有限元顯示求解的案例
FEM有限元法顯示與隱式
做有限元方法的顯示和隱式是對時間積分的兩種算法
隱式方法：
大多數的有限元分析軟件都是采用隱式方法，這種方法收斂速度較快。
cn+1=an+bn
優(yōu)點是計算量比較小
缺點是有累計誤差
n+1個時間步的量不可以由第n個時間步的量直接求得,稱為隱式 ！
顯式方法：
顯示積分方法一般用在高度非線性有限元分析，如碰撞、爆炸、沖擊等。dyna等軟件一般采用顯示有限元法。這種方法的收斂較慢，為了保證收斂一般要取較短的 時間步長。 關于顯式積分與隱式積分的內容可以看一下《數值分析》中關于橢圓型、拋物線型或雙曲型微分方程的差分方法等內容。
例如:
an+1+bn+1=cn
bn+1+cn+1=an
an+1+cn+1=bn
缺點是計算量比較大,需要通過方程組求解
優(yōu)點是沒有累計誤差。
用比較通俗的話說: 顯式就是可以直接通過自變量求得因變量的解,自變量和因變量可以分離在等式的兩側;
隱式正好相反,因變量與自變量混和在一起,不能進行分離.
顯式解法里,沒有剛度矩陣的說法。
顯式解法基于牛頓第二定律,F=M*acce,
其中F由上一時步的外載,內力確定;
由acce --> velocity -->disp, 也就可相應求解應力,應變值了.
展開 考慮熱源的瞬態(tài)熱傳導有限元求解器
關鍵詞：熱源，瞬態(tài)，熱傳導，有限元求解器，三角形單元，自研
在《瞬態(tài)熱傳導有限元求解器開發(fā)》一文中，我們介紹了自研的二維瞬態(tài)熱傳導求解器。
當時那個控制方程沒有考慮熱源，邊界條件中只涉及溫度、熱流、對流。然而在很多問題中，熱源才是最關鍵的邊界條件，比如電發(fā)熱、化學反應生熱。
熱源的處理
熱源是體熱，相對應的熱流是面熱。兩者處理方式類似，都是根據單位熱功率值和幾何尺寸計算熱功率，然后加到控制方程矩陣的右側，承擔類似于結構力學中的“載荷”的功能。
區(qū)別在于，熱源是作用在體上的，單位是W/m3，熱流是作用在面上，單位是W/m2。具體到編程上，熱源要分配到單元的三個節(jié)點上，熱流要分配到單元某個邊的兩個節(jié)點上。
從求解器編程的角度來說，這些邊界條件的處理方式都是固定和通用的。考驗一般出現在實際工程項目中使用自研求解器的時候。
在CAE軟件的開發(fā)中，交互端和求解器端永遠要解決的問題是，如何讓所有單元始終知道：
（1）它是誰？（材料參數，幾何參數）；
（2）它在哪？（和其他單元的相對位置）；
（3）它怎么了？（邊界條件）。
以熱源為例，在交互界面上，我們通過視口選擇單元，指定其體熱功率。那么前端數據在生成求解器輸入的時候，就要告知求解器所有單元的編號和其對應的體熱功率。
當求解器拿到單元編號以后，就需要索引或者計算其面積，并根據單元三個節(jié)點編號，將功率加到載荷列陣對應的位置。
驗證
設計案例如下，區(qū)域外部為20℃空氣，對流換熱系數取5W/(m2K)，時間總長18000s，每步時間間隔60s。
自研求解器得到模型中心最終溫度是84.6℃，與商用軟件結果完全一致。
展開 瞬態(tài)熱傳導有限元求解器開發(fā)
關鍵詞：瞬態(tài)，熱傳導，有限元求解器，三角形單元
熱傳遞有三種方式：熱傳導、熱對流、熱輻射。就熱傳導問題而言，無論是結構力學還是流體力學都會涉及，兩邊都沒拿它當外人。
前面的文章提到過，結構力學的有限元發(fā)展地非常成熟，大部分的剛度矩陣在文獻里面都推導好了。而流體力學的很多單元類型的有限元方程，可能需要自行推導完成。在熱傳導問題中，我采用加權余量法進行處理，推導出了符合結構力學有限元文獻中給出的剛度矩陣，殊途同歸。
實際上，傳統(tǒng)的結構力學有限元三大控制方程：幾何方程、物理方程、平衡方程。幾何方程描述位移-應變關系，物理方程描述應力-應變關系，平衡方程描述內應力-外載荷關系。傳熱問題從控制方程角度，更偏向流體力學（能量方程）。但是熱對于結構變形太重要了，因此結構有限元必須要把傳熱問題解決掉。
從結構力學跨到流體力學，在有限元方法中，流體力學控制方程左邊的矩陣都可以用剛度矩陣去看待它。控制方程的右邊的列陣，都可以用載荷的角度去看待，對于第二類邊界條件，則可以分成左側矩陣的修正+右側列陣的載荷組合。有些文獻上，用所謂的“內部單元方程”、“邊界單元方程”的描述，會增加我們的困惑，可以不必糾結在此。
控制方程
二維瞬態(tài)熱傳導控制方程如下：
這個方程里面的常數有密度、比熱容、導熱系數。
三種邊界條件：
（1） 已知邊界溫度值，屬于第一類邊界條件，它的處理就和結構有限元里面的位移以一樣，可以用置大數法對方程左邊的矩陣進行約束處理。
