（原創，轉載請注明出處）

==概述==

本系列文章研究成熟的有限元理論基礎及在商用有限元軟件的實現方式，通過

（1）   基礎理論

（2）   商軟操作

（3）   自編程序

三者結合的方式將復雜繁瑣的結構有限元理論通過簡單直觀的方式展現出來，同時深層次的學習有限元理論和商業軟件的內部實現原理。

有限元的理論發展了幾十年已經相當成熟，商用有限元軟件同樣也是采用這些成熟的有限元理論，只是在實際應用過程中，商用CAE軟件在傳統的理論基礎上會做相應的修正以解決工程中遇到的不同問題，且各家軟件的修正方法都不一樣，每個主流商用軟件手冊中都會注明各個單元的理論采用了哪種理論公式，但都只是提一下用什么方法修正，很多沒有具體的實現公式。商用軟件對外就是一個黑盒子，除了開發人員，使用人員只能在黑盒子外猜測內部實現方式。

一方面我們查閱各個主流商用軟件的理論手冊并通過進行大量的資料查閱猜測內部修正方法，另一方面我們自己編程實現結構有限元求解器，通過自研求解器和商軟的結果比較來驗證我們的猜測，如同管中窺豹一般來研究的修正方法，從而猜測商用有限元軟件的內部計算方法。我們關注CAE中的結構有限元，所以主要選擇了商用結構有限元軟件中文檔相對較完備的Abaqus來研究內部實現方式，同時對某些問題也會涉及其它的Nastran/Ansys等商軟。為了理解方便有很多問題在數學上其實并不嚴謹，同時由于水平有限可能有許多的理論錯誤，歡迎交流討論，也期待有更多的合作機會。

自主結構有限元求解器iSolver介紹視頻：

                                             http://www.yqgqt.org.cn/college/video/c12884

==第24篇：顯式求解 Step By Step==

動力學問題是將力的方程和運動學方程耦合在一起的理論，在實際問題中，運動過程無時不刻的與力相關，因此數學上兩個方程聯立求解是最理想的。但數值計算中卻難以實現，也沒必要聯立求解，只需先求一個方程，然后再求另一個方程，只要時間步長足夠短，那么精度依然可以保證。有限元亦是如此解耦，有限元兩個時刻點之間會認為力的狀態不變，那么可以分兩步求解。

（1）   在每個時刻點只求力學方程，得到運行學的初始條件。

（2）   在兩個時刻點之間由于力的狀態不變，那么可以只按運動學來求的運動學量。

本文首先研究商用有限元中最常用的顯式求解算法中心差分法的理論，并給出了一個彈簧顯式動力學分析的Step by Step例子，通過這個例子猜測了Abaqus中采用中心差分法求解顯式動力學問題的過程，然后在自編有限元程序iSolver采用同樣的算法，驗證iSolver的結果和Abaqus完全一致，從而證明Abaqus的內部算法和我們設想的一致。具體驗證過程也可以參考我們的演示錄像：

http://www.yqgqt.org.cn/college/video/c12884  4分析篇.3-彈簧顯示動力學分析

1.1 中心差分法的理論

中心差分法的標準理論可查看相應的論文，由于和Abaqus的中心差分法比較接近，所以在此不累述。

1.2 Abaqus中心差分法的理論

• 注：本節公式均摘自《Abaqus Theory Manual 2.4.5 Explicit dynamic analysis》

1.2.1 差分公式

取i-0.5時刻的速度和                                               時刻的加速度，則有下式，

        

式中，

表示速度，

表示加速度，

表示時間步大小。

帶入i時刻的位移，則有，

                                  

其中，i時刻的加速度可根據牛頓定律計算得出，即，

                                                 

式中，M表示集中質量陣，F表示外力，I表示內力。

針對初始化、處理某些約束條件以及在后處理過程中，Abaqus對速度有特殊的處理，如下式，

                             

1.2.2 初始化

在初始時，即（t=0），除非用戶自定義，一般情況下速度和加速度都設為0。假定有下式，

                                         

帶入式（1），則有

                                         

