有限元法的案例
有限元法講解及運用常應變三角形單元解彈性力學平面問題（FORTRAN語言編寫有限元法程序算例）
自從1969年以來，某些學者在流體力學中應用加權余數法中的迦遼金法(Galerkin)或最小二乘法等同樣獲得了有限元方程，因而有限元法可應用于以任何微分方程所描述的各類物理場中，而不再要求這類物理場和泛函的極值問題有所聯系。
基本思想：由解給定的泊松方程化為求解泛函的極值問題。
方法運用的基本步驟：
步驟1：剖分
將待解區域進行分割，離散成有限個元素的集合。元素（單元）的形狀原則上是任意的。二維問題一般采用三角形單元或矩形單元，三維空間可采用四面體或多面體等，每個單元的頂點稱為節點（或結點）。
步驟2：單元分析
進行分片插值，即將分割單元中任意點的未知函數用該分割單元中形狀函數及離散網格點上的函數值展開，即建立一個線性插值函數。
步驟3：求解近似變分方程
用有限個單元將連續體離散化，通過對有限個單元作分片插值求解各種力學、物理問題的一種數值方法。有限元法把連續體離散成有限個單元：桿系結構的單元是每一個桿件；連續體的單元是各種形狀（如三角形、四邊形、六面體等）的單元體。每個單元的場函數是只包含有限個待定節點參量的簡單場函數，這些單元場函數的集合就能近似代表整個連續體的場函數。根據能量方程或加權殘量方程可建立有限個待定參量的代數方程組，求解此離散方程組就得到有限元法的數值解。
有限元法已被用于求解線性和非線性問題，并建立了各種有限元模型，如協調、不協調、混合、雜交、擬協調元等。有限元法十分有效、通用性強、應用廣泛，已有許多大型或專用程序系統供工程設計使用。結合計算機輔助設計技術，有限元法也被用于計算機輔助制造中。
展開 有限元法，有限差分法和有限體積法的區別 附有限體積法基礎文檔下載
有限差分方法(Finite Difference Method)
有限差分法是計算機數值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域。它以Taylor級數展開等方法，把控制方程中的導數用網格節點上的函數值的差商代替進行離散，從而建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。這是一種直接將微分問題變為代數問題的近似數值解法，數學概念直觀，表達簡單，是發展較早且比較成熟的數值方法。
構造差分的方法有多種形式，目前主要采用的是泰勒級數展開方法。其基本的差分表達式主要有三種形式：一階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計算精度，后兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式。
有限元方法(Finite Element Method)
有限元法的基礎是變分原理和加權余量法，其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內，選擇一些合適的節點作為求解函數的插值點，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導數的節點值與所選用的插值函數組成的線性表達式，借助于變分原理或加權余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權函數和插值函數形式，便構成不同的有限元方法。有限元方法最早應用于結構力學，后來隨著計算機的發展慢慢用于流體力學的數值模擬。
在有限元方法中，把計算域離散剖分為有限個互不重疊且相互連接的單元，在每個單元內選擇基函數，用單元基函數的線形組合來逼近單元中的真解，整個計算域上總體的基函數可以看為由每個單元基函數組成的，則整個計算域內的解可以看作是由所有單元上的近似解構成。常見的有限元計算方法是由變分法和加權余量法發展而來的里茲法和伽遼金法、最小二乘法等。
展開 斷裂力學與有限元法、邊界元法
<p> </p><p>盡管有限元法的適應性極強，并具有廣闊的應用領域，但這種利用局部定義的多項展開式來實現的方法仍有某些不足之處。具體來進，困難出現在如下兩種情況下：（a）問題的定義域為無限域時，（b）存在奇異性（部分或全部導數為無窮大）時。</p><p>顯然，無限域無法用有限的單元來得到；而用多項展開式來描述奇異性時則近似程度很差。事實上，收斂定理在后一個問題中已不再能使用，因為在奇異點附近泰勒展開式不再收斂。</p><p>在著重于實用的工程方法中，常常十分正確地迴避了這兩種困難，因為實際上無限域及奇異性只是數學上的假設——這使我們能用大而有限的區域及接近奇異的點得到有用的結果，然而這兩種數學“假設”都是有用的，因為利用它們能使計算工作量有本質性的下降。實際上大家都知道，對于“無限域”和“奇異性”問題，存在著許多極為簡單的精確解，只要有可能，利用這些解答總是值得的。因此，本章的任務就是論述如何在數值離散化方法中利用這些解析解，可以用許多其它的辦法把問題轉變（或簡單地修正一下，以避免無限域及奇異性，但最有效的還是所謂“邊界解”法或特雷弗茨（Trefftz）法。因此，我們將首先較為詳細地討論這種方法和有限元法的異同，并且指出：只要表述和處理都得當邊界解法的所有長處均可在有限元分析中得到保留。我們將會發現，這里所用的一些方法和第十二章中推導各種雜交單元的方法是一樣的。</p><p> </p><p>邊界群法的本質是；按標準形式為未知函數選擇一組試試探函數。</p><p>邊界解法和普通有限元法的差別在于：</p><p>（1）選擇形狀函數時要滿足式。</p><p>（2）只在問題的邊界條件上作出近似。</p><p>由于現在的離散處理僅涉及邊界，所以其參數的數目可以比準有限元法所用的少很多。
