二分法
關注創建者：320科技工作室 創建時間：2020-06-21
二分法的實例教程
摘要: 先確定二分法的上下兩個端點值,這個在figure的subplot(121)中確定。
然后進行循環求解。
方程是：
diff(s,2)+2*diff(s,1)=m*s*exp(-n*r)+h*s,
where diff is a difference for r.
邊界條件:
r=0,ds/dr=0
r=R,s=5
程序：
% 二分法+打靶法解微分方程
% 方程:
% diff(s,2)+2*diff(s,1)=m*s*exp(-n*r)+h*s,
% where diff is a difference for r.
% 邊界條件:
%
% r=0,ds/dr=0
% r=R,s=5
clc;clear;close all;
m=1;
n=1;
% \copyright: zjliu
% Author's email: zjliu2001@163.com
h=1;
R=5;
fun=inline('[s(2);m*s(1)*exp(-n*r)+h*s(1)-2*s(2)/r]',...
展開 思路一：二分法
具備基礎高等數學的都知道這個方法。二分法是最基礎的數值迭代方法，通過不斷試錯二分迭代，逼近結果。
應用到我們這個問題上，就是預設一個大的水滴撞擊范圍，發射兩條水滴，然后根據撞擊結果，不斷調整發射區間直至我們設定的誤差范圍。下面這個圖就是基于該思路求解整個壁面撞擊上限水滴逼近結果。
二分法的優點就是精度高，缺點就是效率低，每個單元逐個求解過來，總共可能要計算數百條軌跡。
思路二：粗略估算法
還有個思路更簡單的辦法，就是一次計算一定水量的水滴數（比如200條），然后看每個單元打中幾條，通過比例粗略計算水滴收集量。
這個方法程序設計比較簡單，但是效率低，精度差。在實際計算時候，有大量區域沒有撞擊到水滴，水滴撞擊個數在翼面的分布呈現極大的不連續性，因此即便是按比例插值，事先還是要做濾波處理，幾次插值下來，精度根本就保證不了了。
思路三：高效高精度插值法
說到這，大家也都看出來了，水滴收集量的計算想做的漂亮，就是要同時保證計算精度和效率。那么搞出一個高精度高效率的插值方法，將變得非常關鍵。
上海交大搞了一種所謂兩級插值法，說白了，一級插值是在遠場計算少量水滴，離壁面近了以后，認為還有一個水滴和當前水滴距離比較近，通過徑向基函數插值出其遠場軌跡，在正常計算其撞擊壁面的過程。第二級插值，還是我上面說的，根據撞擊個數插值收集量，只不過還是用所謂徑向基函數。這個方法呢，怎么說呢，比較繞，寫論文會比較好看。
一般來說，我個人的研究品味還是傾向于有樸素設計思想的方法，簡單直接，又意想不到。
展開 值得說明的是，當采用自動時間步長后，二分法會被自動激活。如果在一個太大時間步內收斂失敗，該特性能減半時間步，使得計算繼續。
二、Newton-Raphson 選項調整與自適應下降
在非線性計算收斂困難時，可以調整程序默認的牛頓—拉普森選項。雖然一般情況下采用采用自動默認的選項會獲得最佳的收斂特性，但也不排除會遇到其他選擇會更有效的情況。合理使用自適應下降因子也能增加某些非線性單元的收斂情況。
三、線性搜索
線性搜索可以看為是對自適應下降的一個替代，兩者不應同時使用。線性搜索一般情況下能使得分析得到收斂，但隨之帶來的是求解速度的大幅度降低，特別是針對有材料非線性的情況，一般而言，當結構采用力加載或者剛度增長的薄膜等類似分析時，可以打開線性搜索，線性搜索打開命令為LNSRCH。
四、調整收斂準則
ANSYS非線性收斂準則主要有四種，分別為力、位移、彎矩和轉角。在常用的分析中，以力作為控制加載時，可以使用殘余力的范數控制收斂；而在位移控制加載時，一般采用位移的范數控制收斂。比較常見的ANSYS非線性計算畫面如下：
FCRIT 代表的是力收斂準則；F L2是當前迭代力的收斂情況；U是位移，CRIT是收斂準則，L2是當前迭代位移收斂情況。可以通過CNVTOL命令來放寬收斂準則，程序默認收斂值為0.1%,一般情況下可根據實際工程修改，例如在對鋼筋混凝土的非線性分析中，一般可放寬至5%.
