摘要：本文通過對不同網格密度、不同單元類型的有限元力學模型計算結果與精確解的分析比較，探索研究單元網格劃分與有限元求解精度的內在聯系，為在保證有限元解滿足工程實際精度要求的前提下，確定合理的網格密度，提高有限元分析效率進行了有益的探索。

關鍵詞：有限元 網格劃分密度求解精度

0  引言

有限單元法的基本思想是把一個連續體人為地分割成有限個單元，對通過節點連接的單元進行單元分析，然后再把這些單元組合起來代表原來的結構。從數學的角度來看，有限元法是將一個偏微分方程化成一個代數方程組，并利用計算機求解的一種數值分析方法。它的分析過程可以分為建立力學模型(前處理)、計算及后處理三個階段。其中，根據結構實際形狀和實際工況條件建立有限元分析的計算模型，為有限元數值計算提供必要的原始輸人數據，是整個有限分析過程的關

鍵。由于工程結構形狀和工況條件的復雜性，要建立一個符合實際的有限元模型不僅需要考慮多種因素，而且輸入數據的誤差也將直接決定計算結果的精度。所以，其力學模型的正確性和求解精度就成為衡量有限元分析結果精確與否的重要指

標。對于有限元這樣一種數值分析方法，在單元形狀確定之后，當單元網格劃分越來越細時，位移近似解將收斂于精確解。增加網格數量和密度，計算精度一般也會隨之提高。但是，如果盲目地增加網格數量，將會大大增加單元網格劃分時間及求解方程時間。有時還會因計算的累積誤差反而會降低計算精度。所以，在實際工作中，如何劃分網格才能既保證計算結果有較高的精度，又不致使計算量太大，一直困擾著許多分析人員。本文將通過對不同網格密度、單元類型的分析比較，確定出合理的網格密度，期望能為提高有限元求解精度提供參考依據。

1 有限元網格劃分的指導思想

眾所周知， 建立有限元力學模型的中心任務是進行單元網格劃分和處理許多與之相關的工作，如結構形式處理、力學模型建立、單元特性定義、單元質量檢查以及模型邊界條件的定義等。有限元網格生成就是將實體模型離散成由節點和單

元組成的有限元力學模型。它的指導思想是進行總體模型規劃，包括物理模型的構造、單元類型的選擇、網格密度的確定等多方面的內容。有限元分析的精度和效率均與單元的密度和幾何形狀有著密切的關系。在網格剖分時，單元應滿足以下要

求：

(i)一個單元的節點不能落人其他單元內部，單元邊界上的節點均應作為單元的節點。

(ii)單元必須落在實體模型內部，不能落人外部，且單元集合邊界應逼近實體模型的邊界。(iii)單元應具有良好的形狀，如正多邊形或正多面體。

(iv)單元之間過渡相對平穩。由此可見，網格劃分是建立有限元模型的重要環節，有限元模型的合理性很大程度上可以通過所劃分的網格形式反映出來。目前，有限元網格剖分方法可分為拓撲分解法、結點連元法、網格模板法、映射法和幾何分解法五種。在通用有限元分析軟件中，廣泛采用自動或半自動網格劃分方法。但由于結構和網格生成過程的復雜性，劃分出來的網格有時存在一些問題，如網格形狀較差，單元和節點編號順序不合理等，這些都將影響有限元分析的計算精度和計算時間，有時還需進行人工改進。

2 單元網格劃分對求解精度的影響分析

有限元解的誤差主要來自離散誤差、插值誤差(即逼近誤差和邊界誤差)以及數值誤差幾個方面。其中，逼近誤差指的是用有限尺寸的單元及單元插值函數代替精確解后產生的誤差；邊界誤差則是在結構邊界以直代曲引起的誤差。另外，輸人

數據不正確，也會導致較大的計算誤差。就輸人數據而言，單元的質量和數量對求解結果和求解過程影響較大，如果結構單元全部由等邊三角形、正方形、正四面體、立方六面體等單元構成，則求解精度可接近實際值，但這種理想情況在實際工程

