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==概述==

本系列文章研究成熟的有限元理論基礎及在商用有限元軟件的實現方式。有限元的理論發展了幾十年已經相當成熟，商用有限元軟件同樣也是采用這些成熟的有限元理論，只是在實際應用過程中，商用CAE軟件在傳統的理論基礎上會做相應的修正以解決工程中遇到的不同問題，且各家軟件的修正方法都不一樣，每個主流商用軟件手冊中都會注明各個單元的理論采用了哪種理論公式，但都只是提一下用什么方法修正，很多沒有具體的實現公式。商用軟件對外就是一個黑盒子，除了開發人員，使用人員只能在黑盒子外猜測內部實現方式。

一方面我們查閱各個主流商用軟件的理論手冊并通過進行大量的資料查閱猜測內部修正方法，另一方面我們自己編程實現結構有限元求解器，通過自研求解器和商軟的結果比較來驗證我們的猜測，如同管中窺豹一般來研究的修正方法，從而猜測商用有限元軟件的內部計算方法。我們關注CAE中的結構有限元，所以主要選擇了商用結構有限元軟件中文檔相對較完備的Abaqus來研究內部實現方式，同時對某些問題也會涉及其它的Nastran/Ansys等商軟。為了理解方便有很多問題在數學上其實并不嚴謹，同時由于水平有限可能有許多的理論錯誤，歡迎交流討論，也期待有更多的合作機會。

iSolver介紹視頻：

http://www.yqgqt.org.cn/college/video/c12884

==第19篇：Abaqus幾何非線性的設置和后臺 ==

上一章從數學上介紹了幾何非線性的應變度量，由于數學公式不夠直觀，這章將具體介紹Abaqus這款商軟中幾何非線性的設置后臺采用的這些應變度量，同時針對簡單的例子將理論、iSolver結果和Abaqus結果對比，證明Abaqus中幾何非線性的各個應變度量的內部計算和我們上一章的數學公式是完全一致的。

 

1.1 幾何非線性分類

上一章中介紹的三種常用應變是：

（1）   工程應變：用于線性問題

（2）   真實應變：應用于所有真實的幾何非線性問題

（3）   Green應變：用于幾何非線性中的大位移、大轉動、小應變的特殊幾何非線性問題。因為Green應變計算量比真實應變簡單。

有限元程序計算效率是一個非常重要的方面，所以一般把幾何非線性簡單的分為兩類：

（1）   大位移、大轉動，但應變非常小。譬如下方的右側矩形其實只是左側矩形的一個大的轉動加上一個小的應變。

                                             

（2）   大位移、大轉動，大變形問題。譬如下方的右側矩形已經從一個正方形變為了一個大的斜角一般四邊形。

如何區分是小應變還是大應變，除了預估，可以直接查看計算后的應變值，如果<<1,就是小應變，否則就只能算大應變問題，而如果你一開始把模型當做小應變來計算，但計算完畢后發現應變值較大，那么模型設置就有問題了。類似沙漏問題的考慮一樣，除了預判是否會出現沙漏完，還可以查沙漏產生的人工應變能是否超過了一定范圍，如果超過了就得改你的模型了，譬如采用完全積分單元等。具體可看

本系列文章第三篇：S4殼單元的剪切自鎖和沙漏控制。介紹Abaqus的S4單元如何來消除剪切自鎖以及S4R如何來抑制沙漏的。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/350865

 

1.2 Abaqus的幾何非線性單元設置

為了有限元編程的方便，Abaqus和ansys等商用有限元程序將幾何非線性的設置和小應變/大應變設置完全分開的。

（1）幾何非線性開關的設置：在Abaqus中只要簡單的在Step中勾選NL Geom這個開關就行。

（2）單元的設置：在Mesh的Assign Element Type單元中設置，但有時Abaqus的設置完全看不出到底采用哪種幾何非線性，譬如下面梁的設置，大家能找到哪地方設置小應變和大應變嗎？

而有些時候不得不說Abaqus界面上和后臺計算方法之間的關聯還是非常精準的，譬如殼單元只有membrane strain才有small（小應變）和finite strain（大應變）之分，為什么不直接來一個：Strain選擇small和finite呢？因為Abaqus把平面應變的貢獻分為了兩部分：membrane和bending部分，而后臺計算時只有membrane才是采用的真實應變的方式計算，也就是類似對數方式，而bending部分的應變后臺并不是采用對數方式計算的，這也是為何Abaqus的S4的設置中只有membrane strain的設置原因。

