是流體密度；k是湍動能；t是時間；ui是時均速度；μ是流體動力粘度；μt是湍動粘度；σk是與湍動能k對應的Prandtl數；Gk是由于平均速度梯度引起的湍動能k的產生項；Gb是由于浮力引起的湍動能k的產生項；ε是湍動耗散率；YM是湍流中脈動擴張的貢獻；Sk是用戶定義的源項；σε是與耗散率ε對應的Prandtl數；C1ε、C2ε和C3ε是經驗常數；Sε是用戶定義的源項；u是速度矢量；u、v和w是速度矢量u在x、y和z方向上的分量；p是流體微元體上的壓力；div()是散度；grad()是梯度；Su是動量守恒方程u方向的廣義源項；Sv是動量守恒方程v方向的廣義源項；Sw是動量守恒方程w方向的廣義源項[22]。
2
戰略大飛機概念設計
戰略大飛機的使命任務和發展定位為：1) 在軍用領域，戰略大飛機可作為軍用運輸機、預警機、加油機和預警加油機的飛行平臺；2) 在民用領域，戰略大飛機可成為客機，同“波音-747”和“A-380”平分秋色。
根據飛機設計的使命任務和發展定位，采用CATIA軟件，參照“安-225”“波音-747”和“A-380”等大飛機，筆者設計出戰略大飛機的3維數字樣機如圖1。
展開 CFD理論|大渦模擬
目前只能放棄全尺度范圍上渦的瞬時運動模擬，只將比網格尺度大的湍流運動通過瞬時N-S方程計算出來，小尺度渦對大尺度渦的影響則通過一定的模型在針對大尺度渦的瞬時N-S方程體現出來，這就是大渦模擬方法。
如何實現
實現大渦模型，有兩個重要環節：
首先是建立數學濾波模型，從湍流瞬時運動方程中將尺度比濾波函數的尺度小的渦過濾掉，從而分解出描寫大渦流的方程。
其次就是考慮被濾掉的小渦對大渦的影響，則通過大渦流場的運動方程中引入附加應力項來體現，被稱為亞格子尺度應力。這個數學模型稱為亞格子尺度模型（SubGrid-Scale model，SGS模型）。
數學模型
（1）大渦運動方程在LES方法中，通過濾波函數，每個變量都被分為兩部分：
大尺度的平均分量 -這部分是濾波后的變量，是模擬中直接計算的部分；
不尺度變量-需要通過模型來表示。
這里的是濾波后的變量，它不是時間域上的平均，而是在空間域上的平均，
可以通過下式得到：
式中D為流動區域；x為空間坐標；為濾波函數，決定了所求解的渦的尺度。
通過濾波函數處理瞬時狀態的N-S方程及連續方程：
上面兩個式子就似乎LES方法中所使用的控制方程組，帶有上劃線的量為濾波后的場變量， 為亞格子尺度應力（subgrid-scale streese,SGS應力）：
該力體現了小尺度渦運動對所求運動方程的影響。
（2）亞格子尺度模型
SGS應力是為未知量，必須用相關物理量構造SGS應力的數學表達式，即亞格子尺度模型。
SGS應力的求解是LES模擬中的關鍵問題，最早的SGS模型是由Smagorinsky[1]提出，假定SGS應力具有下列形式：
假定SGS應力具有下列形式：
為湍動粘度，具體求解這里不作展開。
[1] J.
