已知雞和兔同在一個(gè)籠子里，頭有 35個(gè)，腳有94只。問籠中有多少只雞，多少只兔？這是我國歷史上著名的雞兔同籠問題，現(xiàn)在也成了奧數(shù)的經(jīng)典題目。

 

雞兔同籠問題在我國已經(jīng)流傳了1500多年（出自《孫子算經(jīng)》，成書于公元4-5世紀(jì)），有多種求解方法，不用方程一種有趣的解法是先假設(shè)雞和兔能聽懂人話，然后一個(gè)人下命令：所有動(dòng)物都抬起一只腳， 94-35=59，地上還有59只腳；再抬起一只腳，59-35=24，還有24只腳，此時(shí)雞一屁股就坐地上了，站著的全是兔子，每只兔子兩只腳，24/2=12，得兔子12，再35-12=23，得雞23只。

 

這種方法雖然有效，但其通用性較差。設(shè)未知數(shù)、列方程則是這類問題的通用方法，讓求解變得簡潔、明了。先設(shè)籠中有雞x只，兔子y只。然后，依據(jù)題意，列方程：

 

腦袋數(shù)：x+y=35

腳數(shù)：2x+4y=94

 

解上述方程組，得 x=23，y=12。則得雞、兔數(shù)目。

 

在求解雞兔同籠問題中，首先要設(shè)出未知數(shù)（雞有x只，兔子y只），然后依據(jù)題目求解未知數(shù)滿足的等式（2個(gè)未知數(shù)列兩個(gè)方程，x+y=35，2x+4y=94），最后求解（x=23，y=12）。從設(shè)未知數(shù)、列方程、求解這三個(gè)步驟看，彈性力學(xué)的理論體系和雞兔同籠問題具有一致性，也是設(shè)未知數(shù)、列方程、求解三個(gè)步驟。以下我們重點(diǎn)來討論彈性力學(xué)是如何以這三步構(gòu)建的理論體系。

 

01彈性力學(xué)的未知數(shù)

設(shè)未知數(shù)和要求解的問題緊密相關(guān)，那么彈性力學(xué)要解決什么問題呢？

 

在材料力學(xué)中已經(jīng)指出，變形體力學(xué)主要解決三類工程問題：強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性，這也是彈性力學(xué)的工程目標(biāo)。但是材料力學(xué)只能解決細(xì)長結(jié)構(gòu)，如桿、軸、梁的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性問題。

 

然而，在生活中放眼一望，非細(xì)長結(jié)構(gòu)在我們的日常生活中占據(jù)著主要地位，如吃飯用的鍋、碗，居家的房子，路上跑著的汽車，天上飛著的飛機(jī)…，實(shí)際上細(xì)長結(jié)構(gòu)在我們的生活中只是一類“特殊結(jié)構(gòu)”，也就是說除了“細(xì)長結(jié)構(gòu)”下，大量的工程問題材料力學(xué)無能為力。彈性力學(xué)的工程目標(biāo)就是突破材料力學(xué)的這一局限，解決一切形式工程結(jié)構(gòu)中的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性問題。反過來，為了這一工程目標(biāo)而形成的一般理論，又可以在特殊情況下，去證明材料力學(xué)中某些結(jié)論的正確性。

怎么解決一切形式的結(jié)構(gòu)問題呢？彈性力學(xué)想到了微元體。

微元體的好處就是可以組成任意形狀的結(jié)構(gòu)，這就突破了材料力學(xué)細(xì)長結(jié)構(gòu)的限制。如圖1所示的任意形狀的物體，考慮其上任意一點(diǎn)P，畫出P點(diǎn)的微元體。由于所取點(diǎn)的任意性，只要研究清楚一點(diǎn)處的情況，就可以推廣到物體上任意一點(diǎn)的情況。

考慮微元體的受力和變形情況，可以通過應(yīng)力、應(yīng)變和位移三類力學(xué)量來描述，如下：

這里一共有6個(gè)應(yīng)力分量，6個(gè)應(yīng)變分量和3個(gè)位移分量，共15個(gè)量。回顧一下材料力學(xué)是如何解決工程中的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性的。

對于強(qiáng)度問題，第一強(qiáng)度理論最大拉應(yīng)力理論，第二強(qiáng)度理論最大伸長線應(yīng)變理論，第三強(qiáng)度理論最大切應(yīng)力理論，第四強(qiáng)度理論形狀改變比能理論。很明顯，如果我們能求出P點(diǎn)的應(yīng)力、應(yīng)變，強(qiáng)度問題就可以解決。

