有限元法
關注創建者：段譽 創建時間：2019-10-21
有限元法的視頻教程
沉澱原創精品系列1：XFEM擴展有限元法一個例子足以-三點彎曲開裂
只出精品課程，講解干貨！ -------------------------- Hello，I am 沉澱，一個做開裂7年的仿真老司機，from Xian Jiaotong University. 這是在技術鄰發布的第一個視頻，錄制后我自己看了下，由于采用的是筆記本，沒有使用耳麥，所以聲音不是特別大，請把技術鄰和電腦聲音調至最大，有任何不明白和聽不清的地方請WX聯系我，給你解讀，內容都是干貨
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ABAQUS清華大學博士學位論文復現——帶隔板鋼混組合梁抗剪性能試驗（有限元初始剛度降低大法）
有限元模擬中，無論是梁試驗、軸壓試驗或是滯回試驗的有限元模擬都可能出現初始剛度比試驗結果大很多的情況。本教程以清華大學博士學位論文中的帶隔板鋼混組合梁抗剪性能試驗為案例，分析有限元初始剛度較大的原因，并合理調整至于試驗結果吻合。模擬結果表明： 1、破壞形態與試驗吻合，試件發生剪切破壞； 2、荷載—位移曲線與試驗吻合，初始剛度和試驗一致。
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有限元法的實例教程
自從1969年以來，某些學者在流體力學中應用加權余數法中的迦遼金法(Galerkin)或最小二乘法等同樣獲得了有限元方程，因而有限元法可應用于以任何微分方程所描述的各類物理場中，而不再要求這類物理場和泛函的極值問題有所聯系。
基本思想：由解給定的泊松方程化為求解泛函的極值問題。
方法運用的基本步驟：
步驟1：剖分
將待解區域進行分割，離散成有限個元素的集合。元素（單元）的形狀原則上是任意的。二維問題一般采用三角形單元或矩形單元，三維空間可采用四面體或多面體等，每個單元的頂點稱為節點（或結點）。
步驟2：單元分析
進行分片插值，即將分割單元中任意點的未知函數用該分割單元中形狀函數及離散網格點上的函數值展開，即建立一個線性插值函數。
步驟3：求解近似變分方程
用有限個單元將連續體離散化，通過對有限個單元作分片插值求解各種力學、物理問題的一種數值方法。有限元法把連續體離散成有限個單元：桿系結構的單元是每一個桿件；連續體的單元是各種形狀（如三角形、四邊形、六面體等）的單元體。每個單元的場函數是只包含有限個待定節點參量的簡單場函數，這些單元場函數的集合就能近似代表整個連續體的場函數。根據能量方程或加權殘量方程可建立有限個待定參量的代數方程組，求解此離散方程組就得到有限元法的數值解。
有限元法已被用于求解線性和非線性問題，并建立了各種有限元模型，如協調、不協調、混合、雜交、擬協調元等。有限元法十分有效、通用性強、應用廣泛，已有許多大型或專用程序系統供工程設計使用。結合計算機輔助設計技術，有限元法也被用于計算機輔助制造中。
展開 有限差分方法(Finite Difference Method)
有限差分法是計算機數值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域。它以Taylor級數展開等方法，把控制方程中的導數用網格節點上的函數值的差商代替進行離散，從而建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。這是一種直接將微分問題變為代數問題的近似數值解法，數學概念直觀，表達簡單，是發展較早且比較成熟的數值方法。
構造差分的方法有多種形式，目前主要采用的是泰勒級數展開方法。其基本的差分表達式主要有三種形式：一階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計算精度，后兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式。
有限元方法(Finite Element Method)
有限元法的基礎是變分原理和加權余量法，其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內，選擇一些合適的節點作為求解函數的插值點，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導數的節點值與所選用的插值函數組成的線性表達式，借助于變分原理或加權余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權函數和插值函數形式，便構成不同的有限元方法。有限元方法最早應用于結構力學，后來隨著計算機的發展慢慢用于流體力學的數值模擬。