展開 有限元+譜元法的高頻計算 附隨機有限元譜方法下載
本質上講述了一個譜元法可以減小計算量的故事，不過借著一個別人沒有用過的對象來講述，所以具有了一定的新意。所以說創新有三種：原理和方法型創新、對象型創新和結果型創新。第一種創新是真創新，后面兩個故事講得好也是極好的。
譜元法是啥？譜元法基于力學方程弱形式由Patera在1984年計算流體力學中提出。譜方法和有限元法的思想類似，都是有離散單元的存在，它在有限單元上進行譜展開，所以具有有限元方法和偽譜法的思想，同時兼備有限元可以模擬任何復雜介質模型的韌性和偽譜法的精度，所以譜元法又稱為域分解譜方法或高階有限元法。跟有限元差別在于譜方法以一系列全局連續的函數（可以是三角函數、多項式等）的疊加來近似真實解，而有限元法則是使用單元內簡單多項式插值函數的疊加來近似真實解。即有限元的插值函數只在該單元內作用，而譜元法則是大家一起用。
對高頻振動問題來講，傳統方法以有限元通用性最好，但是有限元法中分析波傳播需要使單元大小與波長相當，且時間分辨率也非常小，計算效率較低。譜元法則通過上述的全局插值函數（有點類似全局基函數，選三角函數時還可以利用FFT提高計算效率）來解決這些問題。
譜元法有時域的和頻域兩種。時域譜元法和傳統的有限元法區別較小，應該說是一種高階的有限元法，其為了達到精度，細分網格是通過切比雪夫多項式或者勒讓德多項式等正交多項式的根來定網格節點。頻域譜元法是分析波傳播的一種有限元方法，在頻域內使位移函數采用波動方程的一般解，得到與頻率相關的動剛度矩陣，利用快速傅里葉變換實現時域和頻域的轉換。
本文以線纜為例，分析波的傳播對故障的診斷效果（需計算的波長跟故障尺度相當）。若用有限元方法，網格大小為波長1、6，需要成千上萬的單元節點，而頻域譜元法則只需很少的節點。
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《有限元法基礎及ANSYS 應用》
作者： 黃國權
出版社： 機械工業出版社
出版日期：2004-6-5
CAEnet價：￥24元
郵費:￥5元
總價:￥29元
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ISBN：7111142926
頁數：259
版次：1-1
開本：787×1092
裝幀：簡
內容簡介
本書介紹了有限元法的基本思想和基本原理、桿系結構的有限元法、平面剛架問題的有限元法、彈性力學平面問題的有限元法、平面等參數單元的有限元法、空間問題的有限元法和結構動力學問題的有限元法以及采用ANSYS程序解決相關問題的過程。
本書是有限元法的入門教材，簡明易學，適合作為機械類專業或晨力學專業的本科生教材，也可作為工程技術人員和教師的參考書。
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有限元法的概述
隨著電子計算機的飛躍發展和廣泛使用，已逐步趨向于采用數值方法來求解復雜的工程實際問題，而有限元法是這方面的一個比較新穎并且十分有效的數值方法。
有限元法是根據變分法原理來求解數學物理問題的一種數值計算方法。由于工程上的需要，特別是高速電子計算機的發展與應用，有限元法才在結構分析矩陣方法 基礎上，迅速地發展起來，并得到越來越廣泛的應用。
有限元法所以能得到迅速的發展和廣泛的應用，除了高速計算機的出現與發展提供了充分有利的條件以外，還與有限元法本身的所具有的優越性分不開的。其中主要有：
1）可完成一般力學中無法解決的對復雜結構的分析問題。
2）引入邊界條件的辦法簡單，為編編通用化的程序帶來了極大的簡化。
3）有限元法不僅適應于復雜的幾何形狀和邊界條件，而且能應用于復雜的材料性質問題。它還成功地用來求解如熱傳導、流體力學以及電磁場、生物力學等領域的問題。它幾乎適用于求解所有關于連續介質和場的問題。
有限元法的應用與電子計算機緊密相關，由于該法采用矩陣形式表達，便于編制計算機程序，可以充分利用高速電子計算機所提供的方便。因而，有限元法已被公認為工程分析的有效工具，受到普遍的重視。隨著機械產品日益向高速、高效、高精度和高度自動化技術方向發展，有限元法在現代先進制造技術的作用和地位也越來越顯著，它已經成為現代機械產品設計中的一種重要的且必不可少的工具。
展開 有限元法（FEM） 附有限元仿真實踐原理下載
其他有限元公式
