有限元理論基礎(chǔ)及Abaqus內(nèi)部實現(xiàn)方式研究系列47：約束關(guān)系（3）-船舶規(guī)范約束導(dǎo)致的Max Ratio問題

SnowWave02

2024年8月6日 21:23

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1 概述

本系列文章研究成熟的有限元理論基礎(chǔ)及在商用有限元軟件的實現(xiàn)方式，通過

（1）基礎(chǔ)理論

（2）商軟操作

（3）自編程序

三者結(jié)合的方式將復(fù)雜繁瑣的結(jié)構(gòu)有限元理論通過簡單直觀的方式展現(xiàn)出來，同時深層次的學(xué)習(xí)有限元理論和商業(yè)軟件的內(nèi)部實現(xiàn)原理。

有限元的理論發(fā)展了幾十年已經(jīng)相當(dāng)成熟，商用有限元軟件同樣也是采用這些成熟的有限元理論，只是在實際應(yīng)用過程中，商用CAE軟件在傳統(tǒng)的理論基礎(chǔ)上會做相應(yīng)的修正以解決工程中遇到的不同問題，且各家軟件的修正方法都不一樣，每個主流商用軟件手冊中都會注明各個單元的理論采用了哪種理論公式，但都只是提一下用什么方法修正，很多沒有具體的實現(xiàn)公式。商用軟件對外就是一個黑盒子，除了開發(fā)人員，使用人員只能在黑盒子外猜測內(nèi)部實現(xiàn)方式。

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一方面我們查閱各個主流商用軟件的理論手冊并通過進(jìn)行大量的資料查閱猜測內(nèi)部修正方法，另一方面我們自己編程實現(xiàn)結(jié)構(gòu)有限元軟件iSolver，通過自研CAE軟件和商軟的結(jié)果比較來驗證我們的猜測，如同管中窺豹一般來研究的修正方法，從而猜測商用有限元軟件的內(nèi)部計算方法。我們關(guān)注CAE中的結(jié)構(gòu)有限元，所以主要選擇了商用結(jié)構(gòu)有限元軟件中文檔相對較完備的Abaqus來研究內(nèi)部實現(xiàn)方式，同時對某些問題也會涉及其它的Nastran/Ansys等商軟。為了理解方便有很多問題在數(shù)學(xué)上其實并不嚴(yán)謹(jǐn)，同時由于水平有限可能有許多的理論錯誤，歡迎交流討論，也期待有更多的合作機會。iSolver包括完整的前后處理和有限元求解器，功能如下，有興趣可直接在下面網(wǎng)址下載：

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2 約束關(guān)系

我們在系列文章第35章介紹了接觸分析及常用的基本算法。現(xiàn)在Abaqus、LS-DYNA、Ansys等結(jié)構(gòu)商軟都說可以處理復(fù)雜的上萬零部件接觸的整車、整機等模型仿真，沒做過實際的這種仿真分析，很好奇，接觸分析算法往往涉及大變形、邊界不連續(xù)，只要輸入條件或者算法稍微變化一些，兩個零部件算出來的接觸結(jié)果就可能差異很大，更不用說上萬個零部件的接觸結(jié)果了，對這種大規(guī)模組裝模型的仿真結(jié)果不知如何來判斷它的可靠性，像普通的只校核一下材料的應(yīng)力還是看一下動畫是否和試驗一致？畢竟仿真只有簡單的標(biāo)準(zhǔn)來判斷結(jié)果的正確性才能在企業(yè)中起到真正輔助設(shè)計的作用，如果你恰好做過，不妨也簡單介紹一下你的經(jīng)驗。對自研CAE軟件開發(fā)者來說，自研結(jié)構(gòu)CAE軟件是否真的要和商軟去比拼接觸等復(fù)雜算法還是花更多時間在精雕細(xì)琢那些常用功能上，這也是開發(fā)者需要慎重考慮的問題，而且很多自主CAE軟件連常規(guī)線性問題都算的不對，或者都沒法用鼠標(biāo)穩(wěn)定的走完那些材料、屬性、邊界、加載等流程，用戶又怎么會相信你能算對接觸這種復(fù)雜問題的？

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不管怎么樣，從有限元實現(xiàn)的角度來講，如果想做真正實際工程中的接觸分析，那么首先需要去研究約束關(guān)系，接觸分析在有限元中也僅是約束關(guān)系的一種。有限元中的約束很多場景大家用的是邊界中的簡支、固支等約束，但從更廣泛的角度上講，只要表示一個節(jié)點的某個自由度依賴于其它的節(jié)點自由度或者取某個特定值，就可以稱為約束關(guān)系。只不過對固支、簡支等直接自由度=0，在有限元中直接減縮剛度陣就行，很容易求，但對節(jié)點自由度相互依賴的約束關(guān)系就比較復(fù)雜了。約束關(guān)系主要有兩類。