將i=-1帶入式（4）中，也可得到式（6），故前后是一致的。

初始化流程如下，

1.2.3 整體流程

以某一時刻t為例，整體流程如下：

• 其中，內力和時間步是同時求的，這個我們會在后續的VUEL文章中講到。需要特別注意初始化時內力和時間步對應時刻點和整體流程的差別，因此我們調整了求時間步和內力的順序以和Abaqus一致。

1.3 Abaqus的實現驗證

1.3.1 模型例子：彈簧的顯式動力學分析

Example 1：彈簧的顯式動力學分析

（模型詳見附件Job-ExplicitSpring-AddF-NoBC.inp）

創建一根線彈簧，在彈簧兩側各加兩個點質量，無約束，右端X方向拉力。

參數如下：

尺寸：X方向長度L=1；

質量：各向同性，大小為100；

剛度：彈簧剛度為1000；

力：分析時間內恒定大小，為800；

時間設置：總時間為1，時間增量固定為0.2。

1.3.2 增量步零（0s）

1.3.2.1 加速度對比

1.3.2.2 速度對比

1.3.2.3 位移對比

1.3.3 增量步一（0.2s）

1.3.3.1 加速度對比

1.3.3.2 速度對比

1.3.3.3 位移對比

1.3.4 增量步二、三、四

與第一個增量步類似，不再累述。

1.3.5 增量步五（1.0s）

1.3.5.1 加速度對比

1.3.5.2 速度對比

1.3.5.3 位移對比

1.3.6 驗證結果

可以發現iSolver和Abaqus完全一致。

==總結==

本文概要性地介紹了Abaqus中心差分法的理論以及算法實現的整體流程，并通過簡單彈簧顯式動力學分析算例與Abaqus計算結果進行對比，驗證了算法和整體流程的正確性。后續文章，我們會逐步深入顯式動力學的一些細節，敬請期待。

如果有任何其它疑問或者項目合作意向，也歡迎聯系我們：

snowwave02 From www.yqgqt.org.cn

email: snowwave02@qq.com

以往的系列文章：

1.5.1 ========第一階段========

第一篇：S4殼單元剛度矩陣研究。介紹Abaqus的S4剛度矩陣在普通厚殼理論上的修正。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/338859

第二篇：S4殼單元質量矩陣研究。介紹Abaqus的S4和Nastran的Quad4單元的質量矩陣。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/343905

第三篇：S4殼單元的剪切自鎖和沙漏控制。介紹Abaqus的S4單元如何來消除剪切自鎖以及S4R如何來抑制沙漏的。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/350865

第四篇：非線性問題的求解。介紹Abaqus在非線性分析中采用的數值計算的求解方法。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/360565

第五篇：單元正確性驗證。介紹有限元單元正確性的驗證方法，通過多個實例比較自研結構求解器程序iSolver與Abaqus的分析結果，從而說明整個正確性驗證的過程和iSolver結果的正確性。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/373743

第六篇：General梁單元的剛度矩陣。介紹梁單元的基礎理論和Abaqus中General梁單元的剛度矩陣的修正方式，采用這些修正方式可以得到和Abaqus梁單元完全一致的剛度矩陣。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/403932

第七篇：C3D8六面體單元的剛度矩陣。介紹六面體單元的基礎理論和Abaqus中C3D8R六面體單元的剛度矩陣的修正方式，采用這些修正方式可以得到和Abaqus六面體單元完全一致的剛度矩陣。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/430177

第八篇：UMAT用戶子程序開發步驟。介紹基于Fortran和Matlab兩種方式的Abaqus的UMAT的開發步驟，對比發現開發步驟基本相同，同時采用Matlab更加高效和靈活。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/432848

第九篇：編寫線性UMAT Step By Step。介紹基于Matlab線性零基礎，從零開始Step by Step的UMAT的編寫和調試方法，幫助初學者UMAT入門。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/440874

第十篇：耦合約束（Coupling constraints）的研究。介紹Abaqus中耦合約束的原理，并使用兩個簡單算例加以驗證。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/531029

