彈性力學；基本方程；張量
關注創建者：博集華仿 創建時間：2019-07-01
彈性力學；基本方程；張量的實例教程
一：平面問題
01 設應力為x，y的線性函數（即二階微分等于0）
02 平衡方程（平衡微分方程）
應力與體力的關系：
03 設位移為x，y的線性函數（即二階微分等于0）
04 幾何方程（幾何微分方程）
應變與位移的關系：
05 物理方程（非微分方程）
應力與應變的關系：
06 邊界條件
位移邊界條件：
應力邊界條件：
07 用位移表示的平衡微分方程
由物理方程
可得，
將幾何方程代入，可得，
代入到平衡方程，可得用位移表示的平衡微分方程：
08 用位移表示的應力邊界條件
09 用應變表示的相容方程
由幾何方程
可得，
10 用應力表示的相容方程
將物理方程代入到用應變表示的相容方程，可得
將平衡方程代入，可得，
11 位移邊界條件一般無法轉為應力邊界條件
12 艾里應力函數（平面問題的應力函數）
假設體力為常量，
平衡方程：
相容方程：
求解平衡方程的通解（特解+齊次方程的通解）：
無論艾里應力函數是什么樣的，應力分量總能滿足平衡方程。
13 用應力函數表示的相容方程
14 逆解法
首先假設滿足相容方程的應力函數；然后求出應力分量；最后校核應力分量滿足應力邊界條件。
15 半逆解法
首先假設滿足應力邊界條件的部分或全部應力分量；然后推出應力函數；最后校核應力函數滿足相容方程，以及其它應力分量滿足應力邊界條件。
展開 平衡方程
展開式
坐標即應力張量圖3
二：空間問題
01 平衡方程
02 幾何方程
03 物理方程
04 十五個基本方程
三個平衡方程，六個幾何方程，六個物理方程，空間問題，合計十五個基本方程。這是求解彈性問題的最根本依據。
05 邊界條件
位移邊界條件：
應力邊界條件：
06 位移法
用位移表示的平衡方程
也可用位移表示應力邊界條件，方程太長，故不展示。
07 應力法
用應變表示的相容方程，用應力表示的相容方程，方程都太長，故不展示。特殊形式還有，米歇爾相容方程，貝爾特拉米相容方程。
按應力求解，應力分量必須滿足平衡方程，相容方程，以及應力邊界條件。
三：張量表達
01 三類物理量
比如：溫度，密度；
比如：位移，速度，加速度；
比如：應力，應變；
注：標量也叫做零階張量，矢量叫做一階張量，應力應變是二階張量，還有三階四階更高階張量。目前筆者接觸的張量只到二階。
02 應力張量
03 應變張量
04 平衡方程的張量形式
05 幾何方程的張量形式
06 物理方程的張量形式
07 邊界條件的張量形式
四：矩陣表達
展開 平衡方程
彈性體V域內任一點沿坐標軸x,y,z方向平衡方程
其中 ， ， 為單位體積的體積力在x,y,z方向的分量
平衡方程矩陣形式
其中
是體積向量，
應力列陣（應力向量）
應力分量正負號規定
如果某一個面的外法線方向與坐標軸的正方向一致，這個面上的應力分量就以沿坐標軸正方向為正，與坐標軸反方向為負；相反如果某一個面的外法向方向與坐標軸的負方向一致，這個面上的應力分量就以沿坐標軸負方向為正，與坐標軸同向為負。應力分量及正方向如圖1
彈性力學；基本方程；張量的相關專題、標簽、搜索
彈性力學；基本方程；張量的最新內容
個人隨記、感想，懇請指出錯誤。
參考資料見文后，文中的引用以“作者+頁碼”、“作者名年份+頁碼”等方式呈現。
之前在學習有限元過程中，在曾攀老師的《有限元分析及應用》P299看到結構動力學的運動平衡方程，其中表示位移的二階和一階導的第三、四項寫法上都是其上加一點，本質是df/dt的形式，見下圖：
