彈性力學(xué)；基本方程；張量的案例
彈性力學(xué)基本方程及其張量表達(dá)（一）
一：平面問(wèn)題
01 設(shè)應(yīng)力為x，y的線性函數(shù)（即二階微分等于0）
02 平衡方程（平衡微分方程）
應(yīng)力與體力的關(guān)系：
03 設(shè)位移為x，y的線性函數(shù)（即二階微分等于0）
04 幾何方程（幾何微分方程）
應(yīng)變與位移的關(guān)系：
05 物理方程（非微分方程）
應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系：
06 邊界條件
位移邊界條件：
應(yīng)力邊界條件：
07 用位移表示的平衡微分方程
由物理方程
可得，
將幾何方程代入，可得，
代入到平衡方程，可得用位移表示的平衡微分方程：
08 用位移表示的應(yīng)力邊界條件
09 用應(yīng)變表示的相容方程
由幾何方程
可得，
10 用應(yīng)力表示的相容方程
將物理方程代入到用應(yīng)變表示的相容方程，可得
將平衡方程代入，可得，
11 位移邊界條件一般無(wú)法轉(zhuǎn)為應(yīng)力邊界條件
12 艾里應(yīng)力函數(shù)（平面問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)）
假設(shè)體力為常量，
平衡方程：
相容方程：
求解平衡方程的通解（特解+齊次方程的通解）：
無(wú)論艾里應(yīng)力函數(shù)是什么樣的，應(yīng)力分量總能滿足平衡方程。
13 用應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程
14 逆解法
首先假設(shè)滿足相容方程的應(yīng)力函數(shù)；然后求出應(yīng)力分量；最后校核應(yīng)力分量滿足應(yīng)力邊界條件。
15 半逆解法
首先假設(shè)滿足應(yīng)力邊界條件的部分或全部應(yīng)力分量；然后推出應(yīng)力函數(shù)；最后校核應(yīng)力函數(shù)滿足相容方程，以及其它應(yīng)力分量滿足應(yīng)力邊界條件。
展開(kāi) 彈性力學(xué)基本方程的張量形式
平衡方程
展開(kāi)式
坐標(biāo)即應(yīng)力張量圖3
彈性力學(xué)基本方程及其張量表達(dá)（二）
二：空間問(wèn)題
01 平衡方程
02 幾何方程
03 物理方程
04 十五個(gè)基本方程
三個(gè)平衡方程，六個(gè)幾何方程，六個(gè)物理方程，空間問(wèn)題，合計(jì)十五個(gè)基本方程。這是求解彈性問(wèn)題的最根本依據(jù)。
05 邊界條件
位移邊界條件：
應(yīng)力邊界條件：
06 位移法
用位移表示的平衡方程
也可用位移表示應(yīng)力邊界條件，方程太長(zhǎng)，故不展示。
07 應(yīng)力法
用應(yīng)變表示的相容方程，用應(yīng)力表示的相容方程，方程都太長(zhǎng)，故不展示。特殊形式還有，米歇爾相容方程，貝爾特拉米相容方程。
按應(yīng)力求解，應(yīng)力分量必須滿足平衡方程，相容方程，以及應(yīng)力邊界條件。
三：張量表達(dá)
01 三類物理量
比如：溫度，密度；
比如：位移，速度，加速度；
比如：應(yīng)力，應(yīng)變；
注：標(biāo)量也叫做零階張量，矢量叫做一階張量，應(yīng)力應(yīng)變是二階張量，還有三階四階更高階張量。目前筆者接觸的張量只到二階。
02 應(yīng)力張量
03 應(yīng)變張量
04 平衡方程的張量形式
05 幾何方程的張量形式
06 物理方程的張量形式
07 邊界條件的張量形式
四：矩陣表達(dá)
展開(kāi) 彈性力學(xué)基本方程的矩陣形式
平衡方程
彈性體V域內(nèi)任一點(diǎn)沿坐標(biāo)軸x,y,z方向平衡方程
其中 ， ， 為單位體積的體積力在x,y,z方向的分量
平衡方程矩陣形式
其中
是體積向量，
彈性力學(xué)基本方程之應(yīng)力應(yīng)變的矩陣形式
應(yīng)力列陣（應(yīng)力向量）
