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之前在學習有限元過程中，在曾攀老師的《有限元分析及應用》P299看到結構動力學的運動平衡方程，其中表示位移的二階和一階導的第三、四項寫法上都是其上加一點，本質是df/dt的形式，見下圖：

有一天我翻開吳家龍老師的《彈性力學》（高教社第五版）P52，發現運動平衡方程中的速度二階導項符號用的是偏導符號，在經典的徐芝綸老師的彈性力學教材中也是偏導符號，見下圖：

作為牛角尖重度愛好者，整個人一下就不好了。^_^

另外，上圖1中的結構動力學運動平衡方程的建立也運用了微元法。當時作為初學者，其實是比較難以想象阻尼力在微元體中到底是怎樣的一種存在的，而目前結構動力學的其他教材，例如克拉夫以及Anil.K.Chopra的那本，都是直接從彈簧振子出發直接建立剛度方程，就少了引出運動平衡方程這一步了。

對于偏導符號這個問題，經過學習，大致有了些個人看法，供朋友們批判。先說結論：兩種表示符號都可以。

根據連續介質力學，大部分張量場（例如速度、加速度、應力場等）都是定義在物質點上的（黃克智P227）。這是自然存在決定的，有物質才有一切。觀察定義在物質點上的張量場隨時間的變化就是物質導。物質點的矢徑隨時間的變化就是矢徑（注意它不是一個張量）的物質導，就是速度場。

通俗來講，對于運動的“一坨”物質點，我們將其變形前的樣子叫做初始構型(initial configuration)，將其變形后的樣子叫做當前構型(current configuration)。我們人站在一個固定不動的笛卡爾直角坐標系中觀察物質的運動。物質在初始構型時，每一個物質點都有一個笛卡爾直角坐標值ζ，現在我們想象，當物質開始運動后，有一個坐標系附著在其上，跟隨其運動、變形。該隨體坐標系在運動開始前和笛卡爾直角坐標系是完全重合的，它的特點是，在運動過程中，它保證每一個物質點在該隨體坐標系中的坐標值仍然為ζ。可以說運動表現為：物質點在隨體坐標系中的坐標值一直不變，而運動表現為隨體坐標系的運動，也就是隨體坐標系通過自身運動去將就每一個物質點（哄著它，舔狗啊）。當運動結束，到達當前構型的時候，每一個物質點在原來的固定的笛卡爾直角坐標中的坐標值就變為x了，這時候隨體坐標系也運動結束，由最初與笛卡爾直角坐標系完全重合的那個“正直(orthogonal)人”，扭曲成了一個曲線坐標系（真是舔狗不得house啊）。

我們就將隨體坐標系稱為拉格朗日坐標系（以下簡稱L），它是跟隨物質運動的，將不動的笛卡爾直角坐標系叫做歐拉坐標系（以下簡稱E）。我們將物質在初始構型時的笛卡爾坐標值ζ叫做L坐標或者物質坐標，它是跟隨物質點不變的，相當于作為身份證號標記了一個個物質點，當前構型物質點在E系中的坐標叫做E坐標或者空間坐標。這樣就有一個關系：x=x(ζ，t），這個關系式就是運動方程。t時刻就是當前構型，t=0時刻就是初始構型，可以發現，初始構型時，x=ζ，這符合上面說的：將初始構型的笛卡爾坐標叫做L坐標。基于運動方程x=x(ζ，t），當前構型中任意物質點上定義的張量既可以用ζ坐標來描述（我們叫他的名字），也可以用x坐標來描述（我們指出他在哪里），這分別就是拉格朗日描述和歐拉描述。

現在我們要在當前構型研究物質的運動，我們要求出物質點在當前構型的速度或者加速度。前面說了，人是站在笛卡爾坐標系中不動的，也習慣于用笛卡爾坐標系。所以t時刻任意物質點的速度就變成了v=dx/dt或者x上加一點，就是物質點在笛卡爾直角坐標系中的坐標值隨時間的變化率。這是很自然的，我們在本科物理甚至高中物理階段都這么求的不是么。加速度就是a=dv/dt。