展開 FloEFD熱仿真分析之求解監控
FloEFD熱仿真分析之求解監控
CAE白堤
軟件通過迭代求解非穩態 Navier-Stokes 方程得到解。納維-斯托克斯方程（Navier-Stokes equation）描述粘性不可壓縮流體動量守恒的運動方程，簡稱N-S方程。N-S方程反映了粘性流體（又稱真實流體）流動的基本力學規律，在流體力學中有十分重要的意義。它是一個非線性偏微分方程，求解非常困難和復雜，在求解思路或技術沒有進一步發展和突破前只有在某些十分簡單的流動問題上能求得精確解；但在有些情況下，可以簡化方程而得到近似解。例如當雷諾數Re<1時，繞流物體邊界層外，粘性力遠小于慣性力，方程中粘性項可以忽略，N-S方程簡化為理想流動中的歐拉方程；而在邊界層內，N-S方程又可簡化為邊界層方程。在計算機問世和迅速發展以后，N-S方程的數值求解才有了很大的發展。
如果分析的是非穩態（隨時間變化的）問題，迭代周期就是時間步長，此步長對于計算域中的任何一處都是相同的。如果分析的是不隨時間變化的問題，即穩態分析，則每步迭代的時間步長在計算域的不同區域中是不同的，所以迭代與時間步長沒有關系。
計算控制選項
通過計算控制選項，可以實現指定計算終止的條件、在計算過程中細化計算網格、求解參數、在計算過程中保存結果和備份文件。
完成選項卡
使用完成計算選項卡可以指定完成計算的條件，軟件根據定義的標準去判斷是否完成計算。
結束條件：
停止標準：可選擇滿足一項或全部滿足。
目標收斂：默認選中，則目標收斂才結束計算；不選中，使用軟件內部收斂標準完成計算。
物理時間：僅瞬態分析，選中，達到指定的物理時間就停止。
迭代次數：選中，達到指定的迭代次數，計算結束。
行程：與迭代一起使用，是表示計算過程的單位，是指流動干擾通過計算域流體區域所需的計算時段。
展開 海浪模擬 （FESIM有限元分析）
3.1 流體力學建模
此建模方法通過求解N-S方程組得到流體質點在各個時刻的狀態來生成海浪,而不是直接模擬海浪的運動,這類方法可以稱之為基于物理的方法。Kass等人通過簡化二維淺水波方程組來模擬不同深度的波浪,將水表面看成高度場,將水體分成一個個水柱,假定水柱本身沒有垂直的速度,只有水平的速度且速度恒定,設置初始條件時只要設置一部分水柱的高度與周圍水柱的高度不一樣,通過N-S方程會自動產生波浪,真實的表現了流體的運動效果,此類方法常用于模擬淺水波而不能模擬碎浪。陳前華采用數值迭代方法求解二維的N-S方程。徐迎慶等通過求解水力學方程組直接得到流水的形態,提出了一個基于物理模型的模擬流水和波浪的計算機動畫方法,通過調整方程的初始條件,可以比較真實地模擬水流及波浪的不同形態。Foster等則直接利用數值方法求解三維流場從而更加真實全面地模擬了流體運動。Geof-freyIrving[11]則沒有用傳統的高度場的方法,而采用三維N-S方程自由表面解來模擬整個水體頂層表面。Mihalef[12]也從N-S方程出發提出了一類切片法,先構建一個二維垂直碎浪切片庫,之后而從這個波浪庫中選出垂直方向的二維切片來構建破碎波浪的三維波形。
這類方法的效果比較真實,適用范圍較為廣泛。但是該方法的求解過程非常復雜,計算量往往很大,效率較低,在普通計算機上生成一幅圖像需要很長的時間,不適用于實時的海浪生成。
3.2 基于海浪譜的建模方法
基于海浪譜的建模方法就是將隨機海浪的特征抽象為隨機過程的數學模型,即將隨機海浪模型抽象為眾多隨機成分之和,此和中的成分都是簡單的波形函數,且波形函數中的各項參數可利用海浪譜得到。此方法是由海洋學家Neummn和Pier-son等人在20世紀40年代提出的。
展開 哈根-泊肅葉流動
作為CFD人，我們都知道N-S方程，但是N-S方程的求解通常是非常困難的，只有在少數的情況下才能求得解析解。本節我們要討論的哈根-泊肅葉流動正是這為數不多中的一個。
01—
哈根-泊肅葉流動
所謂泊肅葉流動是指無限長直圓管上的層性流動。當雷諾數小于2000時，等截面直圓管中的液體流動是層流。
為簡便期間，我們首先給出用柱坐標表示的N-S方程，如下：
連續方程為：