應(yīng)力分量正負(fù)號(hào)規(guī)定
如果某一個(gè)面的外法線方向與坐標(biāo)軸的正方向一致，這個(gè)面上的應(yīng)力分量就以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?，與坐標(biāo)軸反方向?yàn)樨?fù)；相反如果某一個(gè)面的外法向方向與坐標(biāo)軸的負(fù)方向一致，這個(gè)面上的應(yīng)力分量就以沿坐標(biāo)軸負(fù)方向?yàn)檎?，與坐標(biāo)軸同向?yàn)樨?fù)。應(yīng)力分量及正方向如圖1
彈性力學(xué)中的五個(gè)基本假定 附彈性力學(xué)徐芝綸第四版文檔下載
在彈性力學(xué)的問(wèn)題里，通常是已知物體的形狀和大?。匆阎矬w的邊界）、物體的彈性常數(shù)、物體所受的體力、物體邊界上所受的約束情況或面力，而應(yīng)力分量、形變分量和位移分量則是需要求解的未知量。
如何由這些已知量求出未知量，彈性力學(xué)的研究方法是：在彈性體區(qū)域內(nèi)部，考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，分別建立三套方程。即根據(jù)微分體的平衡條件，建立平衡微分方程；根據(jù)微分線段上形變與位移之間的幾何關(guān)系，建立幾何方程；根據(jù)應(yīng)力與形變之間的物理關(guān)系，建立物理方程。此外，在彈性體的邊界上，還要建立邊界條件。即在給定面力的邊界上，根據(jù)邊界上的微分體的平衡條件，建立應(yīng)力邊界條件；在給定約束的邊界上，根據(jù)邊界上的約束與位移的關(guān)系，建立位移邊界條件。求解彈性力學(xué)問(wèn)題，即在邊界條件下從平衡微分方程、幾何方程、物理方程求解應(yīng)力分量、形變分量和位移分量。
對(duì)任何學(xué)科進(jìn)行研究時(shí)，總不可能將所有的影響因素都考慮在內(nèi)，否則該問(wèn)題將會(huì)變成非常復(fù)雜而無(wú)法求解。因此，在任何學(xué)科中總是首先對(duì)各種影響因素進(jìn)行分析，既必須考慮那些主要的影響因素，又必須略去那些影響很小的因素。然后抽象地概括出這些主要因素，建立一個(gè)所謂的“物理模型”，并對(duì)該模型進(jìn)行研究。當(dāng)然，研究的結(jié)果將可以用于任何符合該物理模型的實(shí)際物體。在彈性力學(xué)問(wèn)題中，通過(guò)對(duì)主要影響因素的分析，歸結(jié)為以下的幾個(gè)彈性力學(xué)基本假定。
展開(kāi) 『分享』彈性力學(xué)與張量分析
彈性力學(xué)與張量分析
彈性力學(xué)與張量分析.part1.rar
彈性力學(xué)與張量分析.part2.rar
彈性力學(xué)與張量分析.part3.rar
彈性力學(xué)與張量分析.part4.rar
『分享』彈性力學(xué)與張量分析（郭日修）
彈性力學(xué)與張量分析（郭日修）簡(jiǎn)介 [文件為pdg格式，需用超星打開(kāi)]
本書(shū)第一篇張量分析，討論張量的概念、張量代數(shù)和張量分析。本篇以普遍張量為討論對(duì)象，引導(dǎo)讀者在正確理解張量概念的基礎(chǔ)上掌握張量分析這一數(shù)學(xué)工具。第一篇相對(duì)獨(dú)立地供研究生張量分析課程作教材用。本書(shū)第二、三篇合為彈性力學(xué)。第二篇彈性力學(xué)基本方程，含應(yīng)力分析、應(yīng)變分析、應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系、彈性力學(xué)基本方程。第三篇彈性力學(xué)問(wèn)題及解題方法，含若干線彈性力學(xué)問(wèn)題的精確解、幾個(gè)應(yīng)用彈性力學(xué)問(wèn)題、能量原理、近似 / 數(shù)值解法。這部分內(nèi)容的特點(diǎn)是：以普遍張量為工具闡述彈性力學(xué)基本理論和方法；加大了彈性力學(xué)應(yīng)用問(wèn)題和近似 / 數(shù)值解法的篇幅；討論了有限應(yīng)變張量和大變形應(yīng)力張量。第二、三篇合起來(lái)供研究生彈性力學(xué)課程作教材用。
