有限元顯示求解
關注創建者：meshmesh 創建時間：2020-04-18
有限元顯示求解的視頻教程
自主結構有限元求解器：算例-殼的模態分析
iSolver為一個完全自主的有限元求解器框架，使用Abaqus/CAE做前后處理，可以快速集成自研有限元算法，幫助客戶實現自研程序的商業化包裝和推廣。 本視頻為iSolver殼的模態分析的演示視頻。 如需了解更多，歡迎觀看下面的視頻： https://www.yqgqt.org.cn/college/video/c12884
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有限元顯示求解的實例教程
做有限元方法的顯示和隱式是對時間積分的兩種算法
隱式方法：
大多數的有限元分析軟件都是采用隱式方法，這種方法收斂速度較快。
cn+1=an+bn
優點是計算量比較小
缺點是有累計誤差
n+1個時間步的量不可以由第n個時間步的量直接求得,稱為隱式 ！
顯式方法：
顯示積分方法一般用在高度非線性有限元分析，如碰撞、爆炸、沖擊等。dyna等軟件一般采用顯示有限元法。這種方法的收斂較慢，為了保證收斂一般要取較短的 時間步長。 關于顯式積分與隱式積分的內容可以看一下《數值分析》中關于橢圓型、拋物線型或雙曲型微分方程的差分方法等內容。
例如:
an+1+bn+1=cn
bn+1+cn+1=an
an+1+cn+1=bn
缺點是計算量比較大,需要通過方程組求解
優點是沒有累計誤差。
用比較通俗的話說: 顯式就是可以直接通過自變量求得因變量的解,自變量和因變量可以分離在等式的兩側;
隱式正好相反,因變量與自變量混和在一起,不能進行分離.
顯式解法里,沒有剛度矩陣的說法。
顯式解法基于牛頓第二定律,F=M*acce,
其中F由上一時步的外載,內力確定;
由acce --> velocity -->disp, 也就可相應求解應力,應變值了.
展開 關鍵詞：熱源，瞬態，熱傳導，有限元求解器，三角形單元，自研
在《瞬態熱傳導有限元求解器開發》一文中，我們介紹了自研的二維瞬態熱傳導求解器。
當時那個控制方程沒有考慮熱源，邊界條件中只涉及溫度、熱流、對流。然而在很多問題中，熱源才是最關鍵的邊界條件，比如電發熱、化學反應生熱。
熱源的處理
熱源是體熱，相對應的熱流是面熱。兩者處理方式類似，都是根據單位熱功率值和幾何尺寸計算熱功率，然后加到控制方程矩陣的右側，承擔類似于結構力學中的“載荷”的功能。
區別在于，熱源是作用在體上的，單位是W/m3，熱流是作用在面上，單位是W/m2。具體到編程上，熱源要分配到單元的三個節點上，熱流要分配到單元某個邊的兩個節點上。
從求解器編程的角度來說，這些邊界條件的處理方式都是固定和通用的。考驗一般出現在實際工程項目中使用自研求解器的時候。
在CAE軟件的開發中，交互端和求解器端永遠要解決的問題是，如何讓所有單元始終知道：
（1）它是誰？（材料參數，幾何參數）；
（2）它在哪？（和其他單元的相對位置）；
（3）它怎么了？（邊界條件）。
以熱源為例，在交互界面上，我們通過視口選擇單元，指定其體熱功率。那么前端數據在生成求解器輸入的時候，就要告知求解器所有單元的編號和其對應的體熱功率。
當求解器拿到單元編號以后，就需要索引或者計算其面積，并根據單元三個節點編號，將功率加到載荷列陣對應的位置。
驗證
設計案例如下，區域外部為20℃空氣，對流換熱系數取5W/(m2K)，時間總長18000s，每步時間間隔60s。
自研求解器得到模型中心最終溫度是84.6℃，與商用軟件結果完全一致。
展開 關鍵詞：瞬態，熱傳導，有限元求解器，三角形單元
熱傳遞有三種方式：熱傳導、熱對流、熱輻射。就熱傳導問題而言，無論是結構力學還是流體力學都會涉及，兩邊都沒拿它當外人。
前面的文章提到過，結構力學的有限元發展地非常成熟，大部分的剛度矩陣在文獻里面都推導好了。而流體力學的很多單元類型的有限元方程，可能需要自行推導完成。在熱傳導問題中，我采用加權余量法進行處理，推導出了符合結構力學有限元文獻中給出的剛度矩陣，殊途同歸。
