矢量有限元法
關注創建者：匿名 創建時間：2026-01-04
矢量有限元法的視頻教程
沉澱原創精品系列1：XFEM擴展有限元法一個例子足以-三點彎曲開裂
只出精品課程，講解干貨！ -------------------------- Hello，I am 沉澱，一個做開裂7年的仿真老司機，from Xian Jiaotong University. 這是在技術鄰發布的第一個視頻，錄制后我自己看了下，由于采用的是筆記本，沒有使用耳麥，所以聲音不是特別大，請把技術鄰和電腦聲音調至最大，有任何不明白和聽不清的地方請WX聯系我，給你解讀，內容都是干貨
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ABAQUS清華大學博士學位論文復現——帶隔板鋼混組合梁抗剪性能試驗（有限元初始剛度降低大法）
有限元模擬中，無論是梁試驗、軸壓試驗或是滯回試驗的有限元模擬都可能出現初始剛度比試驗結果大很多的情況。本教程以清華大學博士學位論文中的帶隔板鋼混組合梁抗剪性能試驗為案例，分析有限元初始剛度較大的原因，并合理調整至于試驗結果吻合。模擬結果表明： 1、破壞形態與試驗吻合，試件發生剪切破壞； 2、荷載—位移曲線與試驗吻合，初始剛度和試驗一致。
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矢量有限元法的實例教程
上面的表格顯示了對于前六光纖矢量模式計算的模折射率。將一個光纖矢量求解器作為基準，并標簽為“Exact”。此外，ADI、FD和FEM求解也都用于計算光纖模態。其中FEM分為兩組：第一組使用1階量，第二組使用3階量。但在表格中沒有給出各求解器所花費時間。其中，FEM計算時間與FD的計算時間大概一致，(FD耗時~109秒，FEM耗時~65秒)。
表格充分說明了FEM模態求解器的優勢和ADI的不足。ADI方法計算速度快，但是尋找較高精度高階模態比較困難，而且其精度隨波導對比度提高而降低。FD法優于ADI，但精度最好的是FEM法。這并不僅對于光纖模態，對于矩形和任意形狀波導也同樣適用。
有限元求解器如此精確的主要原因之一是其近似幾何體的方式。ADI和FD采用小矩形進行折射率采樣，這導致了對角線或曲線的階梯式近似。理論上，矩形晶元可以縮小至階梯式以進行一個很好的近似，但在實踐中它仍然會導致相當大的誤差。有限元求解器使用三角形網格可以近似對角線到一個高精度水平，并可以提供足夠少的三角來近似曲線。
展開 波導尺寸與感興趣的電磁場區域可能有幾個數量級的差別，如長距離等離子體激元。
1. 應用
? 硅光子學
? 波導設計
? 空心光纖
? 亞波長光學
? 彎曲波導
? 長距離等離子體激元
高折射率對比光纖
2. 優勢
? 矢量有限元法速度非常快，而且精度高
? 全矢量公式化各向異性模式求解器
? 能夠使用5階插值混合向量/節點量，以去掉偽解并極大的增加精度
? 可利用布局的對稱性降低仿真域尺寸
? 單軸完全匹配層(UPML)可以用來找到遺漏的模式
? 三角網格大小可調整以精確近似電磁場和波導的幾何結構
? 模態指數評估可提高速度，還可以用來搜索特定的光學模式
? 采用變換光學精確地計算彎曲波導的模式，,即使是一個很小的曲率半徑
3. 仿真描述
在矢量有限元法與其他模式求解器進行對比之前，應對不同的階數的基礎函數的準確性進行了測試。最簡單的波導是一個均勻介質微波波導。纖芯是一個簡單電介質，包層被視為一個完美的電導體，以描述一個矩形金屬墻。
下面的圖標中顯示了VFEM結果和解析結果間的相對百分比誤差。誤差根據有限元網格中自由度結果的方程進行繪制。
圖1.VFEM計算的平均誤差
前5個模式誤差的平均值如圖1中所繪制。其清晰表明，對于一個傳播常數，增加基礎方程的階次可以獲得更高精度的結果。在x=400時，增加基礎方程的級次，等于近乎提高數量級高度的精度。此處應該指出的是，最大平均誤差僅為0.3%。
對一個纖芯折射率1.5和包層折射率為1.0的高對比光纖，對比使用不同方法的模態求解器。
展開 這些表面等離子體激元(SPPs)在金屬電介質界面具有電場強度極值，由于其對任意接近該表面的改變極其敏感通常可用于傳感應用。利用合適的模式解算器可以得到具有2D結構的導模。
等離子體平均功率流圖