在Abaqus中第一個幾何非線性開關的設置將控制后面的單元設置采用線性和非線性。相當于幾何非線性的開關就是總閘，如果總閘關閉，那么后面的單元設置無論是小應變還是大應變單元都只會采用工程應變來計算，開啟后，才會根據你選擇的小應變還是大應變單元來決定采用Green應變還是真實應變。其實，如果Abaqus做得更人性化一點，應該在幾何非線性開關關閉時，S4單元等的設置界面上Membrane strains：應該變灰才正常。整個的邏輯如下圖所示：

1.3 Abaqus的常用幾何非線性單元分類

Abaqus所有單元都支持幾何非線性，由于Abaqus單元類型太多，我們只列出最常用的梁殼體而且因為iSolver編程而研究過的幾種單元，按幾何非線性的兩個大類分類如下：

類型	小應變	大應變
梁單元	B33，B23	B31，B21
殼單元	S4R5、STRI3、STR65、S4RS、S8R5、S3RS	S4/S4R、S3/S3R、S8R、CPS4/CPS4I、CPS4R
體單元	沒有小應變單元	C3D8/C3D8R、C3D4、C3D10/C3D10M、C3D6、C3D20

 

注意：Abaqus沒有類似S4R5的完全積分的小應變幾何非線性單元。同時，Abaqus的小應變和大應變單元很多時候與其它的理論是關聯的，譬如S4R5是薄殼理論，S4/S4R是厚殼理論，具體的殼單元理論和分類可以看下方視頻：

http://www.yqgqt.org.cn/college/video/c14948

深入淺出有限元：基礎理論->Abaqus操作->matlab編程

1.4 Abaqus幾何非線性后臺采用的應變驗證

通過上面的分類，可知在Abaqus中梁和殼分別有小應變單元和大應變單元，我們以殼單元的簡單算例來驗證Abaqus幾何非線性采用的應變和上一章的理論的區別，可以發現采用理論、Abaqus和iSolver三者在線性、小應變幾何非線性和大應變幾何非線性三種情況下都完全一致。

1.4.1 算例介紹

參數如下：

尺寸：5X1，厚度0.1。

材料：Young’s Modulus 1e8， Poisson Ratio 0.3。

左側兩個節點固支。

右側兩個節點每個加集中力1e5，x方向。

劃分為一個單元。

1.4.2 線性結果

幾何非線性開關NLGeom=Off，同時設置單元類型為S4R5。得到的1方向的位移如下：

那么上一章的拉伸比例r=(L0+U1)/L0=(5+0.1)/5=1.02;

• 注：如果設置為S4R，那么線性下結果是一樣的，讀者可以自行嘗試。

 

1.4.2.1 應變理論值

線性下采用工程應變

                                                    Strain=r-1=0.02

1.4.2.2 Abaqus應變結果

采用Abaqus求解器，得到的應變在1方向下：

1.4.2.3 iSolver應變結果

在Job模塊中，選擇Plug-ins->iSolver->Engine，采用iSolver求解器

得到的應變如下：

1.4.3 小應變幾何非線性結果

幾何非線性開關NLGeom=On，同時設置單元類型為S4R5，只迭代一步。

1.4.3.1 應變理論值

S4R5在幾何非線性下采用Green應變

                                                        Strain=0.5*(r^2-1) =2.02

1.4.3.2 Abaqus應變結果

1.4.3.3 iSolver應變結果

1.4.4 大應變幾何非線性結果

幾何非線性開關NLGeom=On，同時單元類型改為S4R。

1.4.4.1 應變理論值

S4R在幾何非線性下采用真實應變

                                                            Strain=ln(r) =0.0198

1.4.4.2 Abaqus應變結果

1.4.4.3 iSolver應變結果

==總結==

本文首先介紹了幾何非線性一般的分類，然后詳細說明了Abaqus中幾何非線性的設置方式和常用單元的分類，最后以一個殼單元的簡單算例為對象，可以發現應變理論、Abaqus結果和iSolver三者在線性、小應變幾何非線性和大應變幾何非線性三種情況下都完全一致，從而驗證Abaqus幾何非線性后臺采用的應變和我們的預想一致。