本書(shū)供高等學(xué)校船舶與海洋工程、航空航天、交通運(yùn)輸、土木、水利、機(jī)械等工程專業(yè)作研究生教材用。也可供高等學(xué)校工程力學(xué)專業(yè)研究生和從事結(jié)構(gòu)分析的科研、設(shè)計(jì)人員參考。
展開(kāi) 彈性力學(xué)方程求解
幾種求解彈性力學(xué)方程的方法及特點(diǎn)
雞兔同籠與彈性力學(xué)的方程思想
02 彈性力學(xué)的基本方程
理解了彈性力學(xué)中的未知量，剩余的就是如何列方程和求解方程的問(wèn)題。我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù).方程章注》中說(shuō)，“程，課程也。群務(wù)總雜，各列有數(shù)，總言其實(shí)，令每行為率。二物者二程，三物者三程，皆如物數(shù)程之，并列為行，故謂之方程?！逼渲?，“二物者二程，三物者三程”求兩物的數(shù)列兩個(gè)方程，求三物的數(shù)就列三個(gè)方程。顯然，有幾個(gè)未知數(shù)，就需要列幾個(gè)方程。
在彈性力學(xué)中15個(gè)未知量就需要列15個(gè)方程，如下所示，有平衡方程3個(gè)，幾何方程6個(gè)，以及物理方程6個(gè)，恰好15個(gè)方程構(gòu)成封閉方程組。只不過(guò)這些方程變成了偏微分方程，要比雞兔同籠問(wèn)題中的代數(shù)方面要復(fù)雜的多。
03 彈性力學(xué)求解
再來(lái)看求解，對(duì)于求解線性方程組，常用消元法先將未知數(shù)的數(shù)量減少，然后再求解。求解彈性力學(xué)大致也是這樣，必須先減少未知量的個(gè)數(shù)才能求解。彈性力學(xué)問(wèn)題求解有兩類方法，力法和位移法，實(shí)際上力法就是將所有未知數(shù)都用應(yīng)力來(lái)替代，而位移法是將所有的未知數(shù)用位移來(lái)替代，如果從線性代數(shù)、方程組角度來(lái)看就是消元法。
另外，從彈性力學(xué)的基本方程可以看出，組成彈性力學(xué)基本方程的平衡方程和幾何方程都是偏微分方程，求解微分方程必然會(huì)產(chǎn)生積分常數(shù)，而積分常數(shù)的確定就必須補(bǔ)充邊界條件，只有在一定的邊界條件下，彈性力學(xué)的解才是唯一的。
試想一下，同樣是混凝土，做成水庫(kù)的大壩、蓋成高樓大廈、抑或做成橋梁，如果用彈性理論求解，這些結(jié)構(gòu)所滿足的基本方程都是前面所說(shuō)的15個(gè)方程，但它們的解肯定不一樣。這正是因?yàn)檫吔鐥l件的千差萬(wàn)別，才造成了現(xiàn)實(shí)世界中彈性力學(xué)解的豐富多樣。
結(jié)語(yǔ)
以此來(lái)看，彈性力學(xué)的基本思想和求解雞兔同籠問(wèn)題的基本思想是一致的，都是先設(shè)出未知量，然后列出未知量滿足的基本方程，最后通過(guò)消元法求解。
展開(kāi) 轉(zhuǎn)貼——彈性力學(xué)的基本理論
太值得推薦了！
請(qǐng)登陸：
http://www.caenet.cn/forums/rightframe/ShowPost.aspx?Forum_ID=86&Channel=0&ThreadID=8639
力學(xué)筆記#4：結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)和彈性動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)平衡方程的異同，順便簡(jiǎn)述拉格朗日描述和歐拉描述
參考資料：
吳家龍《彈性力學(xué)》第四版，高等教育出版社。
吳望一《流體力學(xué)》第二版，北京大學(xué)出版社。
黃克智《張量分析》第二版，清華大學(xué)出版社。
曾攀《有限元分析及應(yīng)用》，清華大學(xué)出版社，2004.
