有限元理論基礎及Abaqus內部實現方式研究系列30：諧響應分析原理

SnowWave02

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1 概述

有限元理論基礎及Abaqus內部實現方式研究系列30：諧響應分析原理的圖3 本系列文章研究成熟的有限元理論基礎及在商用有限元軟件的實現方式，通過

（1）基礎理論

（2）商軟操作

（3）自編程序

三者結合的方式將復雜繁瑣的結構有限元理論通過簡單直觀的方式展現出來，同時深層次的學習有限元理論和商業軟件的內部實現原理。

有限元的理論發展了幾十年已經相當成熟，商用有限元軟件同樣也是采用這些成熟的有限元理論，只是在實際應用過程中，商用CAE軟件在傳統的理論基礎上會做相應的修正以解決工程中遇到的不同問題，且各家軟件的修正方法都不一樣，每個主流商用軟件手冊中都會注明各個單元的理論采用了哪種理論公式，但都只是提一下用什么方法修正，很多沒有具體的實現公式。商用軟件對外就是一個黑盒子，除了開發人員，使用人員只能在黑盒子外猜測內部實現方式。

有限元理論基礎及Abaqus內部實現方式研究系列30：諧響應分析原理的圖4

一方面我們查閱各個主流商用軟件的理論手冊并通過進行大量的資料查閱猜測內部修正方法，另一方面我們自己編程實現結構有限元求解器，通過自研求解器和商軟的結果比較來驗證我們的猜測，如同管中窺豹一般來研究的修正方法，從而猜測商用有限元軟件的內部計算方法。我們關注CAE中的結構有限元，所以主要選擇了商用結構有限元軟件中文檔相對較完備的Abaqus來研究內部實現方式，同時對某些問題也會涉及其它的Nastran/Ansys等商軟。為了理解方便有很多問題在數學上其實并不嚴謹，同時由于水平有限可能有許多的理論錯誤，歡迎交流討論，也期待有更多的合作機會。

通用結構有限元軟件iSolver介紹視頻：

有限元理論基礎及Abaqus內部實現方式研究系列30：諧響應分析原理的圖6

http://www.yqgqt.org.cn/college/video/c12884

==第30篇：諧響應分析原理==

振動分為自由振動和受迫振動，自由振動一般是力加載后釋放以后的振動。而受迫振動是一種常見的物理現象，指系統在隨時間變化的激勵作用下產生的振動。譬如不平整路面對坐在車里的人的顛簸，地震時對建筑物的搖擺震蕩。作用在系統上的激勵，按它們隨時間變化的規律，可以分為簡諧激勵、一般周期激勵和隨時間任意變化的非周期性激勵。而其中簡諧激勵在實際工程中應用最廣。簡諧激勵在經過一段過渡過程后，將進入穩態振動過程，稱為系統穩態過程，在Abaqus稱為穩態動力學Steady State Dynamics，在很多書中還將隨機響應也作為穩態動力學的一個分支，為了避免誤解，我們這兒將簡諧激勵作用下的穩態響應稱為諧響應分析。由于諧響應分析在振動試驗中相對容易實現，且能體現系統的固有特性，因此在工程應用的也非常廣泛。本文將簡單介紹一下諧響應的原理和試驗過程，同時利用iSolver和Abaqus計算一個懸臂梁的諧響應分析例子來說明諧響應和模態頻率的關系。

1.1 暫態和穩態過程

對一個簡單的單自由度彈簧系統來說，

根據牛頓第二定律，內外力平衡：

其中，m、c、k分別是彈簧質量、阻尼和剛度。

如果外力是簡諧力，那么P可以表示為：

也就是激勵隨時間變化如下：

假定取模態阻尼，此時阻尼可以表示為：

那么得到單自由度的位移隨時間t的變化如下：

其中

，使得前兩行與輸入頻率無關，只與模型的自由振動有關，而這種自由振動會隨著時間迅速做e指數衰減。

第三項與輸入頻率相關，且沒有衰減項，將伴隨著輸入載荷一直振動下去。由于實際系統中不可避免地存在阻尼，前兩項表示的自由振動將會很快被衰減，都是暫態響應，經過一段時間后，系統就只有穩態響應了，所以工程上更關心系統的穩態響應。

譬如在Abaqus里做一個單自由度彈簧，

取輸入頻率=10*固有頻率，將位移隨時間的變化曲線畫出來，如下圖所示：

前面部分為暫態過程，此時自由振動占主體，振幅較大，后面部分一個穩態過程，此時按輸入頻率做正弦振蕩，它的幅值就是X。

1.2 諧響應定義

上面分析的是載荷在某個輸入頻率的問題，在這個頻率下可得到穩定過程的幅值X，這個幅值往往決定你的結構的應力大小，幅值越大，應力也越大，此時結構就相對危險，所以，工程上主要校核兩個方面：