 

剛度要求指構(gòu)件在變形過程不能超過規(guī)定的最大變形量，如果我們能夠求出P點(diǎn)位移分量，那么剛度是否滿足要求也可以判定。

穩(wěn)定性問題在材料力學(xué)中的核心是研究結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的臨界載荷，載荷換算到內(nèi)力上，就可以用應(yīng)力來表示，也就是說求解P點(diǎn)應(yīng)力就可以解決P點(diǎn)的穩(wěn)定性問題。

 

再強(qiáng)調(diào)一遍，由于P點(diǎn)的任意性，也就是說P點(diǎn)的求解結(jié)果，同樣適用于物體上任意的其它點(diǎn)，當(dāng)我們把物體上所有點(diǎn)的結(jié)果都求出來了，整個(gè)物體上的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性問題也就都解決了。所以，前面提到的6個(gè)應(yīng)力分量、6個(gè)應(yīng)變分量和3個(gè)位移分量（共15個(gè)量）就是彈性力學(xué)的待求未知量（由于這些量有確定的力學(xué)含義，純數(shù)學(xué)方程中的稱為未知數(shù)，這里稱為未知量）。

02 彈性力學(xué)的基本方程

 

理解了彈性力學(xué)中的未知量，剩余的就是如何列方程和求解方程的問題。我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù).方程章注》中說，“程，課程也。群務(wù)總雜，各列有數(shù)，總言其實(shí)，令每行為率。二物者二程，三物者三程，皆如物數(shù)程之，并列為行，故謂之方程。”其中，“二物者二程，三物者三程”求兩物的數(shù)列兩個(gè)方程，求三物的數(shù)就列三個(gè)方程。顯然，有幾個(gè)未知數(shù)，就需要列幾個(gè)方程。

 

在彈性力學(xué)中15個(gè)未知量就需要列15個(gè)方程，如下所示，有平衡方程3個(gè)，幾何方程6個(gè)，以及物理方程6個(gè)，恰好15個(gè)方程構(gòu)成封閉方程組。只不過這些方程變成了偏微分方程，要比雞兔同籠問題中的代數(shù)方面要復(fù)雜的多。

03 彈性力學(xué)求解

再來看求解，對于求解線性方程組，常用消元法先將未知數(shù)的數(shù)量減少，然后再求解。求解彈性力學(xué)大致也是這樣，必須先減少未知量的個(gè)數(shù)才能求解。彈性力學(xué)問題求解有兩類方法，力法和位移法，實(shí)際上力法就是將所有未知數(shù)都用應(yīng)力來替代，而位移法是將所有的未知數(shù)用位移來替代，如果從線性代數(shù)、方程組角度來看就是消元法。

另外，從彈性力學(xué)的基本方程可以看出，組成彈性力學(xué)基本方程的平衡方程和幾何方程都是偏微分方程，求解微分方程必然會產(chǎn)生積分常數(shù)，而積分常數(shù)的確定就必須補(bǔ)充邊界條件，只有在一定的邊界條件下，彈性力學(xué)的解才是唯一的。

試想一下，同樣是混凝土，做成水庫的大壩、蓋成高樓大廈、抑或做成橋梁，如果用彈性理論求解，這些結(jié)構(gòu)所滿足的基本方程都是前面所說的15個(gè)方程，但它們的解肯定不一樣。這正是因?yàn)檫吔鐥l件的千差萬別，才造成了現(xiàn)實(shí)世界中彈性力學(xué)解的豐富多樣。

 

結(jié)語

以此來看，彈性力學(xué)的基本思想和求解雞兔同籠問題的基本思想是一致的，都是先設(shè)出未知量，然后列出未知量滿足的基本方程，最后通過消元法求解。畫出雞兔同籠問題與彈性力學(xué)的對應(yīng)關(guān)系如下表格：

在彈性力學(xué)學(xué)習(xí)中，理解了彈性力學(xué)的工程目標(biāo)和方法，設(shè)未知數(shù)相對簡單，重點(diǎn)就是列方程和求解，可以說彈性力學(xué)有兩大主要內(nèi)容：一是構(gòu)建彈性力學(xué)的理論體系（列方程，包括設(shè)未知數(shù)），二是如果求解彈性力學(xué)問題（求解方程，包括邊界條件）。

來源：力學(xué)酒吧

作者：張偉偉