（1）一類是MPC點之間的約束。Nastran的MPC的靈活度要遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過Abaqus，Nastran的主節(jié)點可以選擇123自由度，也可以對每個從節(jié)點設(shè)置不同的自由度，還能主節(jié)點和從節(jié)點互相包含，Abaqus更多的是只負(fù)責(zé)80%的常用應(yīng)用場景，復(fù)雜功能讓你編子程序，但事實上一線仿真工程師又有多少人愿意編子程序呢？這種做法導(dǎo)致雖然Abaqus無論從用戶體驗、非線性還是商業(yè)化都比Nastran好很多，但很多線性的工程復(fù)雜問題還是沒法替代Nastran。

（2）另一類是Contact、Tie等的面之間的約束關(guān)系。在這方面Abaqus要明顯強于Nastran了。

我們將用統(tǒng)一的公式來求解這兩類關(guān)系，同時也從軟件實現(xiàn)層面說明一下針對這兩類情況的各自差異。分幾篇文章來介紹約束關(guān)系，本篇是約束關(guān)系（3）- 船舶規(guī)范約束導(dǎo)致的Max Ratio問題，這是我們碰到的1個實際的工程問題，當(dāng)自主CAE軟件往外推廣時，只要用，就會有各式各樣的問題，最基本也是最重要的一條是自主CAE軟件算出來的結(jié)果只要不符合預(yù)期或者商軟的結(jié)果，就必須要你解釋why？不會有人覺得商軟或者建模等等有問題，無一例外都默認(rèn)是自主軟件的錯。不過這也正常，一開始商軟推廣也是這么過來的，就是現(xiàn)在，如果商軟客戶提出問題，一般商軟技術(shù)支持的響應(yīng)速度也是必須要在24個小時內(nèi)回復(fù)。很多時候用戶用自主軟件算一個大模型告訴你計算不正確，查到最后都是某個單元、某個載荷、某個邊界的單獨或者組合的問題，但從大模型找到這個小問題往往需要調(diào)試很久。在本章我們僅舉我們調(diào)試過的一個最基本的MPC導(dǎo)致的MAX RATIO工程問題，如果你經(jīng)常用商業(yè)CAE軟件查看后臺計算打出的消息，這個MAX RATIO可能就會經(jīng)常碰到，導(dǎo)致MAX RATIO出錯的情況很多，在這里僅介紹我們實際碰到的由MPC約束不夠?qū)е碌囊环N情況。

3 船舶規(guī)范約束導(dǎo)致的Max Ratio問題

3.1 模型建模規(guī)范

很多行業(yè)都有自身的建模規(guī)范，在船舶行業(yè)，油、散、集三種船型一直是民船市場的三大主流船型，從下面2023年新接單可知油船和散貨船占據(jù)前兩位。而油船和散貨船的結(jié)構(gòu)強度校核必須符合船舶行業(yè)的共同結(jié)構(gòu)規(guī)范(Common Structure Rule，CSR)，該規(guī)范在2006年由國際船級社協(xié)會(IACS)頒布，一直沿用到現(xiàn)在。

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為配合規(guī)范的發(fā)布，IACS也同步發(fā)布了鋼質(zhì)海船入級規(guī)范，所有需要入級的船舶結(jié)構(gòu)有限元的建模都必須符合這個規(guī)范。其中，艙段結(jié)構(gòu)有限元分析一般只建中間三個艙段，而兩邊剩余艙段對這個三艙段的約束按規(guī)范加載。

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在船舶CSR規(guī)范直接計算章節(jié)規(guī)定了非船艏艙段有限元建模時兩個端面的邊界條件如下：

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對船舶規(guī)范不是很了解，只是按規(guī)范文檔簡單說明一下：由于艙段前后端面類似，我們以前端面為例，中和軸與縱中剖面相交處建一個獨立點（MPC的主節(jié)點），該獨立點僅是三維空間內(nèi)的一個參考點，這個點按規(guī)范約束U2、U3和UR1。

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同時，前端面的橫剖面內(nèi)所有節(jié)點（MPC從節(jié)點）和該獨立點用剛性連接RBE2綁定U2、U3和UR1自由度。