在有限元方法中，把計算域離散剖分為有限個互不重疊且相互連接的單元，在每個單元內選擇基函數，用單元基函數的線形組合來逼近單元中的真解，整個計算域上總體的基函數可以看為由每個單元基函數組成的，則整個計算域內的解可以看作是由所有單元上的近似解構成。常見的有限元計算方法是由變分法和加權余量法發展而來的里茲法和伽遼金法、最小二乘法等。
展開 本質上講述了一個譜元法可以減小計算量的故事，不過借著一個別人沒有用過的對象來講述，所以具有了一定的新意。所以說創新有三種：原理和方法型創新、對象型創新和結果型創新。第一種創新是真創新，后面兩個故事講得好也是極好的。
譜元法是啥？譜元法基于力學方程弱形式由Patera在1984年計算流體力學中提出。譜方法和有限元法的思想類似，都是有離散單元的存在，它在有限單元上進行譜展開，所以具有有限元方法和偽譜法的思想，同時兼備有限元可以模擬任何復雜介質模型的韌性和偽譜法的精度，所以譜元法又稱為域分解譜方法或高階有限元法。跟有限元差別在于譜方法以一系列全局連續的函數（可以是三角函數、多項式等）的疊加來近似真實解，而有限元法則是使用單元內簡單多項式插值函數的疊加來近似真實解。即有限元的插值函數只在該單元內作用，而譜元法則是大家一起用。
對高頻振動問題來講，傳統方法以有限元通用性最好，但是有限元法中分析波傳播需要使單元大小與波長相當，且時間分辨率也非常小，計算效率較低。譜元法則通過上述的全局插值函數（有點類似全局基函數，選三角函數時還可以利用FFT提高計算效率）來解決這些問題。
譜元法有時域的和頻域兩種。時域譜元法和傳統的有限元法區別較小，應該說是一種高階的有限元法，其為了達到精度，細分網格是通過切比雪夫多項式或者勒讓德多項式等正交多項式的根來定網格節點。頻域譜元法是分析波傳播的一種有限元方法，在頻域內使位移函數采用波動方程的一般解，得到與頻率相關的動剛度矩陣，利用快速傅里葉變換實現時域和頻域的轉換。
本文以線纜為例，分析波的傳播對故障的診斷效果（需計算的波長跟故障尺度相當）。若用有限元方法，網格大小為波長1、6，需要成千上萬的單元節點，而頻域譜元法則只需很少的節點。
展開 <p> </p><p>盡管有限元法的適應性極強，并具有廣闊的應用領域，但這種利用局部定義的多項展開式來實現的方法仍有某些不足之處。具體來進，困難出現在如下兩種情況下：（a）問題的定義域為無限域時，（b）存在奇異性（部分或全部導數為無窮大）時。</p><p>顯然，無限域無法用有限的單元來得到；而用多項展開式來描述奇異性時則近似程度很差。事實上，收斂定理在后一個問題中已不再能使用，因為在奇異點附近泰勒展開式不再收斂。</p><p>在著重于實用的工程方法中，常常十分正確地迴避了這兩種困難，因為實際上無限域及奇異性只是數學上的假設——這使我們能用大而有限的區域及接近奇異的點得到有用的結果，然而這兩種數學“假設”都是有用的，因為利用它們能使計算工作量有本質性的下降。實際上大家都知道，對于“無限域”和“奇異性”問題，存在著許多極為簡單的精確解，只要有可能，利用這些解答總是值得的。因此，本章的任務就是論述如何在數值離散化方法中利用這些解析解，可以用許多其它的辦法把問題轉變（或簡單地修正一下，以避免無限域及奇異性，但最有效的還是所謂“邊界解”法或特雷弗茨（Trefftz）法。因此，我們將首先較為詳細地討論這種方法和有限元法的異同，并且指出：只要表述和處理都得當邊界解法的所有長處均可在有限元分析中得到保留。我們將會發現，這里所用的一些方法和第十二章中推導各種雜交單元的方法是一樣的。</p><p> </p><p>邊界群法的本質是；按標準形式為未知函數選擇一組試試探函數。</p><p>邊界解法和普通有限元法的差別在于：</p><p>（1）選擇形狀函數時要滿足式。</p><p>（2）只在問題的邊界條件上作出近似。</p><p>由于現在的離散處理僅涉及邊界，所以其參數的數目可以比準有限元法所用的少很多。
展開 作者： 黃國權
出版社： 機械工業出版社
出版日期：2004-6-5
CAEnet價：￥24元
郵費:￥5元
總價:￥29元
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ISBN：7111142926
頁數：259
版次：1-1
開本：787×1092
裝幀：簡
內容簡介
本書介紹了有限元法的基本思想和基本原理、桿系結構的有限元法、平面剛架問題的有限元法、彈性力學平面問題的有限元法、平面等參數單元的有限元法、空間問題的有限元法和結構動力學問題的有限元法以及采用ANSYS程序解決相關問題的過程。
本書是有限元法的入門教材，簡明易學，適合作為機械類專業或晨力學專業的本科生教材，也可作為工程技術人員和教師的參考書。
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o Adams/Flex：柔性體分析模塊，結合有限元法模擬部件彈性變形，適配精密機械、航空結構的振動與應力分析。
o Adams/Controls：機電一體化耦合模塊，與 MATLAB/Simulink 無縫對接，實現機械系統與控制系統聯合仿真。
3.