1.應用
?亞波長光學
?傳感
?信號傳輸
?光學偏振器
?彎曲波導
2.優勢
?VFEM模式求解器可輕松處理高橫縱比的波導
?搜索具有復值模式指數的模態
?高階插值混合向量/節點元素,可以準確地捕捉到金屬與電介質交界面附近的高電場強度
?三角網格尺寸能夠適應高精度材料屬性
?利用波導的對稱性，可以降低仿真域并把具有特定對稱性的模態作為目標
?VFEM快速而且精確
3.仿真描述
矢量有限元法（VFEM）模式求解器接收復介電常數材料，并使用特別適合對高對比度介電界面進行建模的矢量基函數來表示。其中一個很好的例子就是使用VFEM模式求解器來計算表面等離子傳導結構。
該結構在研究中背面顯示為黑色輪廓線，中心范圍的銀由介電常數為4的材料圍繞。材料銀在633nm波長的介電常數是-19-j0.53[1]。該傳導結構不僅僅有高介電常數對比度組成，同時具有較高的橫縱比，即寬度遠大于厚度。
利用對稱邊界和如[1]中分類的模式組合，相應波導厚度模式的色散曲線如圖1所示。所有模式具有一個主Ey分量，該分量有TM模組成并具有無限寬度結構。
圖1 模態指數作為銀厚度的函數
對于厚度值較小的一些模式表現出較小的損耗，如SS0模式，其Ey分量關于x和y軸對稱。SS0模式備受關注，因為除了其較低的損耗，其坡印廷矢量與一個光纖(HE11)的基模在形狀上極為相似[1]。
SS0模式的坡印廷矢量沿軸傳輸顯示在背面；注意的是，功率在交界面的限制遠大于中心。
展開 這些表面等離子體激元(SPPs)在金屬電介質界面具有電場強度極值，由于其對任意接近該表面的改變極其敏感通常可用于傳感應用。利用合適的模式解算器可以得到具有2D結構的導模。
等離子體平均功率流圖
1. 應用
?
亞波長光學
?
傳感
?
信號傳輸
?
光學偏振器
?
彎曲波導
2. 優勢
?
VFEM模式求解器可輕松處理高橫縱比的波導
?
搜索具有復值模式指數的模態
?
高階插值混合向量/節點元素,可以準確地捕捉到金屬與電介質交界面附近的高電場強度
?
三角網格尺寸能夠適應高精度材料屬性
?
利用波導的對稱性，可以降低仿真域并把具有特定對稱性的模態作為目標
?
VFEM快速而且精確
3. 仿真描述
矢量有限元法（VFEM）模式求解器接收復介電常數材料，并使用特別適合對高對比度介電界面進行建模的矢量基函數來表示。其中一個很好的例子就是使用VFEM模式求解器來計算表面等離子傳導結構。
該結構在研究中背面顯示為黑色輪廓線，中心范圍的銀由介電常數為4的材料圍繞。材料銀在633nm波長的介電常數是-19-j0.53[1]。該傳導結構不僅僅有高介電常數對比度組成，同時具有較高的橫縱比，即寬度遠大于厚度。
利用對稱邊界和如[1]中分類的模式組合，相應波導厚度模式的色散曲線如圖1所示。所有模式具有一個主Ey分量，該分量有TM模組成并具有無限寬度結構。
展開 有限差分方法(Finite Difference Method)
有限差分法是計算機數值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域。它以Taylor級數展開等方法，把控制方程中的導數用網格節點上的函數值的差商代替進行離散，從而建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。這是一種直接將微分問題變為代數問題的近似數值解法，數學概念直觀，表達簡單，是發展較早且比較成熟的數值方法。
構造差分的方法有多種形式，目前主要采用的是泰勒級數展開方法。其基本的差分表達式主要有三種形式：一階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計算精度，后兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式。
有限元方法(Finite Element Method)
有限元法的基礎是變分原理和加權余量法，其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內，選擇一些合適的節點作為求解函數的插值點，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導數的節點值與所選用的插值函數組成的線性表達式，借助于變分原理或加權余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權函數和插值函數形式，便構成不同的有限元方法。有限元方法最早應用于結構力學，后來隨著計算機的發展慢慢用于流體力學的數值模擬。