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3.2 反饋的工程問題

按這個綁定，理論上講該橫剖面y和z方向不會平動，且不會繞x軸（船長方向）轉(zhuǎn)動，而可以在x方向平動，且可以繞y和z軸轉(zhuǎn)動，我們對規(guī)范不了解，但和我們主觀上其它艙段對中間三個艙段的作用還是比較吻合的。那么正常來說，有限元計算出的結(jié)果也應(yīng)該是這樣。但事實上用戶對不同的三艙段模型，采用iSolver或者Nastran計算，部分結(jié)果正確，部分模型結(jié)果不對。

3.2.1 1號模型正確結(jié)果

譬如同樣都是重力載荷下，1號模型計算出的位移為43.64，且端面位移明顯很小，相對合理：

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3.2.2 2號模型錯誤結(jié)果

但2號模型計算出的位移為3.602e13，且后端z方向平動也非常大，這明顯不合理。

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而且用戶反饋采用Nastran計算，這兩個模型也是同樣的結(jié)果，Nastran對2號模型在.f06文件報告PIVOT RATIO過大的致命錯誤，Nastran計算失敗不再輸出結(jié)果。

這就需要回答兩個問題：

（1）對同樣的約束，為何有限元軟件有些模型計算正常，有些模型計算失敗

（2）如果連Nastran也存在這個問題，難不成規(guī)范有問題或者Nastran又是怎么來處理這個問題呢？

3.3 原理分析和猜測

3.3.1 約束關(guān)系的原理分析

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即兩個主節(jié)點的UR2，UR3與船體端面的節(jié)點的位移無關(guān)。

同時，主節(jié)點只有U2，U3、UR1約束。導(dǎo)致主節(jié)點（即獨立點）剩下的UR2，UR3自由度沒有約束或者綁定在艙段，因為主節(jié)點這兩個自由度度沒有和任何其它節(jié)點組成單元或者約束關(guān)系，按我們前面的討論，剛度陣都是兩個節(jié)點之間的關(guān)系，所以導(dǎo)致剛度陣UR2和UR3相關(guān)的列或者行都是0，一個矩陣只要有一列或者一排都是0，那么理論上剛度陣K就無法求逆，所以正常來說，按船舶CSR規(guī)范的約束理論上都會導(dǎo)致兩個MPC主節(jié)點的UR2和UR3都約束不夠。

3.3.2 實際編程的分析

實際編程和理論相比存在差異：

3.3.2.1 模型或者精度誤差

實際編程不會直接按上面少了簡化自由度的（2）式來編寫，依然按全部自由度的（1）來編寫，這樣UR3前的rx1依然要寫到程序代碼中，由于創(chuàng)建模型、計算機存儲浮點數(shù)存在截斷誤差或者rx1可能也是某些向量叉乘得到的誤差，那么rx1不一定是絕對的0，有限元求解器不一定會報這個錯誤了。

譬如上面正確的1號模型，查看前端面的所有節(jié)點和獨立節(jié)點的x坐標(biāo)，正常來說都應(yīng)是121500這個x坐標(biāo)，但發(fā)現(xiàn)70648號和72048號節(jié)點卻是121504，和主節(jié)點差了一個小量，相對誤差0.003%。這個小偏差導(dǎo)致主節(jié)點的UR2和UR3和艙段的U2、U3有約束關(guān)系，間接的綁定了這個主節(jié)點的UR2和UR3自由度。后端面也有兩個類似存在小誤差的節(jié)點。

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將這四個點的X值人為修改為所在MPC同一平面后，iSolver計算也出現(xiàn)了2號模型的錯誤結(jié)果，此時明顯位移極大不正常。同時，Nastran也是計算失敗，報告PIVOT RATIOS過大的致命錯誤。

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3.3.2.2 高斯消元法求解問題

第二個問題是結(jié)構(gòu)有限元一般采用直接法來求解矩陣，高斯消元法最常見的直接法，高斯消元法將矩陣分解成單位下三角矩陣L和上三角矩陣U，高斯消元法不是直接求K的逆矩陣來求解。剛度陣每一行都對應(yīng)某個自由度，這一行的剛度*未知量=這個自由度上的載荷（由文章第45篇可知，其實也是一個約束方程），如果這個行的剛度都是0，只要這個自由度對應(yīng)的載荷項也是0，那么在高斯分解成LU矩陣后反向求解自由度對應(yīng)的位移時，可以跳過這個方程，同時將這個自由度對應(yīng)的位移設(shè)為為0就行。