自 1990 年代 Moulinec 和 Suquet 提出基于 FFT 的線性解析法以來，譜方法憑借其無需網格劃分、直接處理微觀圖像的優勢，迅速成為挑戰傳統有限元法（FEM）的利器。
然而，早期的 FFT 框架大多局限于剛塑性或線性彈性。2012 年，Ricardo A.
針對三軸運動平臺等多體系統，直接采用有限元法進行全柔性建模將導致自由度龐大、計算效率低下。模態綜合法通過剛柔判別準則選取對系統動態響應貢獻顯著的低階模態，將物理坐標轉換為模態坐標，從而有效降低系統自由度；隨后，將降階后的柔性體模型與剛性部件通過運動副連接，建立完整的剛柔耦合多體系統模型。該方法在保證計算精度的同時顯著提高了仿真效率，其基本流程如圖1所示。
RecurDyn支持兩種柔性體技術：</p><p><strong>FFlex（全柔性體）</strong>：考慮所有節點的自由度，基于有限元法求解。適用于需要極高精度的局部應力分析和大變形問題。</p><p><strong>RFlex（模態柔性體）</strong>：僅考慮模態振型的自由度以降低模型階數。
我們通過有限元法模擬了調制效率與插入損耗的變化，并采用這兩項指標的乘積來評估Vπ效應及其相關損耗的綜合影響。如圖2d所示，為了實現高效的模式轉換，槽高度被選擇為150nm，這也被用于光柵耦合器（GC）、LN脊波導、MMI和PSW的相同刻蝕深度，以簡化制造工藝。至于槽寬，該品質因數隨著槽寬的減小而降低，因為當槽寬減小時，調制效率值（Vπ?L）的下降速度快于損耗的增加速度。
采用有限元法，將周期設置為Λ=420nm，并將孔尺寸D1、D2和D3分別設置為150、80和674nm（圖1a，底部）。當寬度D1減小而寬度D2增大時，我們發現光子帶隙在BZ圖中逐漸形成一個臨界點——當D1=D2時，該點被稱為橫電模式的狄拉克點（圖1b）。帶隙經歷閉合、交叉和重新開啟的過程，直至D1<D2。
而其他裂紋生成方法（如擴展有限元法XFEM）雖也可模擬裂紋擴展，但在多裂紋相互作用及碎屑分離的模擬中，存在單元積分復雜、計算成本高的問題，對于二維切削這類需要大規模模擬的場景，插入Cohesive單元法兼具精度與效率優勢。
全面的求解器技術
Feko集成了多種先進的求解器，包括矩量法（MoM）、有限元法（FEM）和物理光學法（PO），能夠高效處理從低頻到高頻、從簡單結構到復雜平臺的各種電磁問題。這種靈活性使得工程師能夠針對不同應用場景選擇最合適的求解方法，在保證精度的同時提升計算效率。
2.
（2） 上面方法缺點是實際工程我們不知道應該加哪個強制約束點或者如殼的屈曲，強制約束點太多無妨加和實際一樣的強制位移，所以實際工程更多的是加力，做出力和位移的關系，此時由于要越過馬鞍點，一般在有限元中采用弧長法（Risk）替代Newton迭代來計算，具體可看系列文章4：非線性問題的求解。
OptiFDTD應用：偏振分束器4個月前
在三維 OptiFDTD 中，通過有限元法（FEM）求解器進行精確的模式分析，以獲取光源注入的光模式分布（有限元法通用求解器的設置詳見表 1）。偏振分束器的三維模型分為三個部分：輸入區、耦合區和分離區，所有區域均位于 SOI 平臺上（結構的幾何參數詳情見圖 1、圖 2 及表 2）。