《彈塑性力學(xué)中的廣義變分原理（第二版）》
目錄：
第一章 緒論
第一節(jié) 彈性力學(xué)邁值問(wèn)題地變分描述
第二節(jié) 固體力學(xué)中變分原理的定義和分類
第三節(jié) 變分原理的優(yōu)點(diǎn)
第四節(jié) 本課程的目的
第二章 變分法的若干基本概念
第一節(jié) 變分法問(wèn)題的簡(jiǎn)例
第二節(jié) 函數(shù)與泛函
第三節(jié) 變分的若干運(yùn)算性質(zhì)
第四節(jié) 變分學(xué)中的若干基本定理
第五節(jié) 幾種類型泛函的駐值問(wèn)題 Euler方程
第六節(jié) 條件駐值問(wèn)題
第三章 彈性力學(xué)中的變分原理與有限元模型
第一節(jié) 彈性力學(xué)基本方程的張量表示
第二節(jié) 彈性力學(xué)邁值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為能量泛函極值問(wèn)題
第三節(jié) 極小勢(shì)能原理與協(xié)調(diào)模型
第四節(jié) 極小余能原理與平衡模型 I
第五節(jié) 廣義位能原理與廣義余能原理
第六節(jié) 復(fù)雜邊界條件下的廣義位能原理
第七節(jié) 不完全的廣義文能與廣義余能泛函
第八節(jié) 分區(qū)的廣義變分原理
第九節(jié) 修正的余能原理與平衡模型 II
第十節(jié) 雜交應(yīng)力模型
第十一節(jié) 修正的勢(shì)能原理和雜交位移模型簡(jiǎn)介
第十二節(jié) 混合變分原理和混合模型 雜交混合模型
第十三節(jié) 小位移彈性力學(xué)各種變分原理的關(guān)系
第四章 塑性力學(xué)中的變分原理及其應(yīng)用
第一節(jié) 彈塑性問(wèn)題的虛功原理與余虛功原理
第二節(jié) 彈塑性全量理論的最小余能原理
第三節(jié) 彈塑性全量理論的最小勢(shì)能原理
第四節(jié) 若干材料模型的變分原理
第五節(jié) 塑性全量理論的廣義變分原理
第六節(jié) 彈塑性增量理論的變分原理
第七節(jié) 速率型本構(gòu)關(guān)系及能量公式
第八節(jié) 基于最小勢(shì)能原理的彈塑性有限元法
第九節(jié) 彈塑性問(wèn)題解的唯一性問(wèn)題
第十節(jié) 理想塑性體的極限分析的變分原理
第五章 其他問(wèn)題的變分原理
第一節(jié) 有限位移彈性理論的最小勢(shì)能原理
第二節(jié) 有限位移彈性理論的余能駐值原理
第三節(jié) 有限位移問(wèn)題的廣義變分原理
第四節(jié) 有限位移問(wèn)題的有限單元法 穩(wěn)定問(wèn)題的特征值
第五節(jié) 彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的變分原理
第六節(jié) 彈性體自由振動(dòng)的變分原理
第七節(jié) 穩(wěn)定溫度場(chǎng)的熱彈性變分原理
第八節(jié)
展開(kāi) 推薦 彈塑性力學(xué)中的廣義變分原理（第二版）——教育部推薦的研究生教學(xué)用書(shū)
作者簡(jiǎn)介：
目錄：
第一章 緒論
第一節(jié) 彈性力學(xué)邁值問(wèn)題地變分描述
第二節(jié) 固體力學(xué)中變分原理的定義和分類
第三節(jié) 變分原理的優(yōu)點(diǎn)