結構中很難做到。必須根據模型的不同特征，設計不同形狀種類的網格，才能保證有限元分析的正確性，有效地改善網格的質量和求解精度。因此，評價一個有限元網格的優劣，應當從選擇單元類型、單元網格劃分的數量、網格密度(即疏密程

度)、單元階次及網格質量幾方面考慮。

2．1 單元位移模式對有限元分析精度的影響

有限元分析軟件的精度主要取決于章元。在進行有限元分析時首先要選擇合適的單元類型。在廣泛應用的位移法中，4節點四面體單元每個節點的多項式位移模式為

  

形函數為

其中， i=l，?，4為常數，V為單元體積。10節點四面體單元的多項式位移模式為

基于自然坐標的形函數為

8節點六面體單元每個節點的位移模式為

形函數為

其中：

從以上分析可見，高階單元的曲線或曲面邊界能更好地逼近結構的邊界曲線或曲面，高次位移函數能更好地逼近結構復雜的位移分布。單元的多項式位移插值函數階次越高，精度越高，收斂速度也越快。因此，可選用高階單元以提高計算精度。但是高階單元節點較多，使用時應權衡計算精度和模型規模兩個因素，處理好單元階次和節點數量的關系。

2．2 低階單元網格與高階單元網格的比較

表1、表2給出的是應用Unigraphics程序采用全自動網格劃分方法進行圓軸受純扭轉時的有限元計算結果。單元類型為4節點和10節點四面體三維實體單元。從表1可以看出，選用4節點四面體單元時，隨著單元邊長從55ram逐漸加密至30mm，有限元分析計算結果與精確解的相對誤差逐漸從7．1 5％減小到2．51％，求解精度明顯提高。但單元網格繼續加密時，有限元力學模型的節點和單元數量增長很快，而求解精度增加很少。從提高工作效率的角度看，過密的網格密度，對提高求解精度意義并不大，換來的只是過長的求解時間這是很不經濟的。

 

從表2計算結果可知，如果選擇10節點四面體高階單元，則較稀疏的單元網格也可獲得較高的計算精度。而且，同等網格密度下，選用10節點四面體高階單元的有限元計算結果要比選用4節點四面體單元有限元計算結果更精確。這說明10節點四面體高階單元的收斂速度明顯比4節點四面體常應變單元快得多。

2．3 四面體單元與六面體單元網格的比較

表3為應用MSC．MARC程序采用相同節點排序進行圓軸受純扭轉時半自動網格劃分時的有限元計算結果。單元類型以8節點六面體單元為主體。從表中可以看出，當單元網格逐漸加密，節點數和單元數不斷增加時，與精確解的相對誤差可從3．71％減小到0．36％。它雖然提高了求解精度，求解時間也迅速增加。與表1、表2的計算結果相比較，相同的單元網格密度條件下，8節點六面體實體單元的求解精度在4節點四面體單元與10節點四面體單元之間。

3 單元網格質量的評價

一個高質量的單元網格劃分，應當綜合計算機容量、計算時間及工程實際中的精度要求等因素，來決定單元的大小及階次，設定合理的網格數量和相對網格密度。選擇高階單元，網格密度可以相對稀疏一些。換句話說，在應力集中區域應采用

較密的網格，而對于其它應力變化平緩的區域，則采用較稀疏的網格，以減少網格數量，縮短求解時間。另外，在采用人工或半自動方法劃分網格時，應注意網格幾何形狀的合理性。有些畸形網格形狀是不允許的，它們會導致單元剛度矩陣為零或

負值，使有限元計算將會因網格質量太差出現致命錯誤而中止。單元大小的設定可參考模型簡化后結構主要區域的最小邊長。一般地說，單元網格質量評價一般可采用以下幾個指標：

(1) 單元的邊長比、面積比或體積比以正三角形、正四面體、正六面體為參考基準。理想單元的邊長比為1，可接受單元的邊長比的范圍線性單元長寬比小于3，二次單元小于10。對于同形態的單元，線性單元對邊長比的敏感性較高階單元高，非線性比線性分析更敏感。