（2） 已知邊界熱流密度，屬于第二類邊界條件，作為熱源。可以類比到結構有限元里面的均布載荷。
（2） 已知邊界對流換熱系數和接觸環(huán)境溫度，也屬于第二類邊界條件。這個邊界條件在處理的時候，需要進行拆分，一部分放到左側單元矩陣，一部分作為右側的載荷。
展開 流體有限元求解器開發(fā)-二維斯托克斯方程
我在開發(fā)結構力學有限元求解器的時候，都是先去查資料，直接就把單元剛度矩陣拿過來用。
但是到流體這就不能完全這么干，原因是：
（1） 未必能找到直接可用的單元矩陣；
（2） 流體的邊界條件中，有很多第二類邊界條件（壓力、熱流、對流），這些邊界條件有的是放到右側載荷項，需要推導。有的載荷甚至會影響左側單元矩陣，部分放到左邊去修正。結構力學里面大部分情況下，載荷就是在右側，位移就是放到左邊修正剛度矩陣，清晰明確。
所以，開發(fā)流體求解器的時候，還是要從有限元的基本方法入手。這里采用加權余量法進行處理。有限元的教材里面講的很多了，這里簡單說一下流程：
（1） 根據單元類型，確定插值函數。此時速度、壓力等變量，都可以用權函數表達。
（2） 采用伽遼金方法，權函數=插值函數，控制方程與權函數相乘，積分取0。
（3） 在每個單元域內，方程轉換為權函數的積分形式，最終形成單元矩陣。
單元方程
最終得到單元的方程形式如下：
類比到結構有限元，左側第一大項，就是剛度矩陣。u、v、p相當于3個自由度，右側就是載荷列陣。
我的本意是開發(fā)一個三角形單元的斯托克斯求解器。使用三角形線性單元對應的插值函數：
無論是CFD還是結構有限元，只要單元類型一致，插值函數都是一樣的，區(qū)別只在單元方程。
但是這樣直接求解結果是震蕩的，原因是結構有限元中，節(jié)點的幾個自由度本質是同一種物理量，它們是“平級的”。但是速度u、v與壓力p不是同一種物理量，它們不平級。壓力和速度的降階是平級的。
一般的處理思路是，對速度用高階單元，對壓力用低階單元。還有一種思路是使用罰函數方法，將壓力用如下形式表達，只要λ足夠大即可。這樣就在原控制方程中消除了壓力。
展開 
網格劃分密度與有限元求解精度研究
摘要：本文通過對不同網格密度、不同單元類型的有限元力學模型計算結果與精確解的分析比較，探索研究單元網格劃分與有限元求解精度的內在聯(lián)系，為在保證有限元解滿足工程實際精度要求的前提下，確定合理的網格密度，提高有限元分析效率進行了有益的探索。
關鍵詞：有限元 網格劃分密度求解精度
0 引言
有限單元法的基本思想是把一個連續(xù)體人為地分割成有限個單元，對通過節(jié)點連接的單元進行單元分析，然后再把這些單元組合起來代表原來的結構。從數學的角度來看，有限元法是將一個偏微分方程化成一個代數方程組，并利用計算機求解的一種數值分析方法。它的分析過程可以分為建立力學模型(前處理)、計算及后處理三個階段。其中，根據結構實際形狀和實際工況條件建立有限元分析的計算模型，為有限元數值計算提供必要的原始輸人數據，是整個有限分析過程的關
鍵。由于工程結構形狀和工況條件的復雜性，要建立一個符合實際的有限元模型不僅需要考慮多種因素，而且輸入數據的誤差也將直接決定計算結果的精度。所以，其力學模型的正確性和求解精度就成為衡量有限元分析結果精確與否的重要指
標。對于有限元這樣一種數值分析方法，在單元形狀確定之后，當單元網格劃分越來越細時，位移近似解將收斂于精確解。增加網格數量和密度，計算精度一般也會隨之提高。但是，如果盲目地增加網格數量，將會大大增加單元網格劃分時間及求解方程時間。有時還會因計算的累積誤差反而會降低計算精度。所以，在實際工作中，如何劃分網格才能既保證計算結果有較高的精度，又不致使計算量太大，一直困擾著許多分析人員。本文將通過對不同網格密度、單元類型的分析比較，確定出合理的網格密度，期望能為提高有限元求解精度提供參考依據。
展開 為什么我的有限元（FEA）模型不會收斂并求解？
求解器甚至不會嘗試開始-您正在違反規(guī)則。dat文件不僅會告訴您問題所在，還會告訴您引起該問題的節(jié)點，這對您進行調試很有用。
3. MSG文件
該.msg或“信息”文件中關于有限元模型的實際運行數據。它包含在每次嘗試解決增量過程中生成的所有數據-逐次迭代。
當使用任何隱式方法求解時，迭代是“嘗試”以找到增量的平衡解。在每次迭代中，解決方案應該越來越接近于平衡，但這并非總是如此。這將被稱為發(fā)散（而不是收斂）迭代，并且實質上是我們在分析期間遇到的所有問題的根源。