在有限元方法中，把計算域離散剖分為有限個互不重疊且相互連接的單元，在每個單元內選擇基函數，用單元基函數的線形組合來逼近單元中的真解，整個計算域上總體的基函數可以看為由每個單元基函數組成的，則整個計算域內的解可以看作是由所有單元上的近似解構成。常見的有限元計算方法是由變分法和加權余量法發展而來的里茲法和伽遼金法、最小二乘法等。
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<p>關鍵詞：增材制造；有限元，元胞自動機，凝固組織，晶體塑性</p><p class="ql-align-justify">增材制造技術是一種先進的數字化制造技術，其采用熱源熔融離散材料（如粉末），并逐層逐道沉積成3維實體構建。這與傳統減材制造 (切削、磨削等) 和等材制造 (鑄造、鍛壓等) 加工材料方式的本質不同。增材制造過程伴隨著快速的熔化和凝固循環，材料經歷復雜的熱歷程。這導致熔池內部及相鄰層
仿真描述
矢量有限元法（VFEM）模式求解器接收復介電常數材料，并使用特別適合對高對比度介電界面進行建模的矢量基函數來表示。其中一個很好的例子就是使用VFEM模式求解器來計算表面等離子傳導結構。
該結構在研究中背面顯示為黑色輪廓線，中心范圍的銀由介電常數為4的材料圍繞。材料銀在633nm波長的介電常數是-19-j0.53[1]。
信號傳輸
?光學偏振器
?彎曲波導
2.優勢
?VFEM模式求解器可輕松處理高橫縱比的波導
?搜索具有復值模式指數的模態
?高階插值混合向量/節點元素,可以準確地捕捉到金屬與電介質交界面附近的高電場強度
?三角網格尺寸能夠適應高精度材料屬性
?利用波導的對稱性，可以降低仿真域并把具有特定對稱性的模態作為目標
?VFEM快速而且精確
3.仿真描述
矢量有限元法
UPML)可以用來找到遺漏的模式
?三角網格大小可調整以精確近似電磁場和波導的幾何結構
?模態指數評估可提高速度，還可以用來搜索特定的光學模式
?采用變換光學精確地計算彎曲波導的模式，,即使是一個很小的曲率半徑
3.仿真描述
在矢量有限元法與其他模式求解器進行對比之前，應對不同的階數的基礎函數的準確性進行了測試。
仿真描述
在矢量有限元法與其他模式求解器進行對比之前，應對不同的階數的基礎函數的準確性進行了測試。最簡單的波導是一個均勻介質微波波導。纖芯是一個簡單電介質，包層被視為一個完美的電導體，以描述一個矩形金屬墻。
下面的圖標中顯示了VFEM結果和解析結果間的相對百分比誤差。誤差根據有限元網格中自由度結果的方程進行繪制。
<p> </p><p>盡管有限元法的適應性極強，并具有廣闊的應用領域，但這種利用局部定義的多項展開式來實現的方法仍有某些不足之處。具體來進，困難出現在如下兩種情況下：（a）問題的定義域為無限域時，（b）存在奇異性（部分或全部導數為無窮大）時。</p><p>顯然，無限域無法用有限的單元來得到；而用多項展開式來描述奇異性時則近似程度很差。事實上，收斂定理在后一個問題中已不再能使用，因為在奇異點附近泰勒展開式不再收斂
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（原創，轉載請注明出處）
1 概述
本系列文章研究成熟的有限元理論基礎及在商用有限元軟件的實現方式，通過
（1） 基礎理論
（2） 商軟操作
（3） 自編程序
三者結合的方式將復雜繁瑣的結構有限元理論通過簡單直觀的方式展現出來，同時深層次的學習有限元理論和商業軟件的內部實現原理。
有限元的理論發展了幾十年已經相當成熟，商用有限元軟件同樣也是采用這些成熟的有限元理論，只是在實際應用過程中
采用矢量有限元法
應用
? 無源光學
? 單偏振傳輸
? 偏振分束器
? 光子晶體光纖
? 偏振復用
? 色散控制
綜述
設計了一種橢圓-纖芯-圓孔的多孔光纖(EC-CHFs)用于單偏振傳輸[1]。
Nastran 有限元法的計算步驟
有限元法的計算步驟可歸納為網格劃分
