差分法
關(guān)注創(chuàng)建者：一騎絕塵 創(chuàng)建時間：2019-10-07
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CAE的技術(shù)種類有很多，其中包括有限元法(FEM),邊界元法(BEM)，有限差分法(FDM)等。每一種方法各有其應(yīng)用的領(lǐng)域，而其中有限元法應(yīng)用的領(lǐng)域越來越廣，現(xiàn)已應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)、結(jié)構(gòu)動力學(xué)、熱力學(xué)、流體力學(xué)、電路學(xué)、電磁學(xué)等。
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CAE的技術(shù)種類有很多，其中包括有限元法(FEM),邊界元法(BEM)，有限差分法(FDM)等。每一種方法各有其應(yīng)用的領(lǐng)域，而其中有限元法應(yīng)用的領(lǐng)域越來越廣，現(xiàn)已應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)、結(jié)構(gòu)動力學(xué)、熱力學(xué)、流體力學(xué)、電路學(xué)、電磁學(xué)等。
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差分法的實例教程
作者Cadence CFD 解決方案
關(guān)鍵要點
當(dāng)前向時間步的輸出表達式依賴于自身時，隱式有限差分法用于求解問題。
隱式有限差分方程中會有不止一個未知數(shù)。
隱式有限差分法一般用于求解對時間步長沒有限制的問題。
采用數(shù)值方法求解偏微分方程
為了求解偏微分方程，通常采用數(shù)值方法?；趥巫V (PS)、有限元 (FM) 和有限差分 (FD) 等差分技術(shù)的數(shù)值方法用于解決熱傳導(dǎo)問題、流體流動問題和擴散問題。有限差分法可以是顯式的或隱式的，具體取決于為給定系統(tǒng)開發(fā)的方程式類型。在隱式有限差分法中，不需要隨意遞歸計算，因為函數(shù)依賴于自身。
讓我們進一步了解隱式有限差分法。
求解偏微分方程的解析方法
過程或系統(tǒng)的數(shù)值模型在工程和科學(xué)中使用偏微分方程表示。求解基于偏微分方程的數(shù)學(xué)模型以獲得問題解。求解問題的解析方法僅適用于系統(tǒng)具有簡單邊界的偏微分方程。然而，大多數(shù)實際問題都涉及復(fù)雜的邊界條件或不規(guī)則邊界。在建模為困難邊值問題的系統(tǒng)中，分析方法不起作用。對于此類復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型，解決問題涉及使用數(shù)值方法。
有限差分法
差分技術(shù)包括偽譜 (PS)、有限元 (FM)和有限差分 (FD) 方法。在這些數(shù)值方法中，有限差分法非常重要，因為它需要最少的內(nèi)存和計算時間。此外，與其他數(shù)值技術(shù)相比，它涉及簡單的實現(xiàn)，復(fù)雜性較低。
除了傳統(tǒng)的有限差分法外，還有多種變體可供使用。開發(fā)了各種有限差分變體，旨在提高有限差分法在數(shù)值建模中的準(zhǔn)確性、效率和穩(wěn)定性。
有限差分法變體
當(dāng)使用解析方法求解偏微分方程時，解是表達問題域中因變量變化的封閉形式表達式。然而，基于有限差分法的解決方案給出了域中離散點處的變量值。離散點通常稱為網(wǎng)格點。
展開 要點
有限差分法是一種近似方法，用于解決涉及偏微分方程的各種問題。
有限差分法將偏微分方程轉(zhuǎn)換為一組線性方程，并使用矩陣求逆來求解它們。
使用有限差分法獲得泊松方程的解，將具有無限自由度的連續(xù)場問題替換為有限正則模態(tài)的離散場。
最實用、最常用的偏微分方程是泊松方程
在工程領(lǐng)域，工程師必須應(yīng)對各種物理情況。大多數(shù)情況都可以使用數(shù)學(xué)方程來描述。泊松方程就是這樣的方程之一，它控制擴散、引力和靜電等物理情況。泊松方程可以使用各種數(shù)值方法求解。使用有限差分法(FDM)獲得泊松方程的解很受工程師歡迎。在本文中，我們將進一步探討泊松方程和有限差分法。
工程中的泊松方程
在工程中，物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)建模很常見。大多數(shù)物理現(xiàn)象（當(dāng)進行數(shù)學(xué)建模時）都會形成偏微分方程 (PDE)。最實用且最常用的偏微分方程是泊松方程。
泊松方程是一個橢圓偏微分方程，它控制著電磁、靜電、引力和擴散問題等的數(shù)學(xué)建模。有限差分法是一種近似方法，用于解決涉及偏微分方程的各種問題。問題可以是與時間無關(guān)的、與時間相關(guān)的、線性的或非線性的。
有限差分法適用于求解狄利克雷、諾伊曼等不同邊界條件的問題，適用于不同邊界形狀或由不同材料組成的區(qū)域的問題域。