(2) 扭曲度：指單元面內的扭轉和面外的翹曲程度。應盡量使單元接近正三角形、正四面體或正六面體，避免傾斜和翹曲。

(3) 疏密過渡：網格的疏密主要表現為應力梯度方向和橫向過渡情況。應力集中區域的網格應密度大一些。而對有限元分析影響較小的區域可逐漸平穩過渡到較稀疏網格。

(4) 節點編號排布：節點編號對于求解過程中的總體剛度矩陣的元素分布、分析耗時、內存及空間有一定的影響。合理的節點、單元編號有助于利用剛度矩陣對稱、帶狀分布、稀疏矩陣等方法提高求解效率。在手動或半自動劃分網格時，特別應引起足夠的重視。同時，要注意消除重復的節點和單元。

4 檢測有限元求解精度的方法

在應用有限元程序解決工程實際問題的過程中，傳統的對有限元計算結果正確性和精度的判斷主要依據分析人員的經驗，如通過看變形趨勢是否與物理現象相一致，運用已有的分析經驗和對該問題的了解，確定有限元結果是否達到精度，等等。顯

然，這種方法帶有一定的主觀色彩。 相比較下，采用結果比較法或網格加密法更科學一些。

4．1 結果比較法

在進行有限元分析時，可根據經驗設定一定的網格密度進行試算。檢查并比較關鍵部位或應力集中部位的節點結果和單元形心結果。如果兩者的值比較接近，則不必重新計算。否則，應進一步增加網格密度，重新計算。

4．2 網格加密法

對一個結構，先根據經驗設定一單元網格密度進行試算，再對網格加密，比較兩次的計算結果。如果兩者數值上接近，則說明計算結果精度較好，單元網格密度合理。否則，則須進一步增加單元網格密度，重新計算。一般來說，對于精度高的單元來講，使用數量不同的節點，計算結果很快就一致了。用“網格加密法”很快就能判斷單元網格密度是否合適。

5 幾點建議

為能有效地控制單元網格劃分質量，提高有限元求解精度，通過上述研究，結合實際工作經驗，有以下幾點建議供進行網格劃分時參考。

1) CAD軟件中流行的實體建模包括基于特征的參數化建模和空間自由曲面混合造型兩種方法。現有CAD軟件實體造型功能已經大大超過了CAE軟件。有些CAD實體模型對制造檢測來說具備足夠的精度，但對有限元網格劃分來說卻不能滿足要求。很多情況下，CAD模型可能包含許多設計細節，如細小的孔、狹窄的槽，甚至是建模過程中形成的小曲面等。這些細節往往不是基于結構的考慮，保留這些細節，單元數量勢必增加，甚至會掩蓋問題的主要矛盾，對分析結果造成負面影響。因此，在將CAD幾何模型導人CAE程序之前，首先應將CAD模型改造成適合有限元分析的網格模型。如果幾何實體模型距有限元分析的要求相差太遠時，也可利用CAD或CAE程序的造型功能修正幾何模型。

2) 有限元分析軟件單元庫中都設有各種形式的單元。常用的單元類型包括：一維桿元及集中質量元、二維三角形、四邊形元和三維四面體元、五面體元和六面體元。其邊界形狀可以是直線型、曲線型和曲面型。對于幾何尖角處、應力應變變化較

大區域，有限元分析時應選擇高階次單元，并適當增加單元網格密度。這樣，既可保證單元的形狀，同時，又可提高求解精度、準確性及加快收斂速度。全自動劃分網格時，優先考慮選用高階單元。

3) 在網格劃分和初步求解時，應做到先簡后繁，先粗后精。由于工程結構一般具有重復對稱或軸對稱、鏡象對稱等特點，為提高求解效率，應充分利用重復與對稱等特征，采用子結構或對稱模型以提高求解效率和精度。隨著有限元單元網格劃分技術越來越完善，越來越自動化，自動自適應網格剖分技術得到了可喜的進展。網格自適應劃分是在計算步中，升高不滿足分析條件的低階單元的階次來提高分析的精度和效率。這種有效的誤差估計和良好的自適應網格生成，可以使有限元分析在現有網格基礎上，根據有限元計算結果估計計算誤差、重新剖分網格和再計算的一個閉路循環過程。當誤差達到預規定值時，自適應過程結束。它極大地提高了有限元求解精度和工作效率，降低勞動強度。