在上述例子中，我們為基函數和試函數使用了相同的函數集來實現模型方程的離散化。如果一個有限元公式可以使試函數不同于基函數，則該公式稱為 Petrov-Galerkin 法。這是一種常用的方法；例如，在解決對流-擴散問題的過程中，只會對流線方向進行穩定化處理。其也被稱為流線迎風 /Petrov-Galerkin（SUPG）法。
在耦合方程組的求解過程中，不同的因變量可能會用到不同的基函數。一個典型的例子是納維-斯托克斯方程的求解，其中的壓力往往比速度更平滑、更易進行近似。在某類方法中，如果一個耦合方程組中不同的因變量的基函數（以及試函數）屬于不同的函數空間，那么這類方法便稱為混合有限元法。
COMSOL Multiphysics 軟件中用于流體流動分析的混合單元法的設置，其中二次形函數（基函數）用于計算速度，線性形函數用于計算壓力。
下載地址：有限元仿真實踐原理
展開 技術 | 有限元法的發展現狀及應用
3 結束語
有限元法在制造業、醫學、物流、建筑等各領域中都得到了廣泛應用，但是由于計算能力等條件的限制，國內有限元法的應用相比于國外而言還有一定的差距。不過隨著我國高性能計算機和計算技術的日益發展，計算能力逐步提高，有限元法將成為更有效的一種分析方法。
【介紹】塑性成形過程中的有限元法
金屬材料的塑性加工過程，均可以利用有限元法進行分析，而其它的數值方法往往會受到一些限制。
（2）能夠提供金屬塑性成形過程中變形力學的詳細信息（應力應變場、速度場、溫度場、網格畸變等），為優化成形工藝參數及模具結構設計提供詳細而可靠的依據。
（3）雖然有限元法的計算精度與所選擇的單元種類，單元的大小等有關，但隨著計算機技術的發展，有限元法將提供高精度的技術結果。
（4）用有限元法編制的計算機程序通用性強，可以用于求解大量復雜的問題，只需修改少量的輸入數據即可。
（5）由于計算過程完全計算機化，既可以減少一定的試驗工作，又可直接與CAD/CAM實現集成，使模具設計過程自動化。
就金屬塑性成形領域而言，有限元法大致可分為兩類，一種是固體形塑性有限元法(Solid Formulation)—彈塑性有限元法，這類有限元同時考慮彈性變形和塑性變形，彈性區采用虎克定律，塑性區采用Prandte－Reuss方程和Mises屈服準則，對于小塑性變形所求的未知量是單元節點位移，適用于分析結構的失穩，屈服等工程問題。對于大塑性變形，采用增量法分析。這類有限元法的特點是考慮彈性區與塑性區的相互關系，既可以分析加載過程，又可以分析卸載過程，包括計算殘余應力應變及回彈、以及模具和工件之間的相互作用，可以處理幾何非線性和非穩態問題，其缺點是所取是的步長不能太大，計算工作量繁重，對于非線性硬化材料計算復雜。過去彈塑性有限元法主要適用于分析板料成形、彎曲等工序。但近年來隨著計算機硬件技術的發展，這種方法正在朝著更廣的應用范圍擴展。
展開 [有限元原理]有限差分法與有限單元法的區別
、非均勻化多尺度方法、以及小波數值均勻化方法、多尺度有限體積法、多尺度有限元法等。
電子書：有限元法概論
有限元計算基本理論，經典
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有限元基礎理論——有限元法 ￥1
筆者前述
有限元法作為當今科學研究與工程應用中被廣泛應用的一種數值方法，受到越來越多人關注，越來越多學者與高校學生也開始從事有限元分析。筆者作為一個CAE菜鳥，在剛接觸有限元分析時，有種被有限元虐的體無完膚的凄慘，一個人摸索，真是處處碰壁，原本打雞血似的學習熱情也慢慢冷卻，就這樣持續一段時間后，在不斷查看相關論壇與帖子之后，終于迎來了轉機。
在技術鄰的帖子里，看到了一些前輩分享的學習經驗，了解到學習有限元分析，萬萬不能停留在只學習軟件操作的層面上，過去的我，因為沒有這個思想指導，忽略了理論的學習，導致一直在學習案例，雖然跟著視頻可以完整的做出一個案例，但是在做的過程中，完全不知道為何這么做，為什么這么設置？原理是什么？久而久之，由于無法自己創造出東西來，就會被一直的模仿操作消磨掉學習興趣與耐心。所以，我開始接觸一些有限元理論和力學理論，發現當你有意識地去完成一個項目和案例，會大大提高你的學習動力和毅力，就這樣，我開始進行理論學習與操作學習相結合的學習生活。此帖，主要是我學習有限元法的相關筆記，供大家參考。
如何學習有限元
首先，我們要明白，CAE是一種解決復雜問題的思路，其理論基礎是有限單元法（有限差分法、有限體積法以及邊界元法）等數值方法，基于這些數值計算的理論基礎，我們開發出來ANSYS、ABAQUS等各種有限元軟件，用于降低我們利用有限元法等數值計算方法進行分析問題的難度，這意味著他們只是一種工具。所以，如果不懂有限元，學習CAE沒有多大意義。會用軟件只是軟件操作層面，對學習者并沒有太大要求，稍微有點文化或者懂點英文，就能對著教材或者視頻做完一個案例，問題是做完之后，絕大部分人甚至都不知道自己在做什么，結果是什么含義，他們一片茫然，這種學習方式，基本上沒有什么用處。
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