讓我們看幾個物理情況的例子，其中數(shù)學(xué)模型導(dǎo)出泊松方程。
用泊松方程表示的物理現(xiàn)象的例子
擴散方程 -在擴散問題中，通量以化學(xué)溶質(zhì)的量和擴散率 (k) 表示。穩(wěn)態(tài)擴散可以用泊松方程的形式描述如下，其中S(x)是溶質(zhì)源：
熱擴散方程 -熱擴散方程用可能的熱源和熱擴散系數(shù)來表示。
展開 FDTD講義（時域有限差分法）3.rar
FDTD講義（時域有限差分法）1.rar
FDTD講義（時域有限差分法）2.rar
1 有限差分方法(FDM)是計算機數(shù)值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將求解域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個網(wǎng)格節(jié)點代替連續(xù)的求解域。有限差分法以Taylor級數(shù)展開等方法，把控制方程中的導(dǎo)數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點上的函數(shù)值的差商代替進行離散，從而建立以網(wǎng)格節(jié)點上的值為未知數(shù)的代數(shù)方程組。該方法是一種直接將微分問題變?yōu)榇鷶?shù)問題的近似數(shù)值解法，數(shù)學(xué)概念直觀，表達簡單，是發(fā)展較早且比較成熟的數(shù)值方法。對于有限差分格式，從格式的精度來劃分，有一階格式、二階格式和高階格式。從差分的空間形式來考慮，可分為中心格式和逆風(fēng)格式。考慮時間因子的影響，差分格式還可以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。目前常見的差分格式，主要是上述幾種形式的組合，不同的組合構(gòu)成不同的差分格式。差分方法主要適用于有結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，網(wǎng)格的步長一般根據(jù)實際地形的情況和柯朗穩(wěn)定條件來決定。
構(gòu)造差分的方法有多種形式，目前主要采用的是泰勒級數(shù)展開方法。其基本的差分表達式主要有三種形式：一階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計算精度，后兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式。
2 有限元方法的基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法，其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內(nèi)，選擇一些合適的節(jié)點作為求解函數(shù)的插值點，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達式，借助于變分原理或加權(quán)余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)形式，便構(gòu)成不同的有限元方法?！?/span>
展開 有限差分方法(Finite Difference Method)
有限差分法是計算機數(shù)值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將求解域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個網(wǎng)格節(jié)點代替連續(xù)的求解域。它以Taylor級數(shù)展開等方法，把控制方程中的導(dǎo)數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點上的函數(shù)值的差商代替進行離散，從而建立以網(wǎng)格節(jié)點上的值為未知數(shù)的代數(shù)方程組。這是一種直接將微分問題變?yōu)榇鷶?shù)問題的近似數(shù)值解法，數(shù)學(xué)概念直觀，表達簡單，是發(fā)展較早且比較成熟的數(shù)值方法。
構(gòu)造差分的方法有多種形式，目前主要采用的是泰勒級數(shù)展開方法。其基本的差分表達式主要有三種形式：一階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計算精度，后兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式。
有限元方法(Finite Element Method)
有限元法的基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法，其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內(nèi)，選擇一些合適的節(jié)點作為求解函數(shù)的插值點，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達式，借助于變分原理或加權(quán)余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)形式，便構(gòu)成不同的有限元方法。有限元方法最早應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)，后來隨著計算機的發(fā)展慢慢用于流體力學(xué)的數(shù)值模擬。