3.3.3 商軟的做法

3.3.3.1 PIVOT RATIO的定義

無論上面兩種方法中的由于截斷誤差導(dǎo)致的rx1不為0還是第二種剛度陣某一行都是0的情況，在實際工程中都必須判斷一個數(shù)是不是和0的關(guān)系，計算機也只能嚴(yán)格按照一個定死的判據(jù)判斷這個數(shù)是否為0。由于剛度在不同單位不同材料情況下絕對值差異很大，所以商軟都采用相對量來判斷近似0的情況，實際中Nastran或者Abaqus都采用高斯消元法的變形，將剛度陣直接LDLT分解為下三角L、對角陣D、上三角陣L’。

K=L*D*L’

它們采用Pivot Ratio來說明這個近似0到什么程度，也就是原始的剛度陣對角元Kii和LDLT得到的D矩陣對角元Dii的比值：

Pivot Ratio (i)= K(i,i)/D(i,i)

3.3.3.2 MAX PIVOT RATIO不同軟件的修正

無論是Nastran還是Abaqus，PIVOT RATIO都是上面的定義，但我們研究發(fā)現(xiàn)，Nastran和Abaqus還是略微有些不同的，Nastran做了進(jìn)一步的修正。

我們做了一個兩頭按船舶CSR規(guī)范加載的盒子3號模型。這個模型的兩個端面和主節(jié)點嚴(yán)格在一個平面，且模型相對簡單。

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iSolver、Abaqus、Nastran計算都可發(fā)現(xiàn)能得到正常結(jié)果。

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Abaqus計算提示MPC主點的1/5/6自由度沒有約束，它的PIVOT RATIO為3.7e14。

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Nastran計算不再提示MPC主節(jié)點的1/5/6自由度沒有約束，Nastran PIVOT RATIO的閾值為1e7，如果超過這個閾值會報錯的。修改bdf，加入PARAM MAXRATIO 1.E2：

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發(fā)現(xiàn)Nastran只會報節(jié)點5的Max Ratio錯誤，反推MPC兩主節(jié)點64、65的Max Ratio算出來還比正常節(jié)點5的3.4e2更小，猜測Nastran在計算MAX PIVOT RATIO時，如果Kii=0，那么直接將MAX PIVOT RATIO設(shè)為了0，但Abaqus估計不是這樣的。

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3.3.3.3 AUTOSPC的作用

PIVOT RATIO超過閾值的情況是非常常見的，譬如這個船舶CSR規(guī)范正常來說都會使得PIVOT RATIO超過閾值，所以一般商軟會嘗試自動處理這種情況。

Nastran默認(rèn)情況下采用自動約束處理(具體在bdf文件中設(shè)置autospc關(guān)鍵詞=yes)在處理完 1）從屬自由度(from MPC entries or RIGID elements)，2）用戶指定的拘束自由度(from SPC/SPC1 entries)后，在進(jìn)行高斯消元的LDLT分解前或分解過程中，對明顯的奇異節(jié)點自由度進(jìn)行自動約束處理。

很奇怪，Nastran的AUTOSPC后臺沒有直接將MAX RATIO和閾值比較，而是將原始剛度陣的對角元Kii和該節(jié)點類似最大主剛度（采用3X3的特征值求解）的比值Ri和EPZERO比較，如果Ri小于EPZERO，那么自動約束該自由度，否則不自動約束，這種求特征值和Ri的方式顯然要比MAX RATIO更復(fù)雜。

因為Nastran如果bdf沒有特別設(shè)置，那么默認(rèn)采用AUTOSPC=YES，且一般情況Ri總是小于EPZERO，使得船舶CSR規(guī)范的約束一般都能在Nastran正確計算。

3.3.3.4 AUTOSPC失敗時怎么辦

上面只能說一般情況下設(shè)置AUTOSPC能解決這種規(guī)范約束不夠的問題，但當(dāng)測試模型足夠多后，我們發(fā)現(xiàn)有些模型即使Nastran設(shè)置了AUTOSPC=yes，依然會報告UR2或者UR3超過MAX RATIO導(dǎo)致Nastran計算失敗。

譬如：4號模型為一個工程模型，沒加AUTOSPC時，f06報Max Ratio錯誤，注意此時的PIVOT RATIO是-2.0e15。

有限元理論基礎(chǔ)及Abaqus內(nèi)部實現(xiàn)方式研究系列47：約束關(guān)系（3）-船舶規(guī)范約束導(dǎo)致的Max Ratio問題的圖19

加入AUTOSPC，發(fā)現(xiàn)依然為MAXRATIO錯誤，且RATIO值還不一樣了，從-2.0e15變?yōu)榱?1.5e15，同樣也不清楚為何。

