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==概述==

本系列文章研究成熟的有限元理論基礎及在商用有限元軟件的實現(xiàn)方式。有限元的理論發(fā)展了幾十年已經相當成熟，商用有限元軟件同樣也是采用這些成熟的有限元理論，只是在實際應用過程中，商用CAE軟件在傳統(tǒng)的理論基礎上會做相應的修正以解決工程中遇到的不同問題，且各家軟件的修正方法都不一樣，每個主流商用軟件手冊中都會注明各個單元的理論采用了哪種理論公式，但都只是提一下用什么方法修正，很多沒有具體的實現(xiàn)公式。商用軟件對外就是一個黑盒子，除了開發(fā)人員，使用人員只能在黑盒子外猜測內部實現(xiàn)方式。

一方面我們查閱各個主流商用軟件的理論手冊并通過進行大量的資料查閱猜測內部修正方法，另一方面我們自己編程實現(xiàn)結構有限元求解器，通過自研求解器和商軟的結果比較來驗證我們的猜測，如同管中窺豹一般來研究的修正方法，從而猜測商用有限元軟件的內部計算方法。我們關注CAE中的結構有限元，所以主要選擇了商用結構有限元軟件中文檔相對較完備的Abaqus來研究內部實現(xiàn)方式，同時對某些問題也會涉及其它的Nastran/Ansys等商軟。為了理解方便有很多問題在數學上其實并不嚴謹，同時由于水平有限可能有許多的理論錯誤，歡迎交流討論，也期待有更多的合作機會。

iSolver介紹視頻：

http://www.yqgqt.org.cn/college/video/c12884

==第15篇：殼的剪切應力 ==

自編有限元應力的校核除了Mises等合力外，也應該校核各個應力分量。材料力學中六個應力分量如下：                  

其中Tau11，Tau22，Tau33為正應力，Tau12,13,23為三個剪切應力，對殼來說，Tau33=0，Tau12為面內剪應力，Tau13,23即為本文所說的橫向剪切應力。

最近在做iSolver殼的應力分量和Abaqus比對時，發(fā)現(xiàn)Abaqus的橫向剪切應力和預想的不一致。iSolver按照常用的殼的理論得到的剪切應力是個與厚度無關的常量，但Abaqus的橫向剪切應力分量TSHR13，TSHR23，在各個截面方向積分點section point不一樣。

花了點時間細致的研究了一下，猜測Abaqus中剪切應力TSHR13、23是真實應力，但有限元理論和iSolver中計算的是板殼近似理論中平均剪切應力。本章將介紹殼單元中實際的和板殼近似理論中的剪切應力，也猜測了Abaqus的內部實現(xiàn)流程，最后通過一個算例來驗算Abaqus中的真實的剪切應力，并通過iSolver來計算板殼理論的平均剪切應力。

1.1 殼的真實的剪切應力

剪應力是材料由于抗拒面之間的滑動而產生的沿表面方向的應力。殼的中間層存在剪切應力，這個可以通過下面簡單的例子驗證。兩塊板疊加在一起，簡支，中點加力，板間假定無摩擦，那么將會得到下面的形狀，中間層表面上梁的伸長和下梁的縮短完全由x方向應力決定，此時中間層無抗拒滑動的力，也就不存在剪應力，。

但如果兩塊板中面部分用膠水粘住，膠水將會阻礙中間層上下兩個面的相對滑動，上邊面的纖維長度會變少，下邊面的纖維長度增加，使得中間層上下兩個纖維長度相等，也就在中間層將產生剪應力。

同時，很顯然，上圖最上層面任意一點沒有任何切向的外力，所以不會有阻礙滑動的剪切應力了。而從中間層到最上層，可以猜測剪應力將逐步減小。根據材料力學的理論，實際的截面上的剪應力分布如下：