一旦模型開始，某些警告或錯誤可能會在解決方案中變得很重要。例如，當元素中的應變變得過高并且Abaqus為“ ***警告”時，就是這種情況，這可能是一個問題。通常使用msg文件診斷的另一件事是模型中的“剛體運動”-解算器無法收斂于穩(wěn)定的平衡，因為沒有平衡點。同樣，msg文件會盡力讓您知道發(fā)生了什么。在這些情況下，它可能有點神秘，但這就是我們系列博客的全部內容。
我們還可以探查解決方案的各個方面，以找到最大的力和力矩殘差以及位移和旋轉校正-以及它們出現在哪個節(jié)點。它本身并不是非常有用，但是，與從本文中已經討論過的其他資源中提取的信息結合使用時，在診斷和調試有限元模型時它可能會具有無價的價值。
4.檢查ODB
.odb或“輸出數據庫”是存儲結果內容的位置。我的最終建議不像上面討論的那樣“科學”，但是通常同樣有效。
有時，只有當仿真實際上已經開始并且已經獲得一些結果時，這才起作用，您只需查看odb，就可以確切地看到模型的問題所在。如果沒有正確應用邊界條件，或者在不應該發(fā)生邊界變形的情況下發(fā)生變形，則可以在可視化視圖中看到它。
展開 有限元剛度矩陣求解程序（fortran）
該程序用于求解《有限元基礎教程》P43的例題。
module Maxtri_K
contains
!---------------------------------------------------------
!-----------purpose:求解剛度矩陣
subroutine solve_KM(n_num,coods_all,E,nu,t,KM)
!-----------定義子程序------------------------------------
!
Ansys Mechanical | 軟件介紹：業(yè)界一流的有限元求解器
wx_fmt=gif&from=appmsg"></p><p class="ql-align-center"><br></p><h1><strong>Ansys Mechanical 有限元分析軟件 </strong></h1><p><br></p><p>Ansys Mechanical 是業(yè)界一流的有限元求解器，具有結構、熱學、聲學、瞬態(tài)和非線性功能，可幫助改進建模。</p><p><strong>NO.1軟件概覽</strong></p><p><img src="https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_jpg/XUJorxDYRKRVcgS91JRTGvWkdD1mpibZW6lB58iaZcnic2aHAs3oJ83hXlX5LTucWQRvYVxAVlwHRZUD93pkpVP6A/640?wx_fmt=jpeg&wxfrom=5&wx_lazy=1&wx_co=1"></p><p><br></p><p>Ansys Mechanical 創(chuàng)建了一個使用有限元仿真分析軟件（FEA）進行結構分析的集成平臺。Mechanical 是具有完整分析工具的動態(tài)環(huán)境，從準備幾何結構進行分析到連接其它物理場以實現更高的保真度。可定制的直觀用戶界面使各個級別的工程師能夠快速而滿懷信心地獲得答案。</p><p>Ansys Workbench 可支持與商業(yè) CAD 工具的可靠連接，提供點擊按鈕設計點更新，流體和電氣求解器可提供無縫集成的多物理場功能。
展開 有限元熱力耦合，顯示下面警告怎么解決？
Whenever a translation (rotation) dof at a node is constrained by a kinematic coupling definition the translation (rotation) dofs for that node cannot be included in any other constraint including mpcs, rigid bodies, etc. The option *temperature is used but the option *initial conditions,type=temperature is not. The initial temperature values are assumed to be zero. MPCS (EXTERNAL or INTERNAL, including those generated from rigid body definitions), KINEMATIC COUPLINGS, AND/OR EQUATIONS WILL ACTIVATE ADDITIONAL DEGREES OF FREEDOM Node set assembly_m_set-10 has no members and will be ignored. Nodes defined in this set may have been deleted because they were not connected to any elements. Node set assembly_m_set-11 has no members and will be ignored. Nodes defined in this set may have been deleted