1.5.2 ========第二階段========

第十一篇：自主CAE開發實戰經驗第一階段總結。介紹了iSolver開發以來的階段性總結，從整體角度上介紹一下自主CAE的一些實戰經驗，包括開發時間預估、框架設計、編程語言選擇、測試、未來發展方向等。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/532475

第十二篇：幾何梁單元的剛度矩陣。研究了Abaqus中幾何梁的B31單元的剛度矩陣的求解方式，以L梁為例，介紹General梁用到的面積、慣性矩、扭轉常數等參數在幾何梁中是如何通過幾何形狀求得的，根據這些參數，可以得到和Abaqus完全一致的剛度矩陣，從而對只有幾何梁組成的任意模型一般都能得到Abaqus完全一致的分析結果，并用一個簡單的算例驗證了該想法。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/534362

第十三篇：顯式和隱式的區別。介紹了顯式和隱式的特點，并給出一個數學算例，分別利用前向歐拉和后向歐拉求解，以求直觀表現顯式和隱式在求解過程中的差異，以及增量步長對求解結果的影響。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/537154

第十四篇：殼的應力方向。簡單介紹了一下數學上張量和Abaqus中殼的應力方向，并說明Abaqus這么選取的意義，最后通過自編程序iSolver來驗證殼的應力方向的正確性。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1189260

第十五篇：殼的剪切應力。介紹了殼單元中實際的和板殼近似理論中的剪切應力，也簡單猜測了一下Abaqus的內部實現流程，最后通過一個算例來驗算Abaqus中的真實的剪切應力。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1191641

第十六篇：Part、Instance與Assembly。介紹了Part、Instance與Assembly三者之間的關系，分析了Instance的網格形成原理，并猜測Abaqus的內部組裝實現流程，隨后針對某手機整機多part算例，通過自編程序iSolver的結果比對驗證我們的猜想。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1195061

第十七篇：幾何非線性的物理含義。介紹了幾何非線性的簡單的物理含義，并通過幾何非線性的懸臂梁Abaqus和iSolver的小應變情況的結果，從直觀上理解幾何非線性和線性的差異。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1198459

第十八篇：幾何非線性的應變。首先從位移、變形和應變的區別說起，然后通過一維的簡單例子具體介紹了幾何非線性下的應變的度量方式，并給出了工程應變、 真實應變、Green應變三者一維情況下在數學上的表達方式。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1201375

第十九篇：Abaqus幾何非線性的設置和后臺。首先介紹了幾何非線性一般的分類，然后詳細說明了Abaqus中幾何非線性的設置方式和常用單元的分類，最后以一個殼單元的簡單算例為對象，可以發現應變理論、Abaqus和iSolver三者在線性、小應變幾何非線性和大應變幾何非線性三種情況下都完全一致，從而驗證Abaqus幾何非線性后臺采用的應變和我們的預想一致。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1203064

第二十篇：UEL用戶子程序開發步驟。本文首先簡單的討論了UEL的一般含義，并詳細的介紹了基于Fortran和Matlab兩種方式的UEL的開發步驟，對比發現開發步驟基本相同，但Matlab更加高效和靈活。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1204261

1.5.3 ========第三階段========

第二十一篇：自主CAE開發實戰經驗第二階段總結。從實戰角度介紹自主CAE在推廣和工程化應用的過程中的體會，同時說明一個CAE平臺最重要的兩個特點：可擴展和易維護。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1204970

第二十二篇：幾何非線性的剛度矩陣求解。介紹幾何非線性下的剛度矩陣的理論推導和計算機求解方法，最后利用一個簡單的算例驗證我們對Abaqus幾何非線性的剛度矩陣的實現方式的猜測。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1254435

第二十三篇：編寫簡單面內拉伸問題UEL Step By Step。通過簡單面內拉伸問題UEL的編寫，介紹解決有限元問題從理論到算法再到編程實現的一般流程以及面內拉伸問題的基本算法步驟，最后將UEL與Abaqus的S4R單元計算結果進行對比，進行驗證。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1256835