將x軸選在管軸上，令y表示由管軸向外度量的徑向坐標。周向和徑向的速度分量都為零，平行于管軸的速度分量記為u，它僅依賴于y。同時在每個橫截面上壓力為常數。這樣在用柱坐標表示的N-S方程中，只留下一個軸向方程，它簡化為：
其邊界條件是：在y=R處，u=0。所以速度分布為：
其中
是常數，稱為壓力梯度，并看做是給定的。橫截面上的速度按旋轉拋物面的形式分布。
展開 大道至簡的LBM算法
LBM方法簡介
不同于傳統CFD方法是基于連續流體介質的假設，通過N-S方程描述流體的運動。PowerFLOW采用的LBM（格子玻爾茲曼）方法則在一個更基礎的動力學層面，用離散的波爾茲曼方程模擬流體。用這種辦法模擬流體有非常多的優點。首先，使用動力學描述，物理模型更簡單，比N-S方程應用的范圍也更普遍。理論上講，N-S方程是波爾茲曼方程在特定的時間和空間尺度下的一種近似。物理模型更簡單的原因是它僅用捕捉粒子或者粒子微團的動力學行為，而不必艱難地求解大規模非線性偏微分方程。
相對于傳統CFD工具從宏觀尺度出發，另外一個視角則是從微觀著手來研究流體。流體的本質是大量分子運動的集合，但若要完整地重現微觀粒子所有的動力學行為，其計算量非常巨大，以當今的計算機水平基本無法進行工程化應用。通過求解空間中粒子微團的速度分布函數來描述宏觀運動的方法則具備更好的實用性，LBM就是這種介于宏觀和微觀之間的介觀尺度的方法。
求解的基本思路
不同于傳統的歐拉方法，LBM是典型的拉格朗日方法，即在時域上追蹤粒子微團的運動。通過下面的示意圖，我們一起來看一下在實際求解過程中，粒子微團在兩個時間步之間都干了啥。在Timestep 1，我們已知了每個粒子微團的速度和方向，一個時間步之后，這些粒子微團會按照已知的速度和方向運動到下一個節點。
可是，如果兩個粒子同時到達同一個節點怎么辦呢，比如Timestep 1a所示的情況；畢竟一山不容二虎，只能碰撞了。根據動力學理論，碰撞之后的粒子必然會朝著某個平衡的狀態去運動，這個平衡態就是我們的麥克斯韋-玻爾茲曼方程，即描述了平衡態的速度分布狀態。
可是碰撞之后的粒子不會直接到達平衡態，需要經過一段時間。
展開 
什么是自然對流Boussinesq假設？
自然對流主要由于密度受熱變化產生密度差造成，該現象可用如下的可壓縮N-S方程描述。
一方面可以看到該方程是高度非線性的，這種特性會造成求解變得不穩定；另一方面可以看到該方程需要求解的變量非常多，包括速度場u、v、w，壓力場p，密度場ρ等，內存需求比較大。
Boussinesq假設即為解決上述問題而產生，當然既然是假設，自然有一些適用前提，Boussinesq假設氣體密度變化非常小。
Boussinesq假設在方程中如何表現
好吧，下面講述一些枯燥的理論，即Boussinesq假設如何在方程中表現。主要分為以下幾步：
1.把氣體密度ρ寫成參考密度項ρ0與由于溫度引起的密度變化項△ρ之和。
根據假設，其中△ρ遠小于ρ0。
2.把方程（3）代入上述N-S方程（1）、（2），并得到如下方程。
自然對流中浮力是驅動力，因此動量方程（5）中的浮力項也是占主導作用，且密度變化△ρ遠小于參考密度ρ0,因此對于瞬態項、對流項可以忽略△ρ，即
最終簡化為
可以看到此時瞬態項、對流項的密度已被消去，只剩下浮力項還帶有密度，我們的目標是把浮力項中的密度也消去，這樣方程的非線性、內存需求都會降低。
3.浮力項密度可以用溫度代替嗎？帶著這樣一個疑問，在消去浮力項密度之前，首先定義一個名詞：熱膨脹系數β。
熱膨脹系數即為在定壓力下，密度隨溫度變化的相對變化率，可用氣體運動熱力學理論解釋，如圖所示，在箱體未加熱時，上層活動板在大氣壓力下保持平衡，當箱體加熱時，氣體運動加劇，氣體溫度上升，箱體體積膨脹，活動板上升，密度降低，該現象可用熱膨脹系數表征箱體膨脹程度的大小。
展開 說說納維爾-斯托克斯方程(Navier-Stokes Equations)
Navier-Stokes的背景知識
簡介
NS方程，全稱：納維－斯托克斯(Navier-Stokes)方程
，2000年5月24日，美國克萊數學研究所的科學顧問委員會把NS方程列為七個“千禧難題”（又稱世界七大數學難題）之一，這七道問題被研究所認為是“重要的經典問題，經許多年仍未解決。”克萊數學研究所的董事會決定建立七百萬美元的大獎基金，每個“千年大獎問題”的解決都可獲得百萬美元的獎勵。另外六個“千年大獎問題”分別是：