實際上，傳統的結構力學有限元三大控制方程：幾何方程、物理方程、平衡方程。幾何方程描述位移-應變關系，物理方程描述應力-應變關系，平衡方程描述內應力-外載荷關系。傳熱問題從控制方程角度，更偏向流體力學（能量方程）。但是熱對于結構變形太重要了，因此結構有限元必須要把傳熱問題解決掉。
從結構力學跨到流體力學，在有限元方法中，流體力學控制方程左邊的矩陣都可以用剛度矩陣去看待它。控制方程的右邊的列陣，都可以用載荷的角度去看待，對于第二類邊界條件，則可以分成左側矩陣的修正+右側列陣的載荷組合。有些文獻上，用所謂的“內部單元方程”、“邊界單元方程”的描述，會增加我們的困惑，可以不必糾結在此。
控制方程
二維瞬態熱傳導控制方程如下：
這個方程里面的常數有密度、比熱容、導熱系數。
三種邊界條件：
（1） 已知邊界溫度值，屬于第一類邊界條件，它的處理就和結構有限元里面的位移以一樣，可以用置大數法對方程左邊的矩陣進行約束處理。
（2） 已知邊界熱流密度，屬于第二類邊界條件，作為熱源。可以類比到結構有限元里面的均布載荷。
（2） 已知邊界對流換熱系數和接觸環境溫度，也屬于第二類邊界條件。這個邊界條件在處理的時候，需要進行拆分，一部分放到左側單元矩陣，一部分作為右側的載荷。
展開 我在開發結構力學有限元求解器的時候，都是先去查資料，直接就把單元剛度矩陣拿過來用。
但是到流體這就不能完全這么干，原因是：
（1） 未必能找到直接可用的單元矩陣；
（2） 流體的邊界條件中，有很多第二類邊界條件（壓力、熱流、對流），這些邊界條件有的是放到右側載荷項，需要推導。有的載荷甚至會影響左側單元矩陣，部分放到左邊去修正。結構力學里面大部分情況下，載荷就是在右側，位移就是放到左邊修正剛度矩陣，清晰明確。
所以，開發流體求解器的時候，還是要從有限元的基本方法入手。這里采用加權余量法進行處理。有限元的教材里面講的很多了，這里簡單說一下流程：
（1） 根據單元類型，確定插值函數。此時速度、壓力等變量，都可以用權函數表達。
（2） 采用伽遼金方法，權函數=插值函數，控制方程與權函數相乘，積分取0。
（3） 在每個單元域內，方程轉換為權函數的積分形式，最終形成單元矩陣。
單元方程
最終得到單元的方程形式如下：
類比到結構有限元，左側第一大項，就是剛度矩陣。u、v、p相當于3個自由度，右側就是載荷列陣。
我的本意是開發一個三角形單元的斯托克斯求解器。使用三角形線性單元對應的插值函數：
無論是CFD還是結構有限元，只要單元類型一致，插值函數都是一樣的，區別只在單元方程。
但是這樣直接求解結果是震蕩的，原因是結構有限元中，節點的幾個自由度本質是同一種物理量，它們是“平級的”。但是速度u、v與壓力p不是同一種物理量，它們不平級。壓力和速度的降階是平級的。
一般的處理思路是，對速度用高階單元，對壓力用低階單元。還有一種思路是使用罰函數方法，將壓力用如下形式表達，只要λ足夠大即可。這樣就在原控制方程中消除了壓力。
展開 摘要：本文通過對不同網格密度、不同單元類型的有限元力學模型計算結果與精確解的分析比較，探索研究單元網格劃分與有限元求解精度的內在聯系，為在保證有限元解滿足工程實際精度要求的前提下，確定合理的網格密度，提高有限元分析效率進行了有益的探索。
關鍵詞：有限元 網格劃分密度求解精度
0 引言
有限單元法的基本思想是把一個連續體人為地分割成有限個單元，對通過節點連接的單元進行單元分析，然后再把這些單元組合起來代表原來的結構。從數學的角度來看，有限元法是將一個偏微分方程化成一個代數方程組，并利用計算機求解的一種數值分析方法。它的分析過程可以分為建立力學模型(前處理)、計算及后處理三個階段。其中，根據結構實際形狀和實際工況條件建立有限元分析的計算模型，為有限元數值計算提供必要的原始輸人數據，是整個有限分析過程的關
鍵。由于工程結構形狀和工況條件的復雜性，要建立一個符合實際的有限元模型不僅需要考慮多種因素，而且輸入數據的誤差也將直接決定計算結果的精度。所以，其力學模型的正確性和求解精度就成為衡量有限元分析結果精確與否的重要指