（1）這個幅值X和輸入之間的放大比例。

（2）這個幅值X導致的應力是否超過結構的許用應力。

X隨頻率變化，如果在共振點附近，顯然這個放大比例和應力也更大，也更容易引起破壞，實際問題中，載荷的頻率有可能在一個范圍內變化，譬如你的某個旋轉機械的轉速不同而導致載荷頻率也不同，因此我們需要分析根據你的實際載荷的可能頻率范圍或者設計規范的X的分布情況，此時，我們計算結構在正弦周期載荷作用下對每一個計算頻率點的動態響應，也就是諧響應分析，有些地方也稱為正弦響應分析、頻率響應分析（簡稱頻響分析）、掃頻分析等。

譬如上圖計算了一個頻率點對應的X，將這個掃頻范圍內的頻率分成多個頻率點，然后分別計算每個頻率點的X，畫出曲線，就是一個諧響應曲線了。（注意，不是上面那個圖形的FFT變換）

在這個曲線上根據共振峰可以判斷系統的固有頻率，譬如上面明顯85Hz、110Hz、130Hz是系統的固有頻率。

同時，為了查看應力，需要對比每個頻率點下的最大應力是否滿足許用應力校核規范，此時，應力除了和你的頻率有關外，還和你在該頻率下的輸入載荷大小有關，你的載荷的大小根據實際情況也可能不一致，所以需要輸入載荷隨著時間/頻率的一個變化范圍。同時載荷隨方向旋轉可以通過兩個方向的加載來實現。

1.3 諧響應試驗

系統諧響應是很容易用振動試驗臺測出來的，試驗的過程和諧響應的定義完全一致：（1）先將系統實物固定在振動臺上。

（2）根據規范，設置試驗規范中上下限頻率及間隔，掃描時間等。

（3）先在X方向加載荷振蕩，載荷固定為第一個頻率點F1，振動臺激勵持續一段時間達到穩態（想象一下彈簧的受迫振動的穩定狀態），然后再測試該頻率下的最大響應X1。振動過程類似下方動畫：

（上述模型來源于技術鄰鄭鈞老師）

在進行結構試驗時，位移相對難測量，所以，一般在關心的重要器件上面裝加速度器測量試驗模型加速度反應，之后通過軟件做FFT或類似的譜分析，可以得到模型頻域內的響應。這對應了有限元分析中很多時候看結構的加速度響應。同時，由于測試時需要安裝測試儀器，在表面布線，想想看我們看到的航天器外面的線，所以模擬的時候需要加附加質量。

（3）將頻率變為F2，穩定后繼續測試最大響應X2。

（4）以此類推，將所有測到的X和F的關系畫在一張曲線上就是諧響應曲線。

（5）實際問題的載荷如果是多個方向的，此時就需要換Y，Z方向繼續測試。

（6）同時，因為實際過程可能還需要在前后加入校核載荷，所以可能如下測試：

x方向：校核載荷-->正弦-->校核載荷

y方向：校核載荷-->正弦-->校核載荷

z方向：校核載荷-->正弦-->校核載荷

第一個校核載荷測試一次性能，第二個校核載荷再次測試性能，如果和前一次一樣，表面試驗沒有損壞器件。

1.4 有限元中的諧響應分析

諧響應定義和試驗中都是在各個頻率點振蕩達到穩定后再測試最大響應，在有限元分析中，沒必要這么做，因為最大響應X如下有明確和頻率F的關系式，如下式：只要利用剛度矩陣K、阻尼矩陣C、質量矩陣M就能直接計算得到。

同時，有限元的諧響應分析總是只算出上述的X，但按照諧響應分析的定義，理論上講只有存在阻尼時，振動穩態振幅才是X的表達式。所以，如果你在有限元中沒有設置阻尼，算出來的其實不是真正穩態的解，當沒有阻尼時，由諧響應的公式，前面兩項e指數衰減項就不能約去，也就是真正穩態的解也應該包括自由振動項。

1.5 諧響應分析的算例

為了驗證諧響應的含義，我們做了一個簡單的I型截面的懸臂梁的例子，模型參數如下：

幾何：懸臂梁長1000，I型截面參數如下，厚度都是5：

材料：楊氏模量210000，泊松比0.3，密度7.85e-9。

網格：取S4R單元類型，網格大小為12.5。

左端約束：

我們采用Abaqus和iSolver兩個求解器分別計算。

1.5.1 模態分析

第一步，設置模態分析步，選擇只計算5個模態。

分別調用Abaqus和iSolver求解器，計算完畢后導入Abaqus查看結果。

5階模態分別如下（左側是Abaqus結果，右側為iSolver結果，結果無任何誤差）

第一階是X方向彎曲振型

第二階是Z方向扭轉

第三階是Y方向彎曲，頻率為115.28

第四階是X方向彎曲

第五階是Z方向扭轉，頻率超出了250Hz。

1.5.2 諧響應分析

在Abaqus中設置諧響應分析Stead-State dynamics，Modal，頻率范圍如下：

設置結構阻尼：0.05：

設置載荷：另一端加Y方向載荷方向1000

查看載荷節點在Y方向的諧響應振幅曲線如下：（左側是Abaqus結果，右側為iSolver結果，結果無任何誤差），可發現在0-250Hz的頻率范圍內，只有一個共振峰115Hz，由上面的模態分析可知，只有模態3的振動是在Y方向，且是115Hz，因此，諧響應分析只激發了模態3的振動，其它方向的模態沒有激發起來。