五、增加迭代次數、加大荷載子步
ANSYS默認在每一荷載步計算中，最大的平衡迭代次數為25，如果在這平衡迭代次數之內不滿足收斂準則，而且自動步長是打開的，程序將使用二分法繼續計算，如果不是，將會終止分析過程，因此在實際計算中，如果發現收斂較為困難，可以適當增加平衡迭代次數的限值，以及加大荷載子步的數目。
展開 我......現如今使用的人確實很少，若不是自己對二次開發感興趣，我也不會去觸碰它~
本文先向大家簡單介紹一個二分法的fortran程序，然后推薦大家使用一些輕便的編譯器，最后推薦一下學習的書籍、論壇。
Fortran程序分為自由格式與固定格式，固定格式太太太難看了，閱讀起來也很費力，但大多數遺留下來的有限元程序是按照固定格式來編譯的（木得辦法），自由格式閱讀起來就比較友好了，接下來就用自由格式來編寫一個二分法程序，固定格式相關的將會在以后的推文中涉及。程序在文末！
本程序采用Module將代碼塊進行封裝，程序中用到的變量、function、subroutine，整理到Module中，用的時候只需要Use一下就可，如行48。程序中一些語法、注意的細節將會在以后專門設立一個Fortran的欄目中進行講解。
木木最開始用的編譯器是VS+IVF，后來發現VS占用系統資源很多，卸載也很麻煩，用起來不順手，現在我用的是Simply Fortran編譯器，小巧輕便（100M左右），很很很好用，Simply Fortran安裝包及簡單的說明手冊在文末獲取。界面大致長這個樣子：
B站有的教學視頻也用的是這個編譯器，大家有興趣可以看一下。還有一個有意思的在線編譯FORTRAN網站：http://fortran.jsrun.net/ 。界面大致長介個樣子：
接下來就是推薦書籍和論壇了。書籍毫無疑問當然是臺灣大學彭國倫先生的《Fortran 95 程序設計》，書里面有自由格式的程序，也有對應固定格式的程序，雙管齊下，大家有興趣可以點擊了解一下。
展開 6.3.1 二分法的分析
6.3.2 收斂準則
6.3.3 二分法的一般實現
6.4 牛頓法
6.4.1 牛頓法的收斂性
6.4.2 牛頓法的一般實現
6.5 割線法
6.6 混合法
6.7 多項式的根
6.8 小結
習題
第7章 線性代數回顧
7.1 向量
7.1.1 向量操作
7.1.2 向量的范數
7.1.3 正交向量
7.2 矩陣
7.2.1 矩陣中的每行和每列都是向量
7.2.2 對矩陣進行的操作
7.2.3 矩陣運算和向量運算的操作次數
7.2.4 矩陣的范數
7.3 向量和矩陣的數學性質
7.3.1 線性無關性
7.3.2 向量空間
7.3.3 與矩陣相關的子空間
7.3.4 矩陣的秩
7.3.5 矩陣的行列式
7.4 特殊矩陣
7.4.1 對角矩陣
7.4.2 單位矩陣
7.4.3 矩陣的逆
7.4.4 對稱矩陣
7.4.5 三對角矩陣
7.4.6 正定矩陣
7.4.7 正交矩陣
7.4.8 置換矩陣
7.5 小結
習題
第8章 解方程組
第9章 數據的最小二乘曲線擬合
第10章 插值
第11章 數值積分
第12章 常微分方程的數值積分
附錄A 特征值和特征方程組
附錄B 稀疏矩陣
參考文獻
MATLAB工具箱函數
NMM工具箱m文件函數列表
索引
展開 
二分法的最新內容
盡管沒有解析解，但對于特定的一元五次方程，例如下面這個：
我們通過數值方法，比如二分法，還是可以“湊”出來幾個近似解。這些解，就是數值解。
你沒看錯，有兩個解是約等于，不是等于。
那我問你了：
這兩個解準確嗎？
理論上來說不準。
能用嗎？
大部分情況下能用。
解析解是理想，數值解是現實，理想往往只能無限接近而無法到達。雖然不完美，但日子總要過下去。
不幸的是，經過多次迭代和二分法之后，第二次嘗試也未能收斂。錯誤消息再次為“內部解的大小限制被超過”，這表明存在剛體運動。但是，如果接觸間隙已經消除了，為什么還會發生剛體運動呢？當在一個步驟中對接觸界面施加過多載荷時，有時就會發生這種情況，這會導致接觸表面分離或過度穿透。在這種情況下，所有載荷都是在一個步驟中施加的。此外，板簧是一種非常柔性的結構。
F(r)形式較復雜，很難求得準確的解析解，因此可用Newton-Rapson迭代法求出數值解，鑒于Newton-Rapson迭代法對初值的要求較高，可先采用二分法大致確定初值范圍后再進行迭代計算，迭代方程如下：
式中：rk+1為第k+1個參數r;rk為第k個參數r;F(rk)為關于rk的函數；F'(rk)為關于rk的函數的導函數。
tabular-pt-sat格式(Tabular Format):表格法使用二分法和局部線性插值來找到表格量的值。
本質ANSYS APDL迭代的過程中沒有采取什么二分法啥的，就是從2開始，到最大數-1的遍歷。
下圖為數組中的數字，因為1不為質數，數組里直接排除。
下面為APDL 經典語句運行后質數形成的數組
只是目前數組行數和前面數組一行多，無質數的由0填充。
共計273個質數。
水平平面對應的目標值 t 取決于體積約束，如果當前迭代步的實體材料過多則增加 t 的數值使水平面向上移動，反之則降低 t 的數值使水平面向下移動，t 在每一步迭代步中的具體數值可以通過二分法等方式計算得到。與 SIMP 方法中的密度類似，MIST 方法定義了一種體積權重值來描述材料種類，體積權重為 1 表示實體材料，提及權重為 0 表示孔洞材料。
經多次調整后（用二分法）得到預設值。
6. 輪跳仿真：根據設計時輪胎的最大壓縮量輸入仿真條件
7.
若μ-μtarget<-0.005，則第二次R=4進行計算，得到新的μ值，若μ-μtarget>0.005，則第三次R=(2+4)/2=3進行計算，也即使用二分法不斷尋找R值，使得計算得到的μ為目標延性系數。
我......現如今使用的人確實很少，若不是自己對二次開發感興趣，我也不會去觸碰它~
本文先向大家簡單介紹一個二分法的fortran程序，然后推薦大家使用一些輕便的編譯器，最后推薦一下學習的書籍、論壇。
可以簡單理解為二分法逐次進行輸入電壓與參考電壓的比較。首次與VREF/2比較，下次比較根據上次比較結果決定，如果MSB=1則與3/4VREF比較。如果MSB=0則與1/4VREF比較。后面決定與1/8VREF、3/8VREF、5/8VREF、 7/8VREF之一做比較。循環直到輸出LSB為止。