小應變幾何非線性的視頻解說及算例操作演示如下：

http://www.yqgqt.org.cn/college/video/c12884 20理論系列文章17-幾何非線性的物理含義

如果有任何其它疑問或者項目合作意向，也歡迎聯系我們：

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以往的系列文章：

第一篇：S4殼單元剛度矩陣研究。介紹Abaqus的S4剛度矩陣在普通厚殼理論上的修正。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/338859

第二篇：S4殼單元質量矩陣研究。介紹Abaqus的S4和Nastran的Quad4單元的質量矩陣。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/343905

第三篇：S4殼單元的剪切自鎖和沙漏控制。介紹Abaqus的S4單元如何來消除剪切自鎖以及S4R如何來抑制沙漏的。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/350865

第四篇：非線性問題的求解。介紹Abaqus在非線性分析中采用的數值計算的求解方法。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/360565

第五篇：單元正確性驗證。介紹有限元單元正確性的驗證方法，通過多個實例比較自研結構求解器程序iSolver與Abaqus的分析結果，從而說明整個正確性驗證的過程和iSolver結果的正確性。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/373743

第六篇：General梁單元的剛度矩陣。介紹梁單元的基礎理論和Abaqus中General梁單元的剛度矩陣的修正方式，采用這些修正方式可以得到和Abaqus梁單元完全一致的剛度矩陣。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/403932

第七篇：C3D8六面體單元的剛度矩陣。介紹六面體單元的基礎理論和Abaqus中C3D8R六面體單元的剛度矩陣的修正方式，采用這些修正方式可以得到和Abaqus六面體單元完全一致的剛度矩陣。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/430177

第八篇：UMAT用戶子程序開發步驟。介紹基于Fortran和Matlab兩種方式的Abaqus的UMAT的開發步驟，對比發現開發步驟基本相同，同時采用Matlab更加高效和靈活。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/432848

第九篇：編寫線性UMAT Step By Step。介紹基于Matlab線性零基礎，從零開始Step by Step的UMAT的編寫和調試方法，幫助初學者UMAT入門。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/440874

第十篇：耦合約束（Coupling constraints）的研究。介紹Abaqus中耦合約束的原理，并使用兩個簡單算例加以驗證。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/531029

第十一篇：自主CAE開發實戰經驗第一階段總結。介紹了iSolver開發以來的階段性總結，從整體角度上介紹一下自主CAE的一些實戰經驗，包括開發時間預估、框架設計、編程語言選擇、測試、未來發展方向等。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/532475

第十二篇：幾何梁單元的剛度矩陣。研究了Abaqus中幾何梁的B31單元的剛度矩陣的求解方式，以L梁為例，介紹General梁用到的面積、慣性矩、扭轉常數等參數在幾何梁中是如何通過幾何形狀求得的，根據這些參數，可以得到和Abaqus完全一致的剛度矩陣，從而對只有幾何梁組成的任意模型一般都能得到Abaqus完全一致的分析結果，并用一個簡單的算例驗證了該想法。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/534362

第十三篇：顯式和隱式的區別。介紹了顯式和隱式的特點，并給出一個數學算例，分別利用前向歐拉和后向歐拉求解，以求直觀表現顯式和隱式在求解過程中的差異，以及增量步長對求解結果的影響。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/537154

第十四篇：殼的應力方向。簡單介紹了一下數學上張量和Abaqus中殼的應力方向，并說明Abaqus這么選取的意義，最后通過自編程序iSolver來驗證殼的應力方向的正確性。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1189260

第十五篇：殼的剪切應力。介紹了殼單元中實際的和板殼近似理論中的剪切應力，也簡單猜測了一下Abaqus的內部實現流程，最后通過一個算例來驗算Abaqus中的真實的剪切應力。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1191641

第十六篇：Part、Instance與Assembly。介紹了Part、Instance與Assembly三者之間的關系，分析了Instance的網格形成原理，并猜測Abaqus的內部組裝實現流程，隨后針對某手機整機多part算例，通過自編程序iSolver的結果比對驗證我們的猜想。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1195061

第十七篇：幾何非線性的物理含義。介紹了幾何非線性的簡單的物理含義，并通過幾何非線性的懸臂梁Abaqus和iSolver的小應變情況的結果，從直觀上理解幾何非線性和線性的差異。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1198459

第十八篇：幾何非線性的應變。首先從位移、變形和應變的區別說起，然后通過一維的簡單例子具體介紹了幾何非線性下的應變的度量方式，并給出了工程應變、 真實應變、Green應變三者一維情況下在數學上的表達方式。

http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1201375