其中V為剪力。

顯然與材料點所在截面的y方向坐標y1是二次關系。用圖形化表示為下圖右側，隨截面厚度方向是拋物線，中面最大，上下表面為0：

在各向同性材料中，剪切應力和剪切應變也就是剪切角成正比，所以，如果一個橡皮條做成的懸臂梁，那么原來在鉛直線上畫的直線受力后將會變成如下圖所示的m1n1的曲線。

1.2 板殼近似理論的平均剪切應力

上面的剪切應力表達式中，需要預先知道剪力V，但實際有限元流程中在計算剛度矩陣K時并不知道V，K只由兩者決定，一個是應力應變關系，也就是本構關系矩陣C，另一個是應變和位移關系，也就是常說的B矩陣。因此有限元中對殼做了直線法的近似，認為變形前垂直于中面的截面的所有材料點變性后依然位于一個平面內，譬如下圖的紅色箭頭表示原先面上的所有材料點受力后組成新的材料點平面。根據這個假設，那么可以發(fā)現(xiàn)所有的剪切角也就是剪切應變是個恒定值，乘以各向同性的剪切模量G，那么得到的剪切應力也是恒定值，相當于一個平均效應的應力，但后面的例子通過iSolver的計算可以看到，這個平均剪切應力并不是簡單的是剪力V在截面上的平均。

1.3 Abaqus內部實現(xiàn)流程猜測

Abaqus程序的內部流程由增量迭代法實現(xiàn)，猜測和普通的有限元理論是一致的，對靜力分析步驟如下：

1. 根據本構關系和尺寸得到K。

2. 由外力平衡得到位移d。

3. 由位移d計算內部剪切應力S13、S23，從而得到節(jié)點力。

4. 求非平衡力，判斷收斂，如果收斂，那么結束。

而S13、S23猜測應該是按板殼近似理論得到的與厚度無關的平均應力，真實的剪切應力并不參與迭代。

在迭代完畢后，如果用戶需要輸出截面真實的剪切應力，那么根據前面所說的剪力V來計算TSHR13/23。

1.4 算例

我們只能驗算Abaqus真實剪切應力TSHR13和23的結果，但沒有找到方法來驗證用于Abaqus流程的剪切應力是取的平均應力還是真實應力，因為Abaqus的S13，S23沒有找到方法輸出。但通過自編程序iSolver，我們還是計算了橫向平均剪切應力的大小，如果有人也自己編程序，遇到類似問題時可以對比一下結果。

1.4.1 算例說明

只取一個簡單的長方形。

參數如下：

尺寸：5X1，厚度0.1。

材料：Young’s Modulus 1e8， Poisson Ratio 0.3。

右側兩個節(jié)點固支。

左側兩個節(jié)點每個加集中力1e5，z方向。這樣將產生面外彎曲。

在Step中勾選輸出截面應力和輸出截面積分點的變量。

1.4.2 中面真實剪切應力理論結果

V=100000*2，b=1，h=0.1

TauMax=3/2*V/(b*h)=3e6

1.4.3 Abaqus真實剪切應力結果

下表面TSHR13=0：

中面為3e6，和理論完全一致。

1.4.4 平均剪切應力結果

Abaqus中無法輸出S13和S23，也就是平均剪切應力，為了便于大家理解S13這個值大概是什么量級，我們采用iSolver，在內部計算得到積分點上的剪切應力得到S13=8.1e5，而只有采用平均面積得到的V/(b*h)=2e6的2/5左右，就算加上剪切修正因子5/6也不是簡單的按平均面積得到的結果，猜測是因為在這種情況下，殼只在兩個節(jié)點處加載荷，而不是在一個自由邊上均勻加載，而平均面積計算的剪切應力是假定均勻加載得到，所以不一致。當然，有限元中采用這個積分點應力來求節(jié)點力，得到的節(jié)點力依然和外力是平衡的。

==總結==

本章介紹了殼單元中實際的和板殼近似理論中的剪切應力，也簡單猜測了一下Abaqus的內部實現(xiàn)流程，最后通過一個算例來驗算Abaqus中的真實的剪切應力。同時還有兩個疑問也希望與大家討論，得到大家的指點。