但是高中和本科物理階段我們還沒接觸連續介質的速度場，我們關注的是單個質點，dx/dt最后給出的表達式就是我們關注的那個質點的速度隨時間的變化v(t）。然而我們這里要研究連續介質速度場，也就是要研究任意或者所有質點的速度，dx/dt的表達式要體現這一點。恰好，我們有一個運動方程x=x(ζ，t），該方程表示了任意或者所有質點在t時刻的E坐標，那么dx/dt在保持ζ不變的時候，就可以寫成?x(ζ，t)/?t。?x(ζ，t)/?t就是上面說的物質導。

現在回到開頭的問題，我們就可以說：如果方程中用dx/dt（或者x上加一點），意思就是在表明“這里是一個物質導，這只是個指示，我們主要精力在別處”；如果用?，意思就是“我們要求這個量的物質導，如果你拿到了速度的解析表達式，記得要保持ζ不變求偏導”。黃克智P236的物質導定義式也表明了這一點。

另外提一下空間描述。這一般用在流體力學方程中，表示我們觀察的是空間中某個位置x處的物質點上的張量（這有點繞啊），只要牢記x=x(ζ，t）表明在物質占據的任一個空間點x都有一個物質點ζ即可理解。所以，定義在ζ上的這個張量，我們就可以說，它是空間點x處的張量。

簡單舉例。在固體力學中，我們是關心物質點的應力，例如一個大變形的橡膠，我們想看一下它被壓縮后某點的應力，相當于我們變成小人兒跟著這個物質點運動到它的新位置后，我們說“變形前坐標為ζ的這個點，在變形后的應力是多少balabala.....”。在流體力學中，我們更關心相對我們保持不動的某個空間點處的物質點上定義的物理量，比如我們坐在飛機上，機翼相對我們不動，我們針對機翼建立一個固定笛直系，我們關心并研究流過機翼的大量物質點在機翼上某些點產生的壓力等。

那上面介紹的物質導都是物質描述的，空間描述的物質導是什么樣的呢？這個問題一時半會說不清楚，說得不好反而讓人理解起來更困難。我這里給出黃克智P245的相關描述：

請忽略第一個圖中“蹲點堅守”四個筆記字，真正的蹲點堅守是圖二那個。關于這個的理解，李新亮的CFD課程中也有一個比較好的例子（嗶哩嗶哩有視頻），就是人發著燒坐著火車從北京到上海，好像是這么的，也比較生動。空間描述的物質導基本應用在流體力學中，流體力學中的幾大守恒方程可以說都來自雷諾輸運定理（黃克智P277），而雷諾輸運定理的理解就依賴于圖中內容的理解。

最后回到開頭講的第二個問題：結構動力學運動平衡方程的建立也運用了微元法，合適嗎？個人觀點是不合適的，因為阻尼是一個非常宏觀、唯象的量，是為了表征振動過程中能量的耗散而構造的一個量。比如說庫倫阻尼，跟摩擦什么的有關，那也不是每一個微元體都有庫倫阻尼。這使人想起知乎一個問題：

https://www.zhihu.com/question/383499268/answer/2613864584

似乎大家討論還挺多，我對這方面研究不深，就不多說了。不過，曾攀老師這本《有限元分析及應用》，那真真是我見過的最好的有限元入門書，沒有之一。他本人也被報道說將有限元講的出神入化，https://www.tsinghua.edu.cn/info/1366/81411.htm。可惜的是他已經故去。我們向他致以崇高的敬意。

參考資料：

吳家龍《彈性力學》第四版，高等教育出版社。

吳望一《流體力學》第二版，北京大學出版社。

黃克智《張量分析》第二版，清華大學出版社。

曾攀《有限元分析及應用》，清華大學出版社，2004.