NP完全問題， 霍奇猜想（Hodge），黎曼假設（Riemann），楊－米爾斯理論（Yang-Mills），龐加萊猜想和BSD猜想（Birch
and Swinnerton-Dyer）。
NS方程的存在性與光滑性
起伏的波浪跟隨著我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的氣流跟隨著我們的現代噴氣式飛機的飛行。數學家和物理學家深信，無論是微風還是湍流，都可以通過理解NS方程的解，來對它們進行解釋和預言。雖然這些方程是19世紀寫下的，我們對它們的理解仍然極少。挑戰在于對數學理論作出實質性的進展，使我們能解開隱藏在NS方程中的奧秘。
深度描述
描述粘性不可壓縮流體動量守恒的運動方程。簡稱N-S方程。因1821年由C.-L.-M.-H.納維和1845年由G.G.斯托克斯分別導出而得名。在直角坐標系中，其矢量形式為＝－Ñp＋ρF＋μΔv，式中ρ為流體密度，p為壓強，u（u，v，w）為速度矢量，F（X，Y，Z）為作用于單位質量流體的徹體力，Ñ為哈密頓算子
，Δ為拉普拉斯算子。后人在此基礎上又導出適用于可壓縮流體的N-S方程。N-S方程反映了粘性流體（又稱真實流體）流動的基本力學規律，在流體力學中有十分重要的意義。
展開 黑神話悟空中的流體力學
如果在工業仿真軟件里模擬它會用VOF兩相流模型，將人和金箍棒的擾動作為邊界條件輸入，求解水和空氣的N-S方程。過程中要考慮水和空氣的接觸角、各自的密度、粘性等等。最后得到水氣交界面隨時間的變化，也就是產生的浪花。
帥臣：對，但是在游戲中，遠沒有這么復雜。最簡單的處理方式是不考慮物理規律，做成水波動的動畫直接插入。但現在高級的物理引擎，比如黑悟空用的虛幻5的chaos引擎，可能就用到了流體模擬。基于N-S方程做一些簡化：比如忽略水氣間相互作用、忽略粘性項、把3維簡化為2維計算等。
這個波紋細看，會覺得很長，且不會傳到遠處，和實際會有差別，當然也不排除它此處用的就是沒有解流體方程直接畫的動畫，但也可能是游戲引擎中對流體方程簡化的結果。
朦朦：還有天命人站在草地上揮舞金箍棒。如果從工程角度研究，用工業軟件算，要考慮金箍棒直徑、長度、離地高度、揮舞速度、周圍空氣密度。然后模擬金箍棒會對地面附近產生多大的擾動，同時這個擾動會讓地上的草產生多大的形變。這一套操作是足夠嚴謹，但可能要計算個幾小時。
帥臣：也就是你揮一下棒，幾小時后，唉，草動了。那肯定不行哈，游戲中只需要根據金箍棒的移動方向，給地上植物一個方向一致的均勻力，讓植物在這個力的作用下變形就行了。至于這個力有多大，應不應該均勻分布，不重要。游戲中的物理現象不需要多精確，快而流暢就好了。
朦朦：還有第二關打虎先鋒，帥臣你前幾天發了個視頻，打的過程中你說到血池是非牛頓流體的事，彈幕很驚訝你的關注點哈。
帥臣：對，這可能是職業病吧，看到游戲中有關流動的現象就會很自然地聯想到這種現象是如何產生的，因為人體內的血液是比較典型的剪切稀化流體，而虎先鋒的血池內的血液是在體外的，可能會凝固，力學性質就復雜了。
展開 淺談對FLUENT的認識
fluent由于其商用性，它的思想就是自己做的很通用， 而很少給用戶接口，特別在一些核心問題上我們實驗室如果真的做論文，就用一個fortran的大程序，是一個博士編的專門求解對稱的可壓縮n-s方程的看懂了，做一個網格，改改邊界條件就能算了，如果需要做相應改動，可以直接該源程序一般，作為研究，重點在研究的物理性質，計算方法，流場結構等所以，不會象做項目那樣，物理問題很簡單，但是條件，邊界很復雜，因此，做研究的程序，一般都在內部的計算方法，物理模型上下功夫而做項目，一般對方關心的是一個結果，而不是具體流場的結構性質。所以，用fluent是非常方便的，比如模擬高速可壓縮流場n－s方程和歐拉方程模擬的力，力矩的結果，幾乎沒有差別。
個人觀點，僅供參考。自網上轉載而來。
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