（1）我們暫時沒有找到方法來驗證用于Abaqus流程的剪切應力是取的平均應力還是真實應力，因為Abaqus的S13，S23沒有找到方法輸出，不知道誰了解怎么輸出殼的這兩個應力？

（2）按照下面的公式，Mises力應該包括正應力和剪切應力，但查看殼的Mises應力結果可以看出，殼的Mises力沒有計入Tau13，Tau23，不知道為什么這樣取Mises力？這樣用來校核殼的Mises應力達到屈服是否會有問題？

如果有任何其它疑問或者項目合作意向，也歡迎聯(lián)系我們：

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以往的系列文章：

第一篇：S4殼單元剛度矩陣研究。介紹Abaqus的S4剛度矩陣在普通厚殼理論上的修正。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/338859

第二篇：S4殼單元質量矩陣研究。介紹Abaqus的S4和Nastran的Quad4單元的質量矩陣。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/343905

第三篇：S4殼單元的剪切自鎖和沙漏控制。介紹Abaqus的S4單元如何來消除剪切自鎖以及S4R如何來抑制沙漏的。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/350865

第四篇：非線性問題的求解。介紹Abaqus在非線性分析中采用的數值計算的求解方法。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/360565

第五篇：單元正確性驗證。介紹有限元單元正確性的驗證方法，通過多個實例比較自研結構求解器程序iSolver與Abaqus的分析結果，從而說明整個正確性驗證的過程和iSolver結果的正確性。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/373743

第六篇：General梁單元的剛度矩陣。介紹梁單元的基礎理論和Abaqus中General梁單元的剛度矩陣的修正方式，采用這些修正方式可以得到和Abaqus梁單元完全一致的剛度矩陣。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/403932

第七篇：C3D8六面體單元的剛度矩陣。介紹六面體單元的基礎理論和Abaqus中C3D8R六面體單元的剛度矩陣的修正方式，采用這些修正方式可以得到和Abaqus六面體單元完全一致的剛度矩陣。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/430177

第八篇：UMAT用戶子程序開發(fā)步驟。介紹基于Fortran和Matlab兩種方式的Abaqus的UMAT的開發(fā)步驟，對比發(fā)現(xiàn)開發(fā)步驟基本相同，同時采用Matlab更加高效和靈活。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/432848

第九篇：編寫線性UMAT Step By Step。介紹基于Matlab線性零基礎，從零開始Step by Step的UMAT的編寫和調試方法，幫助初學者UMAT入門。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/440874

第十篇：耦合約束（Coupling constraints）的研究。介紹Abaqus中耦合約束的原理，并使用兩個簡單算例加以驗證。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/531029

第十一篇：自主CAE開發(fā)實戰(zhàn)經驗第一階段總結。介紹了iSolver開發(fā)以來的階段性總結，從整體角度上介紹一下自主CAE的一些實戰(zhàn)經驗，包括開發(fā)時間預估、框架設計、編程語言選擇、測試、未來發(fā)展方向等。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/532475

第十二篇：幾何梁單元的剛度矩陣。研究了Abaqus中幾何梁的B31單元的剛度矩陣的求解方式，以L梁為例，介紹General梁用到的面積、慣性矩、扭轉常數等參數在幾何梁中是如何通過幾何形狀求得的，根據這些參數，可以得到和Abaqus完全一致的剛度矩陣，從而對只有幾何梁組成的任意模型一般都能得到Abaqus完全一致的分析結果，并用一個簡單的算例驗證了該想法。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/534362

第十三篇：顯式和隱式的區(qū)別。介紹了顯式和隱式的特點，并給出一個數學算例，分別利用前向歐拉和后向歐拉求解，以求直觀表現(xiàn)顯式和隱式在求解過程中的差異，以及增量步長對求解結果的影響。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/537154

第十四篇：殼的應力方向。簡單介紹了一下數學上張量和Abaqus中殼的應力方向，并說明Abaqus這么選取的意義，最后通過自編程序iSolver來驗證殼的應力方向的正確性。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1189260