有一天我翻開吳家龍老師的《彈性力學》（高教社第五版）P52，發現運動平衡方程中的速度二階導項符號用的是偏導符號
在彈性力學的問題里，通常是已知物體的形狀和大小（即已知物體的邊界）、物體的彈性常數、物體所受的體力、物體邊界上所受的約束情況或面力，而應力分量、形變分量和位移分量則是需要求解的未知量。
如何由這些已知量求出未知量，彈性力學的研究方法是：在彈性體區域內部，考慮靜力學、幾何學和物理學三方面條件，分別建立三套方程。即根據微分體的平衡條件，建立平衡微分方程；根據微分線段上形變與位移之間的幾何關系
幾種求解彈性力學方程的方法及特點
二：空間問題
01 平衡方程
02 幾何方程
03 物理方程
04 十五個基本方程
三個平衡方程，六個幾何方程，六個物理方程，空間問題，合計十五個基本方程。這是求解彈性問題的最根本依據。
05 邊界條件
位移邊界條件：
應力邊界條件：
06 位移法
用位移表示的平衡方程
一：平面問題
01 設應力為x，y的線性函數（即二階微分等于0）
02 平衡方程（平衡微分方程）
應力與體力的關系：
03 設位移為x，y的線性函數（即二階微分等于0）
04 幾何方程（幾何微分方程）
應變與位移的關系：
05 物理方程（非微分方程）
應力與應變的關系：
06 邊界條件
位移邊界條件
已知雞和兔同在一個籠子里，頭有 35個，腳有94只。問籠中有多少只雞，多少只兔？這是我國歷史上著名的雞兔同籠問題，現在也成了奧數的經典題目。
雞兔同籠問題在我國已經流傳了1500多年（出自《孫子算經》，成書于公元4-5世紀），有多種求解方法，不用方程一種有趣的解法是先假設雞和兔能聽懂人話，然后一個人下命令：所有動物都抬起一只腳， 94-35=59，地上還有59只腳；再抬起一只腳，59-
彈性力學與張量分析（郭日修）簡介 [文件為pdg格式，需用超星打開]
本書第一篇張量分析，討論張量的概念、張量代數和張量分析。本篇以普遍張量為討論對象，引導讀者在正確理解張量概念的基礎上掌握張量分析這一數學工具。第一篇相對獨立地供研究生張量分析課程作教材用。本書第二、三篇合為彈性力學。第二篇彈性力學基本方程，含應力分析、應變分析、應力-應變關系、彈性力學基本方程。第三篇彈性力學問題及解題方法，含若干線彈性力學問題的精確解
彈性力學與張量分析
彈性力學與張量分析.part1.rar
彈性力學與張量分析.part2.rar
彈性力學與張量分析.part3.rar
彈性力學與張量分析.part4.rar
目錄：
第一章 緒論
第一節 彈性力學邁值問題地變分描述
第二節 固體力學中變分原理的定義和分類
第三節 變分原理的優點
第四節 本課程的目的
第二章 變分法的若干基本概念
第一節 變分法問題的簡例
第二節 函數與泛函
第三節 變分的若干運算性質
第四節 變分學中的若干基本定理
第五節 幾種類型泛函的駐值問題 Euler方程
第六節 條件駐值問題
第三章 彈性力學中的變分原理與有限元模型
第一節 彈性力學基本方程的張量表示
第一章 緒論
第一節 彈性力學邁值問題地變分描述
第二節 固體力學中變分原理的定義和分類
第三節 變分原理的優點
第四節 本課程的目的
第二章 變分法的若干基本概念
第一節 變分法問題的簡例
第二節 函數與泛函
第三節 變分的若干運算性質
第四節 變分學中的若干基本定理
第五節 幾種類型泛函的駐值問題 Euler方程
第六節 條件駐值問題
第三章 彈性力學中的變分原理與有限元模型
第一節 彈性力學基本方程的張量表示