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在該例子中，應(yīng)該是得到的Ri>EPZERO導(dǎo)致沒有自動約束。按照Nastran文檔，EPZERO默認(rèn)為1e-8，可以修改采用PARAM, EPZERO關(guān)鍵詞修改默認(rèn)值。將bdf的PARAM, EPZERO修改為3e-7。

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可發(fā)現(xiàn)結(jié)果正常。查看f06，可發(fā)現(xiàn)GPST中有4個自由度Ri=0，而另兩個是2.3e-7，此時Ri<EPZERO(3e-7)，自動約束。

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3.4 總結(jié)

本章是一個實際MPC約束不夠?qū)е碌腗AXRATIO工程問題，我們發(fā)現(xiàn)同樣按照船舶CSR規(guī)范創(chuàng)建的模型計算部分成功，部分失敗，可能原因有兩個：

（1）模型中MPC主從節(jié)點不是嚴(yán)格在同一個X平面，有部分小的偏差，這個小偏差導(dǎo)致主節(jié)點的UR2和UR3和艙段的U2、U3有約束關(guān)系，間接的綁定了這個主節(jié)點的UR2和UR3自由度。

（2）即使MPC主從節(jié)點依然在同一個X平面，實際計算機存在截斷誤差或者計算精度誤差，導(dǎo)致部分?jǐn)?shù)據(jù)不一定是絕對的0，需要和近似0的閾值比較判斷，部分能通過判斷，部分不能通過。

同時，我們提出了一些MPC原理分析和商軟的猜測，也遇到了一些問題，也希望有大神能解答一下：

（1） Nastran采用PARAM，MAXRATIO來設(shè)置MAX RATIO的閾值只能針對正數(shù)，但Nastran打出的PIVOT RATIO有時還有負(fù)數(shù)，這時有類似的負(fù)數(shù)的閾值設(shè)置嗎？我們沒有找到。

（2）如果程序來實現(xiàn)自動約束的功能，按我們的想法，應(yīng)該直接判斷MAX RATIO是否超過閾值，超過就直接自動約束，但實際Nastran的AUTOSPC自動約束重新計算了一個類似MAX RATIO的Ri參數(shù)，這個Ri還與特征值有關(guān)，為什么Nastran明明簡單的MAX RATIO，而要舍近求遠(yuǎn)的再求一個更復(fù)雜的Ri呢？

（3）在此我們只討論Nastran針對這個問題的做法，Nastran的關(guān)鍵詞更加靈活，且bdf各種參數(shù)說明文檔相對更詳細(xì)，Abaqus暫時沒有研究過，如哪位大神也有類似研究，歡迎不吝賜教，我們也很想知道Abaqus后臺矩陣求解的邏輯和針對高斯消元法的實際工程處理。

（4）不了解船舶專業(yè)規(guī)范，但僅從原理來講，如果報錯，一種修改方式是主節(jié)點直接都約束UR2和UR3，這種方式以前能算的的結(jié)果不影響，但報UR2和UR3沒約束的就可以消除UR2和UR3，得到正常的結(jié)果。從一個外行的角度覺得船舶專業(yè)規(guī)范太依賴Nastran的AUTOSPC功能了，上面也證明了Nastran的AUTOSPC有時也可能導(dǎo)致結(jié)果不正確，實際上可以不用管后臺到底是哪個軟件，而在規(guī)范中規(guī)定兩個端面主節(jié)點UR2和UR3也強制約束。

這些猜測具體什么原因最好的方式還是調(diào)試矩陣求解的代碼。只可惜我們沒有自己編寫矩陣求解，為了追求穩(wěn)定和高效，我們選擇了現(xiàn)成的成熟的矩陣解算庫。很希望有哪位大神通過調(diào)試底層矩陣求解來說明和實際有限元軟件報的某個自由度PIVOT RATIOS過大的關(guān)系，然后能確切的告訴我們?nèi)绾卧O(shè)置矩陣解算庫類似Nastran的autospc功能。

同時，對約束導(dǎo)致的MAX PIVOT RATIO和AUTOSPC研究的越深，一方面感嘆商軟在這個問題上處理的工程修正和精細(xì)化程度相當(dāng)?shù)纳钊耄硪环矫嬉沧屛覀冃纳匆猓X得比起商軟來說，自主軟件無論是底層矩陣求解方面還是高層的工程應(yīng)用真的還有很長一段路要走，而且很多東西是系統(tǒng)化的耦合在一起的，只有從底層和應(yīng)用層一起努力才可能達(dá)到商軟的水平。