標。對于有限元這樣一種數值分析方法，在單元形狀確定之后，當單元網格劃分越來越細時，位移近似解將收斂于精確解。增加網格數量和密度，計算精度一般也會隨之提高。但是，如果盲目地增加網格數量，將會大大增加單元網格劃分時間及求解方程時間。有時還會因計算的累積誤差反而會降低計算精度。所以，在實際工作中，如何劃分網格才能既保證計算結果有較高的精度，又不致使計算量太大，一直困擾著許多分析人員。本文將通過對不同網格密度、單元類型的分析比較，確定出合理的網格密度，期望能為提高有限元求解精度提供參考依據。
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關鍵詞：熱源，瞬態，熱傳導，有限元求解器，三角形單元，自研
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關鍵詞：CFD，有限元，對流項，繞流，迎風格式，湍流模型
在《流體有限元求解器開發-不可壓定常流動模型》一文中，我們介紹了考慮對流項的不可壓流動求解器的實現。
然而正如所預料的那樣，一旦流速高一些，或者粘性小一些，仿真結果就容易發散，收斂性成為一大難題。
為了解決這個問題，CFD大神們想出了各種手段，有的嚴格按照理論去處理盡力彌合。有的則主打靈感修正，問就是人工粘性、人工擴散、人工穩定
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關鍵詞：瞬態，熱傳導，有限元求解器，三角形單元
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關鍵詞：CFD，有限元，三角形單元，罰函數，粘性流動
最近工作室有流體有限元求解器的開發需求，我在前面講飛機結冰的文章提到過，差不多10年前瞎搗鼓過這個東西。
好多東西都記不清了，先從一些簡單的流動模型入手，做一些恢復性訓練。考慮到我是結構力學出身，在進行流體有限元開發的時候，我會代入結構有限元的視角進行分析。
流體也好，固體也好，CFD也好，FEM也好，有很多開源工具、源代碼可以用。
使用 ansys Mechanical 對顯示支架進行有限元分析
file.mechdat
abaqus后處理中顯示晶界可以是多晶塑性分析更加直觀，但abaqus未內置此功能，需要通過二次開發實現，這里分享一個插件用于實現該功能，插件源于一位法國讀博士老哥的分享，將該插件放入到abaqus plug-in中即可輕松的實現后處理晶界的顯示問題
軟件用戶界面：
得到的效果圖如下：
如果您在文章中使用了該插件，請引用該作者對應的兩篇文獻：
1，A physically-based
（原創，轉載請注明出處）
1 概述
本系列文章研究成熟的有限元理論基礎及在商用有限元軟件的實現方式，通過
（1） 基礎理論
（2） 商軟操作
（3） 自編程序
三者結合的方式將復雜繁瑣的結構有限元理論通過簡單直觀的方式展現出來，同時深層次的學習有限元理論和商業軟件的內部實現原理。
有限元的理論發展了幾十年已經相當成熟，商用有限元軟件同樣也是采用這些成熟的有限元理論，只是在實際應用過程中
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在有限元求解中，最終通常要求解的是一個關于場變量的線性方程組，在常見的位移場有限元中，要求解的是各個節點的位移，該線性方程組的系數矩陣通常稱為剛度矩陣，方程組右邊通常稱為右端項或者荷載向量。一般情況下，由于網格劃分后并不是所有節點都兩兩連接，因此實際上最終形成的整體剛度矩陣中大部分元素為0，這種矩陣稱為稀疏矩陣。在有限元求解中，對于這種系數矩陣為稀疏矩陣的方程組，一種常見的方法是僅保存剛度矩陣的非
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