1、引言

有限元方法是求解各種復雜數學物理問題的重要方法，是處理各種復雜工程問題的重要分析手段，也是進行科學研究的重要工具。該方法的應用和實施包括三個方面：計算原理、計算機軟件、計算機硬件。這三個方面是相互關聯的，缺一不可。正是由于計算機的飛速發展，才使得有限元方法的應用如此廣泛和普及，使之成為最長常用的分析工具。目前，國際上有90%的機械產品和裝備都要采用有限元進行分析，進而進行設計修改和優化。實際上有限元分析已經成為替代大量實物試驗的數值化“虛擬試驗”，基于該方法的大量計算分析與典型的驗證性試驗相結合可做到高效率和低成本。

2.有限元方法的歷史

20世紀40年代，由于航空事業的飛速發展，對飛機的結構提出了愈來愈高的要求，即質量輕、強度高、剛度好，人們不得不進行精確的設計和計算，正是在這一背景下，逐漸在工程 中產生了矩陣力學分析方法，1941年 ，Hrenikoff使用“框架邊形功德方法”求解了一個彈性 問題，1943年，Courant發表了一篇使用三角形區域的多 項式函數來求解扭轉問題的論文，這些工作開創了有限 元分析的先河。

1956年波音公司的Turner，Clough，Martin和Topp在分析飛機結構時系統研究了離散桿，梁三角形的單元剛度表達式，兵求得了平面應力問題的正確解答，1960年Clough在處理平面彈性平面時，第一次 提出并用“有限元方法”得名稱。隨后大量的工程師開 始使用這一離散方法來處理結構分析，流體問題，熱傳 導等復雜問題。1955年德國的Argyris出版了第一本關于 結構中能量原理和矩陣方法得書，為后續的有限元研究 奠定了重要的基礎，1967年Zienkiewciz和Cheung出版了 第一本有關有限元分析得專著。1970年以后有限元方法 開始應用于處理的非線性分大變形問題，Oden于1972年出版了第一本關于處理非線性連續體的專著。這一時期 的理論研究工作是比較簡單的實際問題，1975年，對一個300單元的模型，在當時先進的計算機上進行2000萬次 計算大約需要30小時的機時，花費約3萬美金，如此高昂 的計算成本嚴重限制了有限元方法得發展和普及。然而，許多工程師們都對有限元方法的發展你前途非常清楚，因為它提供了一種處理復雜真實問題的有力工具。

在工程師研究和應用有限元方法得同時，一些數學 家也在研究求解有限元的數學基礎，實際上1943年 Courant得哪一篇開創性得論文就是研究求解平衡問題的 變分方法，1963年Besseling，Meldsh和jones等人研究 了有限元方法得數學原理。還有學者進一步研究了加權 殘值法與有限元方法之間的關系，對于一些尚未確定出 能量泛函得復雜問題，也可以建立起有限元分析的基本方程，這可以將有限元方法德應用領域大大的擴展，我 國的胡海昌于1954年提出了廣義變分原理，錢偉長最先 研究了拉格朗日乘子法與廣義變分原理之間的關系。馮 康研究了有限元分析得精度于收斂性問題。

我國著名力學家，教育家徐芝綸院士（河海大學教授）首次將有限元法引入我國，對它的應用起了很大的推動作用。

3.有限元法的基本思想

有限元法（finite element method）是一種高效能、常用的計算方法。有限元法在早期是以變分原理為基礎發展起來的，所以它廣泛地應用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各類物理場中（這類場與泛函的極值問題有著緊密的聯系）。自從1969年以來，某些學者在流體力學中應用加權余數法中的迦遼金法(Galerkin)或最小二乘法等同樣獲得了有限元方程，因而有限元法可應用于以任何微分方程所描述的各類物理場中，而不再要求這類物理場和泛函的極值問題有所聯系。

基本思想：由解給定的泊松方程化為求解泛函的極值問題。

方法運用的基本步驟：

步驟1：剖分

將待解區域進行分割，離散成有限個元素的集合。元素（單元）的形狀原則上是任意的。二維問題一般采用三角形單元或矩形單元，三維空間可采用四面體或多面體等，每個單元的頂點稱為節點（或結點）。

步驟2：單元分析

進行分片插值，即將分割單元中任意點的未知函數用該分割單元中形狀函數及離散網格點上的函數值展開，即建立一個線性插值函數。

步驟3：求解近似變分方程

用有限個單元將連續體離散化，通過對有限個單元作分片插值求解各種力學、物理問題的一種數值方法。有限元法把連續體離散成有限個單元：桿系結構的單元是每一個桿件；連續體的單元是各種形狀（如三角形、四邊形、六面體等）的單元體。每個單元的場函數是只包含有限個待定節點參量的簡單場函數，這些單元場函數的集合就能近似代表整個連續體的場函數。根據能量方程或加權殘量方程可建立有限個待定參量的代數方程組，求解此離散方程組就得到有限元法的數值解。

有限元法已被用于求解線性和非線性問題，并建立了各種有限元模型，如協調、不協調、混合、雜交、擬協調元等。有限元法十分有效、通用性強、應用廣泛，已有許多大型或專用程序系統供工程設計使用。結合計算機輔助設計技術，有限元法也被用于計算機輔助制造中。