在有限元求解中，最終通常要求解的是一個關于場變量的線性方程組，在常見的位移場有限元中，要求解的是各個節點的位移，該線性方程組的系數矩陣通常稱為剛度矩陣，方程組右邊通常稱為右端項或者荷載向量。一般情況下，由于網格劃分后并不是所有節點都兩兩連接，因此實際上最終形成的整體剛度矩陣中大部分元素為0，這種矩陣稱為稀疏矩陣。在有限元求解中，對于這種系數矩陣為稀疏矩陣的方程組，一種常見的方法是僅保存剛度矩陣的非0元素到內存中，0元素不保存，這樣就可以以更小的內存保存大型結構的剛度矩陣。

        那具體矩陣中有多少元素為0，就可以認為其是稀疏矩陣呢？這個界限實際上比較模糊，有文獻給出如下定義：如果矩陣的A的非0元素數量為O(n)，其中n是A的階數，則矩陣為稀疏矩陣。

        稀疏矩陣經常通過非0元素分布圖表示其稀疏性質，以下是兩個常見的稀疏矩陣的分布圖：

        在有限元分析中，非0元素的分布，實際上主要取決于單元的節點連接，以下圖中的單元連接為例：

       假設圖中每個節點一個自由度，則整體剛度矩陣為16x16的矩陣，而具體非0元素的分布，可以通過單元連接得到鄰接點得到，所謂鄰接點，指的是相對于當前單元位于同一單元內的所有點的集合。以節點6為例，其鄰接點是1,2,3,5,7,9,10,11。

       獲得上述鄰接點后，剛度矩陣中第6行的非0元素的位置實際上就確定了：k(6,1),k(6,2),k(6,3),k(6,5),k(6,6),k(6,7),k(6,9),k(6,10),k(6,11)。

       在實際采用稀疏矩陣求解有限元問題時，獲得上述非0元素位置后，就可以對剛度矩陣采用稀疏矩陣存儲，常見的存儲方式有COO，CSR，CSC和DIA等。上面的網格數量較少，因此可以通過觀察獲得節點的鄰接點，在實際有限元求解中，網格劃分以后通常得到的是單元的節點連接信息，即各個單元分別有哪幾個節點構成，并不能直接獲得各個節點的鄰接點，在上圖中，網格劃分后得到的單元的節點連接信息如下：

1    1    2    6    5

2    2    3    7    6

3    3    4    8    7

4    5    6   10    9

5    6    7   11   10

6    7    8   12   11

7    9   10   14   13

8   10   11   15   14

9   11   12   16   15

       通過上述連接信息，就可以得到任一節點的鄰接點，在這里，提供一個從上述節點連接獲得節點鄰接點的代碼，節點連接信息按照上面的格式保存在element.txt中。

#include<iostream>

#include<vector>

#include <algorithm>

#include <fstream>

#include<map>

 

int main(int argc, char** argv)

{

 int nNode ;

 std::cout << "節點總數：" << std::endl;

 std::cin >> nNode;

std::multimap<int,int> *nodeNear=new std::multimap<int,int>[nNode];

int nElem;

std::cout << "單元總數：" << std::endl;

std::cin >> nElem;

int elemNumber;

std::vector<int> *elemConnect=new std::vector<int>[nElem];

 

std::ifstream eFile("element.txt");

 

if (!eFile) std::cerr << "open file failure" << std::endl;

const int nNodePe=4;   

int nodeN[nNodePe+1];

for (int i = 0; i < nElem; i++)

{

for (int j = 0; j < nNodePe+1; j++)

{

eFile >> nodeN[j];

elemConnect[i].push_back(nodeN[j]);

}

}

for (int i = 0; i <nNode; ++i)

{

for (int j = 0; j<nElem; ++j)

{

auto a1 = std::find(elemConnect[j].begin()+1, elemConnect[j].end(), i);

if (a1 != elemConnect[j].end())

{

for (auto it = elemConnect[j].begin()+1; it!= elemConnect[j].end(); it++)

{

nodeNear[i].insert(std::pair<int,int>(*it,elemConnect[j][0]));

}

}

}

}

 

std::cout << "輸入節點號：" << std::endl;

int nodeNumber;

std::cin >> nodeNumber;

std::cout << "鄰近節點：" << std::endl;

for (auto it:nodeNear[nodeNumber])

{

std::cout << "node  " << it.first <<"  in element  "<< it.second << std::endl;

}

delete[] nodeNear; delete[] elemConnect;

return 0;

}

運行結果如下：

       以上，就是從單元連接關系到節點鄰接點的具體過程和代碼，感謝您的閱讀！

【完】

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