第四節(jié) 本課程的目的
第二章 變分法的若干基本概念
第一節(jié) 變分法問(wèn)題的簡(jiǎn)例
第二節(jié) 函數(shù)與泛函
第三節(jié) 變分的若干運(yùn)算性質(zhì)
第四節(jié) 變分學(xué)中的若干基本定理
第五節(jié) 幾種類型泛函的駐值問(wèn)題 Euler方程
第六節(jié) 條件駐值問(wèn)題
第三章 彈性力學(xué)中的變分原理與有限元模型
第一節(jié) 彈性力學(xué)基本方程的張量表示
第二節(jié) 彈性力學(xué)邁值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為能量泛函極值問(wèn)題
第三節(jié) 極小勢(shì)能原理與協(xié)調(diào)模型
第四節(jié) 極小余能原理與平衡模型 I
第五節(jié) 廣義位能原理與廣義余能原理
第六節(jié) 復(fù)雜邊界條件下的廣義位能原理
第七節(jié) 不完全的廣義文能與廣義余能泛函
第八節(jié) 分區(qū)的廣義變分原理
第九節(jié) 修正的余能原理與平衡模型 II
第十節(jié) 雜交應(yīng)力模型
第十一節(jié) 修正的勢(shì)能原理和雜交位移模型簡(jiǎn)介
第十二節(jié) 混合變分原理和混合模型 雜交混合模型
第十三節(jié) 小位移彈性力學(xué)各種變分原理的關(guān)系
第四章 塑性力學(xué)中的變分原理及其應(yīng)用
第一節(jié) 彈塑性問(wèn)題的虛功原理與余虛功原理
第二節(jié) 彈塑性全量理論的最小余能原理
第三節(jié) 彈塑性全量理論的最小勢(shì)能原理
第四節(jié) 若干材料模型的變分原理
第五節(jié) 塑性全量理論的廣義變分原理
第六節(jié) 彈塑性增量理論的變分原理
第七節(jié) 速率型本構(gòu)關(guān)系及能量公式
第八節(jié) 基于最小勢(shì)能原理的彈塑性有限元法
第九節(jié) 彈塑性問(wèn)題解的唯一性問(wèn)題
第十節(jié) 理想塑性體的極限分析的變分原理
第五章 其他問(wèn)題的變分原理
第一節(jié) 有限位移彈性理論的最小勢(shì)能原理
第二節(jié) 有限位移彈性理論的余能駐值原理
第三節(jié) 有限位移問(wèn)題的廣義變分原理
第四節(jié) 有限位移問(wèn)題的有限單元法 穩(wěn)定問(wèn)題的特征值
第五節(jié) 彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的變分原理
展開(kāi) 彈性力學(xué)；基本方程；張量的相關(guān)專題、標(biāo)簽、搜索
彈性力學(xué)；基本方程；張量彈性力學(xué)；基本方程；空間問(wèn)題彈性力學(xué)，微元體，平衡方程彈性力學(xué)超彈性力學(xué)粘彈性力學(xué) 有限元與力學(xué) 彈性力學(xué)基本方程及其張量表達(dá)彈性力學(xué)基本方程及其張量表達(dá)彈性力學(xué)基本方程及其張量表達(dá)彈性力學(xué)基本方程及其張量表達(dá)彈性力學(xué)基本方程及其張量表達(dá)彈性力學(xué)基本方程及其張量表達(dá)彈性力學(xué)基本方程及其張量表達(dá)（三）彈性力學(xué)基本方程及其張量表達(dá)（一）彈性力學(xué)基本方程彈性力學(xué)張量