展開 伽遼金有限元法求解微分方程 ￥10
問題描述：
ansys Mechanical 對顯示支架進行有限元分析
使用 ansys Mechanical 對顯示支架進行有限元分析
file.mechdat
流體有限元求解器開發(fā)-SUPG迎風格式與SA湍流模型
關鍵詞：CFD，有限元，對流項，繞流，迎風格式，湍流模型
在《流體有限元求解器開發(fā)-不可壓定常流動模型》一文中，我們介紹了考慮對流項的不可壓流動求解器的實現。
然而正如所預料的那樣，一旦流速高一些，或者粘性小一些，仿真結果就容易發(fā)散，收斂性成為一大難題。
為了解決這個問題，CFD大神們想出了各種手段，有的嚴格按照理論去處理盡力彌合。有的則主打靈感修正，問就是人工粘性、人工擴散、人工穩(wěn)定，實用至上。
SUPG（Streamline Upwind/Petrov-Galerkin，流線迎風/Petrov-Galerkin）迎風格式是計算流體力學和有限元方法中一種經典的穩(wěn)定化技術，專門用于解決對流主導問題中的數值振蕩問題。
該方法是79年到82年Brooks 和 Hughes提出并確立的，目前廣泛用于流體有限元求解中。
Hughes T J R
SUPG的核心思想
我們前面文章介紹的伽遼金法，在推導過程中，令權函數=插值函數。在對流主導情況下，這種對稱處理無法捕捉流動的方向性特征，因此迭代過程中，速度場逐漸發(fā)散。
SUPG的核心思想，是修改權函數，引入迎風效應。增加的項一個只在流線方向上起作用的項。我的理解是人工給一個收斂的方向。
當這個項用的系數大，抹平振蕩的能力就越強，當然結果也可能偏離實際更多。用的系數小，就可能會發(fā)散。
在這個基礎上，我們進一步嵌入了SA湍流模型，這是因為高雷諾數流動求解中發(fā)現，上述方法收斂性還是差。SA湍流的引入，可以將N-S方程的擴散項系數增大，對流主導問題的病態(tài)程度降低，迭代求解更容易收斂。和無腦增加迎風項系數強制收斂比，這種方法得到的結果精度要好一些。
效果
圓柱繞流
設定圓柱半徑為0.05m，流體介質為空氣，來流速度100m/s。
展開 伽遼金有限元求解微分方程 -- C語言實現 ￥4.5
==》 數值解解析解的對比結果圖：
==》 求解步驟主要是：
1. 寫出微分方程的弱解積分形式。
2. 進行分布積分法。
3. 網格劃分。
4. 生成系數矩陣和方程組的右端項。
5. 進行方程組的求解。
6. 求解出節(jié)點上的U值。
仿真應用 | Workbench大變形開關對有限元求解的影響
其實可以這么說，在線性問題中，是否考慮大變形效應（幾何非線性分析）的求解結果是接近的。在幾何非線性問題中，使用線性分析會產生較大誤差，甚至是錯誤的，必須考慮大變形。
實例說明
薄鋼板，壁厚為3mm，約束左右兩邊，中間法向加集中荷載。
加載100N，查看線性分析和大變形分析的應力和位移
加載200N，查看線性分析和大變形分析的應力和位移
加載500N，查看線性分析和大變形分析的應力和位移
結論
當變形為壁厚的20%，線性分析和大變形分析的位移結果是近似的。
當變形為壁厚的50%，線性分析和大變形分析的位移結果相差10%。
當變形為壁厚的100%，線性分析和大變形分析的位移結果相差30%。
大變形分析的位移結果總是小于線性分析。
建議
大變形分析需要迭代，所以計算量大。對于較大的模型，可能會影響求解效率。對于小模型，計算量小，線性分析和非線性分析的求解時間相差不大。
當結構承受的載荷較大，結構變形較大時，是否考慮大變形效應（幾何非線性分析），求解結果是不一樣的。如果很明確所分析問題是線性問題，可以不打開大變形選項。
展開 伽遼金有限元法求解微分方程-C++ ￥3.75
當前只實現了 Test 1 案例的求解計算。
然后我們來定義型函數。型函數這里采用的是最簡單的帽子函數的那樣。
那么到這里 我們的所有的單項處理函數便創(chuàng)建完完畢了。
下面我們要做的便是想辦法組合成Ax = b 的這種形式了。