在有限元方法中，把計算域離散剖分為有限個互不重疊且相互連接的單元，在每個單元內(nèi)選擇基函數(shù)，用單元基函數(shù)的線形組合來逼近單元中的真解，整個計算域上總體的基函數(shù)可以看為由每個單元基函數(shù)組成的，則整個計算域內(nèi)的解可以看作是由所有單元上的近似解構(gòu)成。常見的有限元計算方法是由變分法和加權(quán)余量法發(fā)展而來的里茲法和伽遼金法、最小二乘法等。
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差分法的最新內(nèi)容
關(guān)鍵詞：斯格明子；SPP波；光學(xué)斯格明子；相位調(diào)控
本工作基于表面等離激元（SPP）場，設(shè)計六邊形金屬狹縫結(jié)構(gòu)實現(xiàn)光學(xué)斯格明子的動態(tài)調(diào)控，通過時域有限差分法（FDTD）仿真，驗證入射光相位調(diào)控可精準(zhǔn)改變光學(xué)斯格明子的形貌與位置，為拓撲光學(xué)結(jié)構(gòu)的可控構(gòu)建提供仿真依據(jù)。
仿真方法
采用三維有限差分光束傳輸法對MWS和PLC模式（解）復(fù)用器進行了數(shù)值模擬。在ANSYS Lumerical FDE求解器中計算MWS-FMF和SSC-PLC的重疊耦合損耗。利用三維時域有限差分法（3D-FDTD）計算了SSC與石英單模波導(dǎo)之間的總耦合損耗。
仿真驗證：3D-FDTD技術(shù)與性能評估
（一）仿真工具與參數(shù)設(shè)置
研究采用三維時域有限差分法（3D-FDTD）進行仿真驗證，使用Lumerical FDTD分析軟件構(gòu)建模型，關(guān)鍵設(shè)置如下：
波長范圍：1000-1300nm網(wǎng)格精度：全局10nm，敏感區(qū)域（MIM納米環(huán)）細化至2nm（dx=dy=dz=2nm）邊界條件：z軸采用完美匹配層（PML），x、y軸為周期性邊界光源：平面波溫度
仿真驗證：FDTD方法揭示光學(xué)性能
為精準(zhǔn)評估濾波器性能，研究采用時域有限差分法（FDTD）進行仿真，選用Ansys Lumerical FDTD solver。FDTD是求解麥克斯韋方程組的強大工具，能在時間和空間域中精確模擬電磁波與結(jié)構(gòu)化材料的相互作用，其核心是基于Yee算法對麥克斯韋旋度方程進行離散化迭代求解。
我們使用時域有限差分法（FDTD）優(yōu)化了模式轉(zhuǎn)換器和MMI結(jié)構(gòu)（圖2b,c）。模式轉(zhuǎn)換器在z方向上的電場分量Ez如圖2e所示，展示了從波導(dǎo)模式到等離子體模式的有效耦合。當(dāng)LN錐形長為490nm、Au錐形長為980nm時，單個模式轉(zhuǎn)換器在1550nm波長下實現(xiàn)6.4dB插入損耗。因此，有效電極Pad長度約為17μm。圖2f展示了MMI結(jié)構(gòu)的相應(yīng)電場傳輸分布。
偏振分束器的仿真采用三維時域有限差分法（OptiFDTD），工作波長為 1550nm。在三維 OptiFDTD 中，通過有限元法（FEM）求解器進行精確的模式分析，以獲取光源注入的光模式分布（有限元法通用求解器的設(shè)置詳見表 1）。
2、仿真
偏振分束器的仿真采用三維時域有限差分法（OptiFDTD），工作波長為 1550nm。在三維 OptiFDTD 中，通過有限元法（FEM）求解器進行精確的模式分析，以獲取光源注入的光模式分布（有限元法通用求解器的設(shè)置詳見表 1）。
電磁散射（隱身）
矩量法、時域有限差分法
MoM: 稠密矩陣，內(nèi)存和計算密集；FDTD: 高度并行
GPU >> CPU多核
GPU是這些算法的“天作之合”，加速效果極其顯著。
但是，若設(shè)定所有的微分值為0，或是該數(shù)據(jù)留白不輸入，OpticStudio會默認使用有限差分法 (Finite Difference Method) 來計算微分值。
數(shù)據(jù)的紀(jì)錄順序定義如下：
1. 從的面的左上角，也就是Xmin、Ymax開始。
2. 下一個輸入的數(shù)據(jù)是該點的右邊一個值 (就是X方向加一個間隔)。
3. 第一行結(jié)束后，從第二行左邊開頭繼續(xù)。
4.
FDTD中的邊界條件8個月前
前言
在時域有限差分法（FDTD）中，邊界條件在FDTD模擬中起著非常重要的作用，它們是開放建模區(qū)域用于截斷計算域所施加的條件，可以決定電磁波在邊界處的反射、透射和吸收等行為。我們將介紹FDTD模擬中網(wǎng)格截斷的幾種不同邊界條件，包括理想電導(dǎo)體（PEC）、理想磁導(dǎo)體（PMC）、周期邊界條件、bloch邊界條件、一階Mur吸收邊界條件以及PML邊界條件。
